第2章模煳控制的数学基础1
第2章 模糊控制- 数学基础
③
同一语言变量的所有语言值间要遵循语意顺 序、并避免其隶属函数间的不恰当重叠。
隶属度
很低 1 低 适中 高 很高
0
10
20
25
30
40
温度
25
1
重叠范围
两个隶属函数的全部范围
26
1
1
27
1
1
28
1
1
1
1
29
2.2.2 模糊关系（模糊推理的基础之一）
30
31
英 甲 乙 丙
2
模糊控制的特点
①
无需知道被控对象的数学模型
以人们的控制经验为基础设计的控制器
②
与人类脑力活动的特点一致
模糊性：人类思维中采用模糊量，如：高、中、 低、大、小等。
经验性：模糊控制的核心是控制规则，模糊控 制中的知识表示、模糊规则和模糊推理是基于专家 知识或熟练操作工的成熟经验。模糊控制规则是用 人类语言表示的，如：衣服较脏，则投入洗涤剂较 多，洗涤时间较长。
45
⑤
⑥ ⑦
全由所考虑问题的目的或属性这样的外界因素 决定。一旦所考虑问题的目的或属性确定，关 系就客观存在了，但模糊关系中隶属度的确定 仍具主观性。 要完整确定出两个论域中的元素之间的关联性 (也即这两个论域间存在的关系)，应该逐个考 虑这两个论域中的所有元素间的所有可能的配 对情况(所有配对的集合即为直积)。 数学上，关系体现为定义在两个论域的直积上 的(模糊)集合，也是该直积的子集。 两个有限论域之间的关系可以用矩阵表示，但 要将处于直积中前面论域中的所有元素排成列、 而将后面论域中的所有元素排成行。
模糊控制数学模型
⎩⎨⎧∉∈=Ax 0,A x ,1)(x Aμ=)(x A λχλ≥)(x A λ<)(x A 第二章 模糊控制的数学基础模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。
模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。
2.1集合与关系集合的概念具有特定属性的对象的全体，称为集合。
例如： “湖南大学的学生”可以作为一个集合。
集合通常用大写字母A ，B ，……，Z 来表示。
集合的特征函数表示方法集合的表示方法在初等数学中，已经给出。
例如:列举法、表征法、描述法、文氏图法等，现给出另一种表示方法:特征函数法。
设x 为论域X 中的元素， A 为论域X 中定义的一个集合，则x 和A 的关系可以用集合A 的特征函数来表示。
它的值域是{0，1}，它表示元素x 是否属于集合A 。
如果x 属于集合A ，那么的值为1；如果x 不属于集合A ，那么的值为0。
即 2.2模糊集合与普通集合的联系当我们处理实际问题的某个时刻，要对模糊概念有个明确的认识与判决时，要判断某个元素对模糊集的明确归属，这就要求模糊集与普通集合可以依某种法则相互转换。
模糊集合的截集，分解定理描述了模糊集合和普通集合之间的关系。
2.2.1水平截集的定义给定一个模糊集合A ，由对于A 的隶属度大于某一水平值λ的元素组成的集合，叫做该模糊集合的λ水平截集，那么模糊集合A 就变成了普通集合λA 。
设)(X F A ∈，任取∈λ[0，1]，记}A(x):X {x A λλ≥∈=，称λA 为A 的λ 截集，其中λ称为阈值或置信水平。
当λ1≠时，}A(x):X {x A λλ≥∈=+,称+λA为A 的λ的强截集。
而λA 是X 对于A 的隶属度大于λ的元素集合。
λA 的特征函数为：1nn A A A x x x x x x A )()()(2211μμμ+++=2.2.2分解定理分解定理说明,任何一个模糊集可由一类普通集合套来表示设A 是普通集合，∈λ[0，1]，做数量积运算，得到一个特殊的模糊集A λ，其隶属度函数为)(x A λμ=分解定理:设A 为论域X 上的模糊集合，λA 是A 的截集，则有λλλA A ]1,0[∈=2.3模糊集合2.3.1模糊集合的概念定义:设X 是论域,X 上的一个实值函数用A μ来表示,即]1,0[:→X A μ。
第二章模糊控制理论基础
u U u U
经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的 关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一 而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。
