湖南省湘潭市2021届新第四次高考模拟考试数学试卷含解析

湖南省湘潭市2021届新第四次高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）
A ．
22
3
B ．
63
C ．
33
D ．
13
【答案】C 【解析】 【分析】
利用建系，假设AB 长度，表示向量AC u u u r 与BD u u u r
，利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥
平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB Ì平面ABD 所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD 所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥
所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz - 如图
设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===则()()()()0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0A B C D
所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =---u u u r u u u r
所以
cos ,
3AC BD AC BD AC BD
⋅===u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C 【点睛】
本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题. 2．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1
a d
=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】
由136,,a a a 成等比数列得2
316a a a =⋅，即()()2
11125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得
1
4a d
=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 3．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222
111()324
f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ）
A ．0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭
D ．,6π⎛⎫π ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
求出导函数()f x '
，由()0f x '=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数
性质可得结论． 【详解】
()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-Q ，()2221
()4
f x x bx a c ac '∴=+++-.
若()f x 存在极值，则()
222
1404
b a
c ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<
又2221
cos ,cos 22
a c
b B B a
c +-=∴<.又()
0,,3B B π∈π∴<<πQ ． 故选：C ． 【点睛】
本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键．
4．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆
22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）
A 1
B ．25
-
C ．
D ．1
【答案】D 【解析】 【分析】
利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得min
PM ，
由PQ 取得最小值为min
1PM -，求得结果.
【详解】
由抛物线2
:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2
p x =-
， 则点(5,)t 到焦点的距离为562
p
d =+=，则2p =， 所以抛物线方程：2
4y x =，
设(,)P x y ，圆22
:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，
则PM ===，
当4x =时，PQ 11=， 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.
5．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解 【详解】 因为1
y a x
'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 故选：D 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
6．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C
的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=o
AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．y =±
B ．y x =
C ．=±
y x D ．)
1=±
y x
【答案】D 【解析】 【分析】
设2AF m =，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】
设22,AB AF m BF ==∴=
=，由双曲线的定义可知：
12,AF m a =-因此12,BF a =再由双曲线的定义可知：122BF BF a m -=⇒=，在三角形
12AF F 中，由余弦定理可知：
222
212222222112cos120(5(5F F AF AF AF AF c a a b a ︒=+-⋅⋅⇒=-⇒+=-2
2
2
2(4(41b b
b a a a
⇒=-⇒=-⇒=，因此双曲线的渐近线方程为：
)
1=±
y x .
故选：D 【点睛】
本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.
7．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收
系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112
C ．0.114
D ．0.116
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意知,01
0.8,7.6,2
I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】
由题意可得,01
0.8,7.6,
2
I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以
7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08
μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C 【点睛】
本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题. 8．要得到函数sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6
π
个单位 B ．向右平移3
π
个单位 C ．向左平移3
π
个单位 D ．向左平移
6
π
个单位 【答案】D 【解析】 【分析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】
解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，
只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6
π
个单位． 故选：D ．
本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题． 9．已知()3,0A -，(
)
3,0B
，P 为圆22
1x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r
，过点P 作与AP 垂直的直线
l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）
A ．1x ≥
B ．1x >
C ．2x ≥
D ．2x ≥
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解. 【详解】
如图，连接OP ，AM ，
由题意得22MB MA BQ OP -===，
∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线， ∴1x ≥.
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
10．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．
12
B ．
13
C ．
16
D ．
112
【答案】B 【解析】
求得基本事件的总数为222
422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为22
2
42222
6C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为1
3
m p n ==，故选B. 【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 11．设复数z ＝
213i
i
-+，则|z|＝（ ）
A ．
13
B ．
3
C ．
12
D ．
2
【答案】D 【解析】 【分析】
先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】 解：z ＝
213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710
i --＝﹣110﹣710i ,
则|z|2. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.
12．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()
f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）
A ．11,
1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
B ．11,3e e ⎛⎫--
⎪⎝⎭
C ．11,e ⎛⎫
-+∞
⎪⎝⎭
D ．()3,e -+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
利用导数求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求
得h 的取值范围. 【详解】
()f x 的定义域为()0,∞+，()'11
1x f x x x
-=-+=，
所以()f x 在1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，
()1ln111f h h =-++=+，1111
ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭
，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，
()1f f e e ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
， 所以()f x 在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为()1f e e h =-+.
