上海长征中学数学代数式同步单元检测(Word版 含答案)

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）
1．用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C 型钢板和3块D型钢板.现购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板.设购买A型钢板x块（x为整数）
（1）可制成C型钢板块（用含x的代数式表示）；可制成D型钢板块[用含x的代数式表示）.
（2）出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元.若将C、D型钢板全部出售，通过计算说明此时获得的总利润.
（3）在（2）的条件下，若20≤x≤25，请你设计购买方案使此时获得的总利润最大，并求出最大的总利润.
【答案】（1）解：设购买A型钢板x块（x为整数），则购买B型钢板（100﹣x）块，根据题意得：可制成C型钢板2x+（100﹣x）＝（x+100）块，
可制成D型钢板x+3（100﹣x）＝（﹣2x+300）块.
故答案为：x+100；﹣2x+300
（2）解：设获得的总利润为w元，
根据题意得：w＝100（x+100）+120（﹣2x+300）＝﹣140x+46000
（3）解：∵k＝﹣140＜0，
∴w值随x值的增大而减小，
又∵20≤x≤25，
∴当x＝20时，w取最大值，最大值为43200，
∴购买A型钢板20块、B型钢板80块时，可获得的总利润最大，最大的总利润为43200元.
【解析】【分析】（1）设购买A型钢板x块（x为整数），则购买B型钢板（100﹣x）块，根据“ 用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板”从而用含x的代数式表示出可制成C型钢板及D型钢板的数量.
（2）设获得的总利润为w元，根据总利润=100×制成C型钢板的数量+120×制成D型钢板的数量，从而得出结论.
（3）利用一次函数的性质求出最大利润及购买方案即可.
2．如图，老王开车从A到D，全程共72千米．其中AB段为平地，车速是30千米/小时，BC段为上山路，车速是22.5千米/小时，CD段为下山路，车速是36千米/小时，已知下山路是上山路的2倍．
（1）若AB=6千米，老王开车从A到D共需多少时间？
（2）当BC的长度在一定范围内变化时，老王开车从A到D所需时间是否会改变？为什么？（给出计算过程）
【答案】（1）解：若AB=6千米，则BC=22千米，CD=44千米，从A到D所需时间为：
=2.4（小时）
（2）解：从A到D所需时间不变，（答案正确不回答不扣分）
设BC=d千米，则CD=2d千米，AB=（72﹣3d）千米，
t=
=
=2.4（小时）
【解析】【分析】（1）根据题意可以求出AB,BC,CD的长，然后根据路程除以速度等于时间，即可分别算出老王开车行三段的时间，再求出其和即可；
（2）从A到D所需时间不变，设BC=d千米，则CD=2d千米，AB=（72﹣3d）千米，,然后根据路程除以速度等于时间，即可分别表示出老王开车行三段的时间，再根据异分母分式加法法则求出其和，再整体代入即可得出结论；
3．先阅读下面文字，然后按要求解题.
例：1+2+3+…+100=？如果一个一个顺次相加显然太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的.
因为1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果.
解:1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）= =5050.
（1）补全例题解题过程；
（2）计算a+（a+b）+（a+2b）+（a+3b）+…+（a+99b）.
【答案】（1）解：101×50
（2）解：原式=50×（2a+99b）=100a+4950b.
【解析】【分析】（1）根据算式可得共有50个101，据此解答即可.
（2）仿照（1）利用加法的交换律和结合律进行计算即可.
4．根据数轴和绝对值的知识回答下列问题
（1）一般地，数轴上表示数m和数n两点之间的距离我们可用│m-n│表示。