用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。
对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、 “温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。
经典集合对事物只用"1"、"0"简单地表示“属于” 或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属度 (Degree of membership)”来描述元素的隶属程度， 隶属度是0到1之间连续变化的值。
四种方法： 1、模糊统计法
基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清 晰集合A*作出清晰的判断。
对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同的边界。但它们都对 应于同一个模糊集A。
模糊集A 年轻人
v0
清晰集A1* 清晰集A2*
论
17-30岁 20-35岁
域 U
所有人
计隶算属步度骤函：数在确每立次的统方计法中：，v0是固定的（如某一年龄）， A*的值是可变的，作n次试验,则
示。
uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
集合表示法(经典集合)：
(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。 (2)定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。
(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。 (4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性 来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合， 要么就不属于这个集合。
定义2-8 设A,B F(U),则定义代数运算： (1)A与B的代数积记作A • B，运算规则由下式确定：
A • B(u)= A(u)B(u)
第2章模糊数学基础
A A A a A , a A , , a , 12 r 1 1 2 2 rA r
由两个集合X和Y，各自的元素xX，yY构成序偶（x，y） 的集合称为集合X和Y的直积。 X Y
x 1 y X Y 1 x n
2019/2/16
பைடு நூலகம்
xy xy 11 1 2 xy 2 1 xy 2 2 y m xy n 1 xy n 2
[例2－2] 用序偶法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8， 9，10中讨论“几个”这一模糊概念。 [解]
F ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3 , 9 , 0 , ( 1 0 , 0 )
S 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3
20
2019/2/16
3）向量表示法 将论域U中的隶属度F(ui)用来表示模糊集合F，则：
F F u , F u ,, F u 1 2 n
F u F u F u 1 2 n F u u u 1 2 n
用扎德法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9， [例2－1] 10中讨论“几个”这一模糊概念。
0 0 0 . 2 0 . 7 1 1 0 . 7 0 . 3 0 0 [解] F 1 23 45 67 89 1 0
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11
（3）关系矩阵 二元关系R可用二维关系矩阵表示 设X = x ,,, x , Y y ,,, y , 1 2 x n 1 2 y m R是由X到Y的关系，则关系矩阵R的第i行第j列上的元素 rij定义为
模糊控制的数学基础-1(2-16至2-30)模糊运算、分解定理