要使在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()
f b ，()f c 为边长的三角形，
则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，
也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立， 即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8 【解析】 【分析】
由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是241
4
x y x -+=
+，可得
()24149
4644
x x y x x x x -++=+
=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.
【详解】
解：Q x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，
∴2414
x y x -+=
+，
∴()24149
466844
x x y x x x x -++=+
=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.
∴x y +的最小值为8.
故答案为：8. 【点睛】
本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.
14．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为_______________. 【答案】821
【解析】
试题分析：从编号分别为1，1，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有4
10210C =种不
同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A 为“取出球的编号互不相同”，
则事件A 包含了11111
5222280C C C C C ⋅⋅⋅⋅=个基本事件，所以()808
21021
P A =
=. 考点：1.计数原理；1．古典概型.
15．若函数()()(3)f x x a x =-+为偶函数，则(2)f =________. 【答案】5- 【解析】 【分析】
二次函数为偶函数说明一次项系数为0，求得参数a ，将2x =代入表达式即可求解 【详解】
由2
()(3)3f x x a x a =+--为偶函数，知其一次项的系数为0，所以30a -=，3a =，
所以()2
9f x x =-，2(2)295f =-=-
故答案为：-5
【点睛】
本题考查由奇偶性求解参数，求函数值，属于基础题
16．已知实数,x y 满足40
x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩
，则1
2y z x
+=+的最大值为________.
【答案】34
【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点()2,1P --与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过()2,2A 时，直线的斜率取得最大值，代入点A 的坐标可得答案. 【详解】
画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由4
x y y x
+=⎧⎨=⎩得点()2,2A ，
目标函数1
2
y z x +=
+表示点()2,1P --与可行域的点所构成的直线的斜率， 当直线过()2,2A 时，直线的斜率取得最大值，此时1
2y z x +=
+的最大值为34
. 故答案为：
3
4
.
【点睛】
本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．
【答案】 (Ⅰ)2n
n a =或()2n
n a =--(Ⅱ)12
【解析】
【分析】
（1）先设数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式；
（2）根据（1）的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果.
【详解】
（1）设数列{}n a 的公比为q ，
275
4a q a ∴==， 2q ∴=±，
2n n a ∴=或(2)n n a =--.
（2）2q =时，()2122212612n n n S -==-=-，解得6n =；
2q =-时，()21(2)21(2)126123
n n n S --⎡⎤==--=⎣⎦+， n 无正整数解；
综上所述6n =.
【点睛】
本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.
18．某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每k 个()5k ≤一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次 数为X ．
（1）求X 的分布列及其期望；
（2）（i ）试说明，当p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；
（ii ）当0.1p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数．
【答案】（1）见解析，()111k p k
--+
（2）（i ）见解析（ii ）4k =时平均检验次数最少，约为594次． 【解析】
【分析】
（1）由题意可得()11k P X p k ⎛⎫=
=- ⎪⎝⎭，X 的可能取值为1k 和1k k
+，分别求出其概率即可求出分布列，进而可求出期望. （2）（i ）由()1记()()111k f p p k
=--+，根据函数的单调性即可证出；()ii 记()()11g 1110.9k k k p k k =--+
=-+，当()1g k <且取最小值时，该方案最合理，对k 进行赋值即可求解.
【详解】
（1）()11k P X p k ⎛
⎫==- ⎪⎝⎭由题，X 的可能取值为 1k 和1k k
+ ()111k k P X p k +⎛⎫==-- ⎪⎝⎭
，故X 的分布列为
()()()()11111111k k k k E X p p p k k k
+⎡⎤=-+--=--+⎣⎦g g ()()2i 由()1记()()111k f p p k
=--+，因为0k >， 所以 ()f p 在()
0,1p ∈上单调递增 ， 故p 越小，()f p 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理
()ii 记()()11g 1110.9k k k p k k
=--+=-+ 当()1g k <且取最小值时，该方案最合理，
因为()()1 1.1,20.69g g ==，()()30.604,40.594g g ≈≈，()50.61g ≈
所以4k =时平均检验次数最少，约为10000.594594⨯=次．
【点睛】
本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了分析问题、解决问题的能力，属于中档题.
