2019-2020学年最新北师大版九年级数学上册《矩形的性质与判定》教学设计-优质课教案

1.2矩形的性质与判定
第1课时
【教学目标】
1.了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质.
2.经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法.
【教学重难点】
重点:掌握矩形的性质，并学会应用.
难点:理解矩形的特殊性.把握平行四边形的演变
过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形.
【教学过程】
一、联系生活，形象感知
【显示投影片】
教师活动:将收集来的有关长方形图片播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念.
矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.（也就是小学学习过的长方形）
教师活动:介绍完矩形概念后，为了加深理解，也为了继续研究矩形的性质，拿出教具，同学生一起探究下面问题：
问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）
学生活动:观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现:矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.
问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）
学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才α变为90°，可以得到α的补角也是90°从而得到:矩形的四个角都是直角.
评析:实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解.
教师活动:用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述).
学生活动：观察发现:矩形的两条对角线相等.口述证明过程是:充分利用(SAS)三角形全等来证明.
口述：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB = 90°,AB=DC.
又∵B C为公共边，
∴ΔABC≌ΔDCB(SAS),
∴AC=BD.
教师提问:AO=AC, BO=BD呢？BO是RtΔABC的什么线？由此你可以得到什么结论？
学生活动：观察、思考后发现AO=1/2AC，BO=1/2BD，BO是RtΔABC的中线.由此归纳直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
.
直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半 (师生回忆）.
【设计意图】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点，突破难点. 二、范例点击
例1:如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOD =120°，AB =2. 5,这个矩形对角线的长. (投影
显示）
分析：利用矩形对角线相等且平分得到OA =OB ，由于∠AOB = 60°，因此，可以发现ΔAOB 为等边三角形，这样可求出OA =AB =2. 5，∴AC = BD = 2OA =5.
【活动方略】
教师活动:板书例1，分析例1的思路，教会学生解题分析法，然后板书解题过程(课本P 13).
学生活动:参与教师讲例，总结几何分析思路. 【问题探究】(投影显示）
如图，ΔABC 中，∠A =2∠B ，CD 是ΔABC 的高，E 是AB 的中点，求证：:D E=1/2AC .
分析：本题可从E 是AB 的中点切入，考虑应用三角形中位线定理.应用三角形中位线必需找到另一个中点.分析可知：可以取BC 中点F ，也可以取AC 的中点G 为尝试.
教师活动:操作投影仪，引导、启发学生的分析思路，教会学生如何书写辅助线.
学生活动：分四人小组，合作探索，想出几种不同的证法.
证法一:取BC 的中点F ，连接EF 、DF ，如图（1).
【设计意图】补充这道演练题是训练学生的应用能力，提高一题多解的意识，形成几何思路.
三、随堂练习
教材P 13随堂练习
四、应用拓展 已知:如图，从矩形ABCD 的顶点C 作对角线BD
的垂线与∠BAD 的平分线相
交于点E ，求证:AC =
CE.
∠FAB .现在只要证明∠BAF= ∠DAC即可，而实际上，∠BAF=∠BDA=∠DAC，问题迎刃而解.
五、课堂小结
本节课应掌握：
1.矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质。

2.矩形性质归纳：
（1)边的性质:对边平行且相等.
（2)角的性质：四个角都是直角.
（3)对角线性质:对角线互相平分且相等.
（4)对称性:矩形是轴对称图形.
六、布置作业
教材P13习题1.4第1、2题
第2【教学目标】
1.通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，并会运用定理解决相关问题.
2.通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法.
【教学重难点】
重点:探索矩形判定定理的过程及应用.
难点:矩形判定定理的应用.
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
通过上节课对矩形的学习，谁能回答以下问题：
1.判定四边形是矩形的方法是什么？（用定义）
（1）是不是平行四边形，（2)再看它有无直角.
2.矩形是特殊的平行四边形，它具有哪些性质？(通过对矩形定义及性质的回顾，引出判定矩形除了定义
课时
外，还有哪些方法，导入新课.）
二、探究新知
活动一:矩形的判定定理一的探索
1.先请同学只用手中量角器量一下图形（甲）（乙）中的四边形的角（有几个直角）.
2.然后通过同桌同学交流用几个直角才能构成矩形，并说明理由.
(此问题的解决以动手实践，合作交流的形式进行，学生在探究过程中根据已有的知识积累——矩形的定义，得出矩形的判定定理一.教师以合作者的身份深入学生中，了解学生的探究进程并适当给予点拨.)