从中可见，随着实验次数n 的增加，27岁对“青年人”的频率基本稳定在0.78附近，近似可取()78.027~=A μ。
②例证法此法是扎德教授于1972年提出的。
基本思想—从模糊子集~A的有()x A ~μ的值，估计出论域U 上~A 的隶属函数。
例如：取论域U 是实数域R 中的一部分[0,100], ~A 是U 上―较大的数‖，虽然~A 是U 上的模糊子集。
为确定()x A ~μ的分布，选定几个语言真值（即一句话为真的程度）中的一个，来回答[0，100]中的某数是否算―较大‖。
如果语言真值分为―真的‖、―大致真的‖、―半真半假‖、―大致假的‖、“假的”。
把这些语言真值分别用[0，1]之间的数字表示，即分别为1，0.75，0.5，0.25和0。
对[0，100]用的αϕ个不同的数都作为样本进行询问，就可得~A 的模糊分布()x A ~μ的离散表示法。
③专家评分法（德尔菲法）该法40年代以来就已广泛应用于经济与管理科学的各个领域，典型的例子是在体操比赛中对运动员的评分，“技术好”是运动员集上的一个模糊 ，所有评委打分的平均值（有时去掉一个最高分和一个最低分）就是运动员“技术好”的隶属度。
这种方法也可以用来求模糊分布，在应用时，为了区别专家的学术水平和经验的多少，还可以采用加权平均法。
§2—2 模糊子集的特性及运算法则前面已讨论过普通集合的基本运算，下面对模糊子集的运算另作定义。
一、 模糊子集的运算法则 ① Fuzzy 子集的包含与相等设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，对于U 中的每一个元素x ，都有()x A ~μ≥()x B ~μ，则称~A 包含~B ，记作~A ⊇~B 。
如果，~A ⊇~B 且~B ⊇~A ，则说~A 与~B 相等，记作~A =~B 。
或者，若对所有x ∈U ，都有()x A ~μ=()x B ~μ，则~A =~B 。
②模糊子集的并、交、补运算设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，规定~A ~B 、~A ~B 、~A 的隶属函数分别为~~BAμ、~BAμ、~A μ,并且对于U 的每一个元素x 都有~~BAμ()∆x ()x A ~μ∨()x B ~μ=max[()x A ~μ,()x B ~μ] —~A ,~B 的并~~BAμ()∆x ()x A ~μ∧()x B ~μ=min[()x A ~μ,()x B ~μ]— ~A ,~B 的交~Aμ()∆x 1–()x A ~μ —~A 的补eg,设论域U={}4321,,,x x x x ，~A 、~B 是论域U 上的两个模糊集。
模糊控制的数学基础
选择题
模糊控制理论中的核心概念之一是模糊集合，它主要由谁提出？
A. 扎德（Zadeh）（正确答案）
B. 牛顿
C. 莱布尼茨
D. 欧拉
模糊集合论中，用于描述元素属于集合程度的函数是什么？
A. 隶属函数（正确答案）
B. 概率函数
C. 分布函数
D. 密度函数
在模糊逻辑中，处理不确定性和模糊性的基本工具是什么？
A. 模糊规则
B. 模糊推理系统（正确答案）
C. 模糊数
D. 模糊关系
模糊控制中，用于将模糊量转换为精确量的过程称为？
A. 模糊化
B. 清晰化（正确答案）
C. 模糊推理
D. 模糊规则生成
下列哪一项是模糊控制系统中常用的清晰化方法？
A. 最小二乘法
B. 质心法（正确答案）
C. 牛顿法
D. 拉格朗日法
模糊集合的运算中，表示两个模糊集合合并的操作是什么？
A. 模糊交
B. 模糊并（正确答案）
C. 模糊补
D. 模糊蕴含
在模糊逻辑中，用于表示模糊命题之间逻辑关系的运算是什么？
A. 模糊蕴含（正确答案）
B. 模糊加法
C. 模糊减法
D. 模糊乘法
模糊控制器的设计过程中，确定输入输出变量模糊子集及其隶属函数的过程称为？
A. 模糊规则设计
B. 模糊化设计
C. 模糊关系设计
D. 隶属函数设计（正确答案）
模糊控制系统性能的好坏很大程度上取决于什么的设计？
A. 模糊规则库（正确答案）
B. 模糊推理机
C. 模糊化接口
D. 清晰化接口。
智能控制第二章模糊控制的数学基础
智能控制第二章模糊控制的数学基础模糊控制数学基础模糊概念在经典集合论中，人们对事物的描述是精确的，这种集合论要求一个事物对于一个集合要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一，绝不允许模棱两可。