19．已知函数()2ln(1)(0)1
+=-+>+ax x f x x a x ，且曲线()y f x =在1x =处的切线方程为12y x b =+.
（1）求()f x 的极值点与极值.
（2）当12
k ≥，[)0,x ∈+∞时，证明：()2f x kx ≤. 【答案】（1）极小值点为=0x ，极小值为0，无极大值；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
(1)先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求a ，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；(2)令2()()g x kx f x =-，问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求．
【详解】
（1）由题得函数的定义域为()1,-+∞.
()()()()()()
222211211111ax x ax x x ax a f x x x x ++-'-+-=-=+++ ()3114a f ='-，由已知得()112
f '=，解得1a = ∴()2ln(1)=ln(1)1
+=-+-++x x f x x x x x ， ()1111x f x x x +'=-=+ 令()=0f x '，得=0x
令()0f x '>，得0x >，∴()f x 在()0+∞，
上单调递增. 令()0f x '<，得10x -<<∴()f x 在(1,0)-上单调递减
∴()f x 的极小值点为=0x ，极小值为0，无极大值.
（2）证明：由（1）知1a =，∴()2ln(1)=ln(1)1
+=-+-++x x f x x x x x ， 令()()2=-g x kx
f x ， 即()2
g ln(1)=-++x kx x x ()()2122111221111
k kx x x k x k g x kx x x x -⎛⎫+ ⎪⎡⎤+-⎣⎦⎝⎭'=-+==+++ ∵12k ≥，[)0,x ∈+∞， ∴()212201
k kx x k g x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭='≥+恒成立. ∴()2g ln(1)=-++x kx x x 在[)0,+∞上单调递增
又()00g =，∴()()00g x g ≥=在[)0,+∞上恒成立
∴2ln(1)0-++≥kx x x 在[)0,+∞上恒成立
∴2ln(1)≥-+kx x x ， 即2ln(1)-+≤x x kx
∴()2
f x kx ≤ 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．
20．某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[]15,25，(]25,35，(]35,45，(]45,55分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.
()1从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶的概率；
()2试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本75元；小箱每箱30瓶，批发成本60元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为(]45,55时看作销量为50瓶）. ①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X ，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y ，求X 和Y 的分布列和数学期望；
②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？
注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本.
【答案】()10.657；()2①详见解析；②应该批发一大箱.
【解析】
【分析】
()1酸奶每天销量大于35瓶的概率为0.3，不大于35瓶的概率为0.7，设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶”为事件A ，则A 表示“这三天酸奶的销量都不大于35瓶”.利用对立事件概
率公式求解即可.
()2①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况，分别求出相应概率，列出分布列，求出X 的数学期望，若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20，30两种情况，分别求出相应概率，由此求出Y 的分布列和数学期望；②根据①中的计算结果，()()E X E Y >，从而早餐应该批发一大箱.
【详解】
解：()1根据图中数据，酸奶每天销量大于35瓶的概率为(0.020.01)100.3+⨯=，不大于35瓶的概率为0.7.
设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶”为事件A ，则A 表示“这三天酸奶的销量都不大于35瓶”. 所以3()1()10.70.657P A P A =-=-=.
()2①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况. 当销量为20瓶时，利润为520
7525?=元； 当销量为30瓶时，利润为530
7575?=元； 当销量为40瓶时，利润为540
75125?=元； 当销量为50瓶时，利润为550
75175?=元.
随机变量X 的分布列为
所以()250.3
750.41250.21750.180E X =????（元） 若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20，30两种情况. 当销量为20瓶时，利润为520
6040?=元； 当销量为30瓶时，利润为530
6090?=元.
随机变量Y 的分布列为
所以()400.3
900.775E Y =??（元）. ②根据①中的计算结果，()()E X E Y >，
所以早餐店应该批发一大箱.
【点睛】
本题考查概率，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，属于中档题.