最后教师进行适当板书进行推证、讲解.在此过程中，全体同学可互相补充、互相评价，培养学生的语言表
达能力、推理能力.
活动二:教师提问：矩形的对角线相等，反过来对角线相等的四边形是什么图形？在学生回答是或不是的情况下，让学生依下列步骤进行探索.
1.画任意两条长度相等的相交线段，并把它们的四个顶点顺次连接，看是不是矩形？
2.画两条长度相等并且一条平分另一条的线段，并把它们的四个顶点顺次连接，看是不是矩形？
3.画两条长度相等并且互相平分的线段，并把它们的四个顶点顺次连接，看是不是矩形？
4.然后通过同桌同学交流用怎样的两条长度相等的线段才能构成矩形，并说明理由.
最后通过教师演示动画，师生进行适当交流、归纳、讲解，得出矩形的判定定理二.
(此问题的解决仍以分组合作交流的形式进行，通过此种互动过程，让全体学生参与其中，获得不同程度的收获，体验成功的喜悦.)
活动三:矩形的判定定理二的证明.
已知:在平行四边形ABCD中，AC=BD，
求证:平行四边形ABCD是矩形
.
对于判定定理二的证明教师从以下几个方面进行与学生交流.
（1）条件与结论各是什么？（引出条件与结论的关系） （2）使一个平行四边形是矩形，已学过什么方法？ (引出矩形的定义证明）
（3）要证明一个角是直角，根据平行四边形相邻两个角互补，只需证明什么？（引出证明两个三角形全等） （4）如何选择要证明两个三角形全等，它们的条件是否满足？
最后由学生说出整个证明的过程，教师进行适当的点评与板书.
当判定定理一、定理二得出后，让学生总结矩形的三种判定方法（定义，定理一与定理二），并对题设进行比较、区分，使学生进一步明确定理应用的条件. 三、范例点击
例:如图所示，在□ABCD 中，E 、F 为BC 上两点，且BE=CF ，AF=DE.求证：
(1) ΔABF ≌ΔDCE ； (2)四边形A BCD 是矩形.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB //CD ，∴∠B +∠C =180°，
∴∠B = 90°，∴平行四边形ABCD 是矩形.
四、拓展应用
为了帮助学生巩固定理，应用如下：
应用一:工人师傅要检验两组对边相等的四边形是否成矩形，你有没有方法帮助工人师傅解决这个问题？（这一题是由引入判定定理二改编而成的，主要考查学生利用矩形的判定定理解决实际问题的能力.）
应用二:例题讲解
一张四边形纸板ABCD 形状如图，它的对角线互相垂直.若要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD 的四条边上，可以怎样剪？
对于这个问题的解决教师引导学生回顾过去证明依
分析：(1)由四边形ABCD 是平行四边形，得AB =CD ，再结合已知条
件，利用“SSS ”可证得Δ
A B F ≌ΔD C E ；
(2)只需再证∠B 或∠C 等于
90°即可. 证明：（1）∵BE=CF ，BF =BE+EF ，CE=CF + EF ，
∴B
F =C E .
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A B =D C .
在ΔABF 和ΔDCE 中， ∵AB=DC ，BF=CE ，AF=DE ， ∴ΔABF ≌ΔDCE ， (2) ∵ΔABF ≌ΔDCE ，∴∠B=∠C.
次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形的经验，使学生联想到连接四边形ABCD的两条对角线，然后运用中位线定理，这样就解决了这个问题.
五、巩固练习
练习一：
1.内角都相等的四边形是矩形. （）
2.对角线相等的四边形是矩形. （）
3. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形. （)
4. 一组邻角相等的平行四边形是矩形. （）
5. 对角互补的平行四边形是矩形. （）
练习二：如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE=CG=BF=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
(练习一，二是课内练习，主要为加强学生对所学定理的理解和掌握，使学生能将给出的条件转化为应用定理所需的条件，辨析判定定理的题设，以便更好地应用定理.这两个问题的解决分别应用所学定理，使学生能够学以致用.这两道题的解决方法是先采用独立完成形式，有困难的学生可以求助老师或同学，学生互助完成，派学生代表板书讲解.)
六、课堂小结
本节课应掌握：
矩形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）：
（1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
(2)对角线相等的平行四边形是矩形.
（3)有三个角是直角的四边形是矩形.
七、布置作业
教材P16习题1.5第1、2题。