比如，一个学生要么属于“大学生”,要么不属于。
但是在现实生活中，人们对事物的描述并非都可以精确的用“属于”或“不属于”这两种截然不同的状态来进行划分。
模糊性普遍存在于人类思维和语言交流中，是一种不确定性的表现。
在实际生活中，经常听到这样的话“他很高”、“她很年轻”、“她的成绩很好”等，其中的“高”、“年轻”、“成绩好”都是模糊的概念，究竟多高才算高，究竟多少岁才算老，或者说年轻和年老的分界线是多少岁，成绩多好才算好，都没有一个十分确定的界限。
模糊概念天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低模糊概念没有明确外延的概念，即没有明确符合某概念的对象的全体，如“天气冷热”、“雨的大小”、“风的强弱”、“人的胖瘦”、“年龄的大小”、“个子高低”。
是客观事物本质属性在人们头脑中的反映。
例：高温天气的定义，按照经典集合理论的表示方式，高温={TOT36℃}。
35.9℃不属于高温35.9℃当然属于高温天气，温度已经相当高，无非属于高温天气的程度99%,不如36℃的程度高，但是比30℃的程度高。
4模糊控制模糊控制人们已经无法回避客观上存在的模糊现象。
扎德(Zadeh)教授提出的模糊集合理论，其核心是对复杂系统或过程建立一种语言分析的数学模式，使自然语言能直接转化为计算机所能接受的算法语言。
正是在这种背景下，作为智能控制的一个重要分支的模糊控制理论产生了。
模糊数学和模糊控制理论的发展虽然只有几十年的历史，但其理论和引用的研究已取得了丰硕的成果。
尤其随着模糊逻辑在自动控制领域的成功应用，模糊控制理论和方法的研究引起了学术界和工业界的广泛关注。
2.1 概述模糊控制的定义对于一个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验，采取适当的对策来巧妙地控制一个复杂过程，得到满意的控制效果。
模糊控制的数学基础
关系：对于给定集合 X 、 Y 的直积 X Y 上的一个子集 R，
称为 X 到 Y 的二元关系，简称为关系。对于 X Y 的元
素 (x, y)，若有 (x, y) R，则称 x 与 y 相关，记为 x R y
否则 (x, y) R ，记为 x R y 。 设 f : X Y ，显然有{(x, y) y f (x)} X Y ，可见
3. 集合（Set）
给定一个论域，其中具有相同属性的确定的可以彼此区别的元素的 全体称为集合。
4. 全集、空集、子集
全集：集合中包含了论域中的全部元素。
空集：不包含论域中任何元素的集合称为空集，记为Ø。
子集（Subset）：对于x A x B , 称为A为B的一个子
集,
A B
7
二、集合的表示法 1. 列举法：
A (B C) (A B) (A C)
A (B C) (A B，) (A C)
A (A B) A
A (A B) A
AU U,
A U A
A Ø A ， A Ø＝Ø
7．复原律
(Ac )c A
12
8．互补律 A Ac U ,
A Ac Ø
9．对偶律
(A B)c Ac Bc (A B)c Ac Bc
4
美国加里福尼亚大学控制论专家扎德 （L.A.Zadeh）教授1965年创立了模糊集合论， 用隶属函数代替经典集合论中的特征函数，隶属 函数在[0, 1]间连续取值，以此来描述模糊现象的 中间过渡性，突破了经典集合论中或不属于的绝 对关系。
5
2.1.2 精确性、模糊性与随机性
确定性——经典数学
不确定性
Ac=｛x | x Α且x∈U｝
4. 集合的直积 设有两个集合A和B，A和B的直积A×B定义为
智能控制02-模糊控制的数学基础ppt课件
x
5,
x 180
1,
x 150 x(150,180)
x 180
矮个子模糊集合 ppt精选版 高个子模糊集合 23
知识点:如何对变量进行模糊化
确定变量 定义变量的论域 定义变量的语言值(即模糊集合) 定义每个模糊集合的隶属函数
ppt精选版
24
An Example
1
速度：论域［0，200］
0
表 示 x完 全 不 属 于 A
A(x) 1
表 示 x完 全 属 于 A
0A(x)1 表 示 x部 分 属 于 A
ppt精选版
16
模糊集合的表示方法
Zadeh表示法 序偶表示法 隶属函数表示法
有限元素集合 连续元素集合
参见教材page13-14:例2-4,例2-5,例2-6.