21．求下列函数的导数：
（1）()0.051x f x e -+=
（2）()()2sin 21f x x =+
【答案】（1）()0.0510.05x f x e -+'=-；（2）()2sin 44cos2f x x x '=+.
【解析】
【分析】
（1）根据复合函数的求导法则可得结果.
（2）同样根据复合函数的求导法则可得结果.
【详解】
（1）令()0.051u x x =-+，()u
u e ϕ=，则()()f x u x ϕ=⎡⎤⎣⎦， 而()0.05u x '=-，()u
u e ϕ'=，故()()0.0510.0510.050.05x x f x e e -+-+'=⨯-=-. （2）令()sin 21u x x =+，()2u u ϕ=，则()()f x u x ϕ=⎡⎤⎣⎦，
而()2cos2u x x '=，()2u u ϕ'=，故()()2cos224cos2sin 21f x x u x x '=⨯=+，
化简得到()2sin 44cos2f x x x '=+.
【点睛】
本题考查复合函数的导数，此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合，再根据复合函数的求导法则可得所求的导数，本题属于容易题.
22．已知函数21()ln ()2
f x x ax x a R =-
+∈，函数()23g x x =-+. （Ⅰ）判断函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性； （Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.
【答案】 (1) 故函数()y F x =在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减;(2)114. 【解析】
试题分析：
（Ⅰ）根据题意得到()F x 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可
得()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数
()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则有()()1120h x ax t x
'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．
试题解析：
（I ）由题意得()()()()2113ln 1222
F x f x ag x x ax a x a =+=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()21111ax a x F x ax a x x
-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=. 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；
当0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<
；令()0F x '<，解得1x a >. 故函数()y F x =在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. 综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；
当0a >时，函数()y F x =在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. （II ）由题意知0t ≥. ()2111ax x f x ax x x
-+=='+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增．
不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，
所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤
()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立，
即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立.
记()()()()21ln 1232
h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+， 由题意得()h x 在[]
1,2上单调递减. 所以()()1120h x ax t x
'=
-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()112H a xa t x
=-++-，[]2,1a ∈--， 则()()max 122120H a H x t x =-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立.
故max 1212t x x ⎛⎫-≥+
⎪⎝⎭， 而12y x x
=+在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为92
. 由9212t -≥，解得114
t ≥. 故实数t 的最小值为114
． 23．已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为(1,0)，点A 在椭圆C 上，点B
在直线y =上，且OA OB ⊥．
（1）证明：直线AB 与圆221x y +=相切；
（2）设AB 与椭圆C 的另一个交点为D ，当AOB V 的面积最小时，求OD 的长．
【答案】（1）见解析； （2
）
3
. 【解析】
【分析】
（1）分斜率为0，斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设OA 的方程为y kx =，可求解得到22
222||12k OA k +=+，22||22OB k =+，可得O 到AB 的距离为1，即得证； （2）表示AOB V
的面积为2
1||||2S OA OB =⋅=，利用均值不等式，即得解. 【详解】
（1）由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，且1b c ==
，所以a =
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=． 由点B
在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在，
当OA 的斜率为0
时，||OA =
||OB =
于是||2AB =，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切．
当OA 的斜率不为0时，设OA 的方程为y kx =，与
2212x y +=联立得()22122k x +=， 所以2
2212A x k =+，222212A k y k =+，从而222
22||12k OA k +=+． 而OB OA ⊥，故OB 的方程为x ky =-，而B
在y =
上，故x =，
从而22||22OB k =+，于是22
111||||OA OB +=． 此时，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切．
综上，直线AB 与圆22
1x y +=相切．
（2）由（1）知，AOB V 的面积为
2211211||||122k S OA OB ++=⋅===+…， 上式中，当且仅当0k =等号成立，所以AOB V 面积的最小值为1．
此时，点
A 在椭圆的长轴端点，
B 为．
不妨设
A 为长轴左端点，则直线A
B 的方程为y x =+
代入椭圆C 的方程解得3
D y =， 即289D y =，229
D x =，所以||3
OD =． 【点睛】
本题考查了直线和椭圆综合，考查了直线和圆的位置关系判断，面积的最值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于较难题.。