例如，数轴上4和1两点之间的距离是________.数轴上-3和2两点之间的距离是________.（2）数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则│a+4│+│a-2│的值为________.
（3）当a为何值时，│a+5│+│a-1│+│a-4│有最小值？最小值为多少？
【答案】（1）3；5
（2）6
（3）解：①a≤1时，原式＝1-a+2-a+3-a+4-a＝10-4a，则a＝1时有最小值6;
②1≤a≤2时，原式＝a-1+2-a+3-a+4-a＝8-2a，则a＝2时有最小值4
③2≤a≤3时，原式＝a-1+a-2+3-a+4-a＝4
④3≤a≤4时，原式＝a-1+a-2+a-3+4-a＝2a-2;则a＝3时有最小值4
⑤a≥4时，原式＝a-1+a-2+a-3+a-4＝4a-10;则a＝4时有最小值6
综上所述，当a＝2或3时，原式有最小值4.
故答案为:(1)3；5；（2）6；（3）当a＝2或3时，原式有最小值4.
【解析】【解答】（1）解：数轴上表示1和4的两点之间的距离是3；表示-3和2的两点之间的距离是5
（ 2 ）解：根据题意得:-4＜a＜2，即a+4＞0，a-2＜0
则原式=a+4+2-a＝6.
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值即可直接算出答案；
（2）根据数轴上所表示的数的特点得出-4＜a＜2，进而根据有理数的加减法法则得出a+4＞0，a-2＜0，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，再合并同类项即可；
（3）分①a≤1时，②1≤a≤2时，③2≤a≤3时，④3≤a≤4时，⑤a≥4时，五种情况，根据绝对值的意义分别取绝对值符号，再合并同类项得出答案，再比大小即可.
5．已知A，B在数轴上分别表示的数为m、n．
（1）对照数轴完成下表：
（3）已知A，B在数轴上分别表示的数为x和﹣2，则A、B两点的距离d可表示为d=|x+2|，如果d=3，求x的值．
（4）若数轴上表示数m的点位于﹣5和3之间，求|m+5|+|m﹣3|的值．
【答案】（1）3；7；2
（2）解：d=|m﹣n|，文字描述为：数轴上两点间的距离d等于表示两点数之差的绝对值（3）解：d=|x+2|
根据题意得出：d=|x﹣（﹣2）|=|x+2|，
如果d=3，那么3=|x+2|，
解得x=1或﹣5
（4）解：根据题意得出：∵﹣5＜m＜3，
∴|m+5|+|m﹣3|=|5+3|=8
【解析】【解答】解：（1）填表如下：
m 5﹣3﹣4﹣4
n 2 0 3﹣2
3 372
A、B两点间的距
离
【分析】（1）结合数轴，得出两点间的距离公式，即可求解。