ppt精选版
A1A(u)
ppt精选版
32
模糊集合运算举例
例：设论域为{u1,u2,u3,u4,u5}的两模糊集合分别为
A0.20.710.5, u1 u2 u3 u4
B0.10.30.810.5 u1 u2 u3 u4 u5
求
A B ,A B ,A ,和 B
完成教材P15:例2-7的练习
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33
模糊运算的性质
2.2 Fuzzy Sets
模糊集合是模糊控制的数学基础
经典集合 模糊集合
有明确分界限的元素 的组合
描绘模糊语言概念
ppt精选版
9
A＝{1,3,5,7, 9}
Classical Sets B={2,4,6,8,10}
十九世纪末，康托建立了经典集合理论 集合
具有某种特定属性的对象的全体。 通常用大写字母A, B, C, …表示
模糊控制 - 数学基础
一、模糊集合
6、运算性质
F集幂等律： A A=A，A A=A F集两极律：A =，A U=U F集同一律： A U=A，A =A F集交换律： A B=B
A，A B =B A
F集结合律： A B C =A
B
C , A B C =A
4
一、模糊集合
例1 设集合U 由1到5的五个自然数组成，用上述前三 种方法写出该集合的表达式。
解：(1)列举法 U ={1,2,3,4,5} (2)定义法 U ={u|u为自然数 且 1u5 }
(3)归纳法 U ={ui+1 = ui+1, i = 1,2,3,4, u1 = 1}
（4）特征函数表示法：集合U通过特征函数来TU(u)表示 u U 1 TU (u) u U 0
A
其中隶属函数定义为
x, ( x) x U
A
A ( x)
1 1 10 x 2
“接近于0的实数”之模糊集合
12
一、模糊集合
例：拥有离散性论域的模糊集合 假设U ={ 0,1,2,...,9 } 为代表一个家庭中，所可能拥有子女个数的集 合，令三个模糊集合之定义为A：子女数众多，B：子女数适中，C：子 女数很少，其隶属函数的定义如表所示。
子女数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 子女众多 (A) 0 0 0 0 0 0.1 0.3 0.8 1 1 子女适中 (B) 0 0 0.2 0.7 1 0.7 0.2 0 0 0 子女很少 (C) 1 1 0.8 0.2 0.1 0 0 0 0 0
一、模糊集合
3、模糊集合的表示
当论域U由有限多个元素组成时，模糊集合可用向量表示法或扎德 表示法表示。设 U {x1 , x2 , , xn } { 0,1, 2,..., 9 }
模糊控制理论基础知识
第二章 模糊控制理论基础知识2.1 模糊关系一、模糊关系R ~所谓关系R ，实际上是A 和B 两集合的直积A ×B 的一个子集。
现在把它扩展到模糊集合中来，定义如下：所谓A ，B 两集合的直积A ×B={(a,b)|a ∈A ，b ∈B} 中的一个模糊关系R ~，是指以A ×B 为论域的一个模糊子集，其序偶(a,b)的隶属度为),(~b a Rμ，可见R ~是二元模糊关系。
若论域为n 个集合的直积，则A 1×A 2×A 3×……A n 称为n 元模糊关系R ~，它的隶属函数是n 个变量的函数。
例如，要求列出集合X={1,5,7,9,20}“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系R ~。
因为直积空间R=X ×X 中有20个“序偶”，序偶(20,1)中的前元比后元大得多，可以认为它的隶属度为1，同理认为序偶(9,5)的隶属于“大得多”的程度为0.3，于是我们可以确定“大得多”的关系R ~为R ~=0.5/(5,1)+ 0.7/(7,1)+ 0.8/(9,1)+ 1/(20,1)+ 0.1/(7,5)+0.3/(9,5)+ 0.95/(20,5)+ 0.1/(9,7)+0.9/(20,7)+ 0.85/(20,9)综上所述，只要给出直积空间A ×B 中的模糊集R ~的隶属函数),(~b a R μ，集合A 到集合B 的模糊关系R ~也就确定了。
由于模糊关系，R ~实际上是一个模糊子集，因此它们的运算完全服从第一章所述的Fuzzy 子集的运算规则，这里不一一赘述了。
一个模糊关系R ~，若对∀x ∈X ，必有),(~x x R μ=1，即每个元素X 与自身隶属于模糊关系R ~的隶属度为1。
称这样的R ~为具有自返性的模糊关系。
一个模糊R ~，若对∀x ，y ∈X ，均有),(~y x Rμ=),(~x y Rμ 即(x,y)隶属于Fuzzy 关系R ~和(y,x)隶属于Fuzzy 关系R ~的隶属度相同，则称R ~为具有对称性的Fuzzy 关系。
2模糊控制的数学基础
分解定理
