高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制(第2课

1.1 任意角和弧度制 2
自我小测
1．下列说法中错误的是( )
A ．半圆所对的圆心角是π rad
B ．周角的大小等于2π
C ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
2．下列转化结果错误的是( )
A ．67°30′化成弧度为38
π B ．－74
π化成角度为－315° C ．－240°化成弧度为－
43π D. 712
π化成角度为75° 3．在半径为1的圆中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )
A ．{α|－4≤α≤4}
B ．{α|0≤α≤π}
C ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
D ．∅ 5．已知角α＝k π－23
π，k ∈Z ，则角α的终边在第__________象限． 6．已知扇形AOB 的面积为6π，且圆心角为60°，则该扇形的弧长为__________．
7．已知下列各组角： ①32π和2k π－32π，k ∈Z ；②－5π和225π；③－79π和119π；④203π和－103π. 其中终边相同的序号为__________．
8．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝
⎭. 9．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用每小时30 km 的速度
通过，求火车10 s转过的弧度数．
参考答案
1. 解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A ，B ，C 正确，D 错误． 答案：D
2. 解析：
712π×180π⎛⎫ ⎪⎝⎭°＝105°，故D 不正确． 答案：D
3. 解析：由S ＝
12αr 2得1＝12α，∴α＝2. 答案：B
4. 解析：当k ＝0时，A ＝{α|0≤α≤π}，
此时A ∩B ＝{α|0≤α≤π}；
当k ＝－1时，A ＝{α|－2π≤α≤－π}，
此时A ∩B ＝{x |－4≤α≤－π}，
故所求集合A ∩B ＝{α|0≤α≤π，或－4≤α≤－π}．
答案：C
5. 解析：当k ＝2n ，n ∈Z 时，α＝2n π－23
π， ∴角α的终边与－23
π角的终边相同． 又∵－23
π角的终边在第三象限， ∴α的终边在第三象限；
当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α＝2n π＋3
π， ∴角α的终边与3
π角的终边相同． 又∵3
π角的终边在第一象限， ∴α的终边在第一象限．
综上所述，角α的终边在第一或三象限．
答案：一或三
6．解析：∵α＝60°＝3
π，
∴由扇形面积公式可得l ＝2S
α＝123π
π
＝36.
答案：36
7. 解析：对①，∵2k π－
32π的终边与－32π的终边相同，而32π与－32π的终边不相同，
∴①组中角的终边不同； 对②，∵225π＝4π＋25π，－5
π和25π终边不同， ∴②组中角的终边不同； 对③，∵－
79π＝－2π＋119π， ∴－79π与119
π的终边相同； 对④，∵
203π＝6π＋23π，－103π＝－4π＋23π， ∴203π和－103
π的终边相同． 答案：③④
8. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149
π， ∴α＝149
π＋(－3)×2π. ∵角α与149
π终边相同， ∴角α是第四象限角． (2)∵与角α终边相同的角可写为2k π＋
149π，k ∈Z 的形式，而γ与α终边相同， ∴γ＝2k π＋149
π，k ∈Z . 又γ∈,22ππ⎛⎫-
⎪⎝⎭， ∴－2π<2k π＋149π<2
π，k ∈Z ，解得k ＝－1.
∴γ＝－2π＋14
9
π
＝－
4
9
π
.
9. 分析：先利用速度和时间求出路程，即得圆弧的弧长，再由弧长公式可得圆心角的大小．因为火车前进的方向未知，所以将圆心角的大小加上绝对值．
解：∵圆弧半径r为2 km＝2 000 m，火车速度v＝30 km/h＝25
3
m/s，则火车10 s
走过的弧长l为250
3
m，
∴火车10 s转过的弧度数|α|＝l
r
＝
250
32000
⨯
＝
1
24
，
即火车10 s转过的弧度数是1 24
.。