若A，B在数轴上分别表示的数为m、n，A，B两点间的距离为d，则d=|m﹣n|，根据此公式即可求解。

（2）根据（1）可得出结论。

（3）将d=3代入d=|x+2|，建立方程求解。

（4）根据已知可知﹣5＜m＜3，得出m+5＞0，m-3＜0，则|m+5|=m+5，|m﹣3|=-（m-3）,就可得出结果。

6．某商场将进货价为40元的台灯以50元的销售价售出，平均每月能售出800个．市场调研表明：当销售价每上涨1元时，其销售量就将减少10个．若设每个台灯的销售价上涨元．
（1）试用含的代数式填空：
①涨价后，每个台灯的销售价为________元；
②涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为________台；
③涨价后，商场每月销售台灯所获得总利润为________元．
（2）如果商场要想销售总利润平均每月达到20000元，商场经理甲说“在原售价每台50元的基础上再上涨40元，可以完成任务”，商场经理乙说“不用涨那么多，在原售价每台50元的基础上再上涨30元就可以了”，试判断经理甲与乙的说法是否正确，并说明理由．【答案】（1）；；
（2）解：甲与乙的说法均正确，理由如下：
依题意可得该商场台灯的月销售利润为：（600﹣10a）（10+a）；
当a=40时，（600﹣10a）（10+a）=（600﹣10×40）（10+40）=10000（元）；
当a=10时，（600﹣10a）（10+a）=（600﹣10×10）（10+10）=10000（元）；
故经理甲与乙的说法均正确
【解析】【解答】解：（1）①涨价后，每个台灯的销售价为50+a（元）；
②涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为800-10a（元）；
③涨价后，商场的台灯台每月销售台灯所获得总利润为( 10 + a ) ( 800 − 10 a )；
故答案为：50+a，800-10a，( 10 + a ) ( 800 − 10 a )．
【分析】（1）根据题意由每个台灯的销售价上涨a元，得到每个台灯的销售价为50+a；
商场的台灯平均每月的销售量为800-10a；商场每月销售台灯所获得总利润为( 10 + a ) ( 800 − 10 a )；（2）根据题意商场每月销售台灯所获得总利润为( 10 + a ) ( 800 − 10 a )，把a=40时和a=10时代入，求出月销售利润的值，判断即可.
7．已知：a是﹣1，且a、b、c满足（c﹣6）2+|2a+b|=0，请回答问题：
（1）请直接写出b、c的值：b=________，c=________
（2）在数轴上，a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为易动点，其对应的数为x，
①当点P在AB间运动（不包括A、B），试求出P点与A、B、C三点的距离之和．
②当点P从A点出发，向右运动，请根据运动的不同情况，化简式子：|x+1|﹣|x﹣2|+2|x﹣6|（请写出化简过程）
【答案】（1）2；6
（2）解：①∵PA=x﹣（﹣1）=x+1，PB=2﹣x，PC=6﹣x，
∴PA+PB+PC=x+1+2﹣x+6﹣x=9﹣x；|x+1|﹣|x﹣2|+2|x﹣6|
②当﹣1≤x＜2时，原式=x+1+x﹣2﹣2（x﹣6）=11；
当2≤x＜6时，原式=x+1﹣（x﹣2）﹣2（x﹣6）=﹣2x+15；
当x≥6时，原式=x+1﹣（x﹣2）+2（x﹣6）=2x﹣9
【解析】【解答】解：（1）∵（c﹣6）2+|2a+b|=0，
∴c=6，2a+b=0，即b=﹣2a，
又∵a=﹣1，
∴b=2，
故答案为：2，6；
【分析】（1）根据非负数的性质可得；（2）①根据两点间距离公式列出算式，化简可得；②分别根据﹣1≤x＜2、2≤x＜6、x≥6结合绝对值性质，去绝对值符号后化简可得．
8．以下关于的各个多项式中，，，，，均为常数.
（1）根据计算结果填写下表：
二次项系数一次项系数常数项
2________2
6________－2
________
（2）若的积中不含的二次项和一次项，求
的值.
（3）多项式与多项式的乘积为，则的值为________.
【答案】（1）5；-1；
（2）解：原式
∵积中不含的二次项和一次项∴解得原式
（3）-4
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：
（ 3 ）∵多项式与多项式的乘积为
∴设多项式
【分析】（1）根据多项式乘以多项式即可求解；（2）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项后使二次项系数和一次项系数为0即可求解；（3）根据多项式乘以多项式的结果可以设多项式M，再根据恒等式的意义求解.
9．阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是________．
（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值；
拓广探索：
（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．【答案】（1）﹣（a﹣b）2
（2）解：∵x2﹣2y=4，
∴原式=3（x2﹣2y）﹣21=12﹣21=﹣9；
（3）解：∵a﹣2b=3，2b﹣c=﹣5，c﹣d=10，
∴a﹣c=﹣2，2b﹣d=5，
∴原式=﹣2+5﹣（﹣5）=8．
【解析】【解答】解：（1）∵3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2=（3﹣6+2）（a﹣b）2=﹣（a﹣b）2；
故答案为：﹣（a﹣b）2；
【分析】（1）利用整体思想，把（a−b）2看成一个整体，合并3（a−b）2−6（a−b）2＋2（a−b）2即可得到结果；（2）原式可化为3（x2−2y）−21，把x2−2y＝4整体代入即可；（3）依据a−2b＝3，2b−c＝−5，c−d＝10，即可得到a−c＝−2，2b−d＝5，整体代入进行计算即可．
10．
（1）已知3x2-5x+1=0，求下列各式的值：①3x+ ；②9x2+ ；
（2）若3x m+1-2x n-1+x n是关于x的二次多项式，试求3（m-n）2-4（n-m）2-（m-n）3+2（n-m）3的值．
【答案】（1）解：①∵3x2﹣5x+1＝0，∴3x﹣5 0，∴3x 5；
②∵3x 5，∴，∴ 25，∴ 19
（2）解：3（m﹣n）2﹣4（n﹣m）2﹣（m﹣n）3+2（n﹣m）3
＝﹣（m﹣n）2+3（n﹣m）3
∵3x m+1﹣2x n﹣1+x n是关于x的二次多项式，∴或或
或，解得：或或或．
①当m＝1，n＝2时，原式＝﹣（1﹣2）2+3（2﹣1）3＝﹣1+3＝2；
②当m＝1，n＝1时，原式＝﹣（1﹣1）2+3（1﹣1）3＝0；
③当m＝0，n＝2时，原式＝﹣（0﹣2）2+3（2﹣0）3＝﹣4+24＝20；
④当m＝﹣1，n＝2时，原式＝﹣（﹣1﹣2）2+3（2+1）3＝﹣9+81＝72．
综上所述：原式的值为2或0或20或72
【解析】【分析】（1）①根据等式的性质，由3x2-5x+1=0 得出3x﹣5 + 0，即3x
+ 5；②将3x+ 5的两边完全平方，再利用完全平方公式展开移项合并同类项即可；
（2）首先将代数式合并同类项化为最简形式；由于多项式中，次数最高的项的次数就是单项式的次数，根据3x m+1﹣2x n﹣1+x n是关于x的二次多项式，即可列出关于m,n的方程
组：或或或，一一求解即可分别得出m,n的值，再分别代入代数式化简的结果即可算出答案。

11．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）：
户月用水量单价
不超过12 m3的部分a元∕m3
超过12 m3但不超过20 m3的部分1.5a元∕m3
超过20 m3的部分2a元∕m3
（2）设某户月用水量为n 立方米，当n＞20时，则该用户应缴纳的水费________元（用含a、n的整式表示）；
（3）当a＝2时，甲、乙两用户一个月共用水40 m3 ，已知甲用户缴纳的水费超过了24元，设甲用户这个月用水xm3 ，，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的整式表示）．
【答案】（1）解：2×12+2×1.5×(20－12)+2×2×(28－20)=80元
答：该用户这个月应缴纳80元水费
（2）2an－16a
（3）解：∵甲用户缴纳的水费超过了24元
∴x＞12
①12＜x≤20
甲：2×12+3×(x－12)=3x－12
乙：20≤40－x＜28
12×2+8×3+4×(40－x－20)=128－4x
共计：3x－12+128－40x=116－x
②20≤x≤28
甲：2×12+3×8+4(x－20)=4x－32
乙：12≤40－x≤20
2×12+3×(40－x－12)=108－3x
共计：4x－32+108－3x=x+76
③28≤x≤40
甲：2×12+3×8+4×(x－20)=4x－32
乙：0≤40－x≤12
2×(40－x)=80－2x
共计：4x－32+80－2x=2x+48
答：甲、乙两用户共缴纳的水费为
【解析】【解答】解：(2) 2an－16a
【分析】（1）根据表中数据可知28＞20，再根据表中数据列式计算，可求出结果。

（2）根据n＞20，可得出12a+8×1.5a+2a（n-20），化简即可。

（3）根据已知甲用户缴纳的水费超过了24元，可知a＞12，再再分情况讨论：①12＜x≤20；②20≤x≤28；③28≤x≤40，分别用含x的代数式表示出甲和乙所付的水费，再求出它们的和即可。

12．如图
设a1=22－02， a2=32－12，…，a n=(n+1)2－(n－1)2（n为大于1的整数）
（1）计算a15的值；
（2）通过拼图你发现前三个图形的面积之和与第四个正方形的面积之间有什么关系：
________（用含a、b的式子表示）；
（3）根据(2)中结论，探究a n=(n+1)2－(n－1)2是否为4的倍数．
【答案】（1）解：a15=162－142=256－196=60
（2）(a+b)2=a2+2ab+b2
（3）解：a n=(n+1)2－(n－1)2 =(n2+2n+1)－(n2－2n+1) =n2+2n+1－n2+2n－1=4n 是4的倍数.
【解析】【分析】（1）把n=15代入计算；
（2）通过观察可以得到前三个图形的面积与第四个图形面积之间的关系，从而可以用式子进行表示；
（3）利用（2）的关系式展开，合并同类项后可判断.。