设A是论域X上的模糊集合，λ∈[0, 1]，A是A的λ截集，则有
A A 0, 1 其中λAλ为x的一个特殊模糊集合，其隶属函数为
, A (x) 0,
x A x A
说明任何一个模糊集可由 一个普通集合簇来表示
Page 30
2.3 模糊集合与普通集合的联系
分解定理 为了对分解定理有一个直观的了解，在左图中，取λ1、 λ2∈[0,1]两个值
集合的直积 序偶 将不同的事物按一定顺序排列起来组成一个整体， 用以表达它们之间的关系，这就叫做序偶。 集合的直积 有两个集合X，Y，从X中取一个元素x，从Y中取一个元 素y，把它们组成一个序偶，所有元素序偶的全体组成一 个新的集合，这个集合叫做集合X，Y 的直积，表示为
X Y {(x, y) | x X , y Y}
A {x | x X , A (x) }
称 A为A的λ强截集
当λ=1时，得到的最小的水平截集A1称为模糊集合A的核。 当λ=0+时，得到的最大的水平截集称为模糊集合A的支集。 如果A的核A1非空，则称A为正规模糊集，否则称为非正规 模糊集。
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2.3 模糊集合与普通集合的联系
λ水平截集
0
25 50 75 100
u
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2.2 模糊集合
例2.2.3
“年轻”和“年老”模糊集合可以写为：
Y
1
1
(
x
25) 5
2
1
x 0x25
25x200
x
O
0
1
(
x
5 50
)
2
1
x 0x50
50x200
x
Page 21
模糊控制的理论基础.ppt
模糊控制还需要解决的问题
1、人的知识和经验的表达；
2、知识推理的方法；
3、人的知识的获得和总结； 4、模糊控制系统稳定性判据； 5、模糊控制系统的学习； 6、模糊控制系统的分析；
7、模糊控制系统的设计方法
模糊控制系统人性化——模糊控制容忍噪声的干 扰和元器件的变化——模糊控制适应性好
第二节 模糊集合论基础
(u )/u
i 1 F i
n
i
例2-2 考虑论域U={0,1,2,……10}和模糊集F”接近 于0的整数“，它的隶属度函数表示法
F 1 . 0 / 0 0 . 9 / 1 0 . 75 / 2 0 . 5 / 3 0 . 2 / 4 0 . 1 / 5
2、序偶表示法：
输出模糊集的精确化——将模糊控制量转化为清晰的、确定的输出控制量。
模糊控制技术需要解决的具体问题
1、模糊控制器的构造：单片机、集成电路、可编程控制器 (PLC)； 2、模糊信息与精确信息转换的物理结构和方法； 3、模糊控制器对外界环境的适应性及适应技术（A/D和 D/A技术）； 4、实现模糊控制系统的软技术（仿真软件）； 5、模糊控制器和被控对象的匹配技术（依赖人们的经验）。
0 x 0 F 1 x0 100 1 2 x
可以算出u(5)=0.2； u(10)=0.5; u(20)=0.8；表示5属 于大于零的程度为0.2，也就意味5算不上是远远大 于0的数。
若U为离散域，即论域U是有限集合时，模糊集合可以有以下 三种表示方法： 1、查德表示法 即： F
1965年，Zadeh提出模糊集理论——模糊控制理论（以模 糊集合为数学基础）； 1974年，E.H.Mamdani首先利用模糊数学理论进行蒸汽机 和锅炉控制方面的研究； 模糊控制依赖操作者的经验；（传统的控制依赖于微分 方程组等）； 改善模糊控制性能最有效的方法是优化模糊控制规则； 模糊规则是通过将人的操作经验转化为模糊语言形式获 取的，带有一定的主观性。
模糊控制的理论基础
有关隶属函数的MATLAB设计，见著作：
楼顺天，胡昌华，张伟，基于MATLAB的系统分析 与设计-模糊系统，西安：西安电子科技大学出版 社，2001
例2.5 隶属函数的设计：针对上述描述的6种隶属 函数进行设计。M为隶属函数的类型，其中M=1 为高斯型隶属函数，M=2为广义钟形隶属函数， M=3 为 S 形 隶 属 函 数 ， M=4 为 梯 形 隶 属 函 数 ， M=5为三角形隶属函数，M=6为Z形隶属函数。 如图所示。
X Years
图2-1 “年轻”的隶属函数曲线
2.2.2 模糊集合的运算 1 模糊集合的基本运算
由于模糊集是用隶书函数来表征的，因此两 个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作 相应的运算。
（1）空集 模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，
即
A A (u) 0
（2）全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，
设A和B经过平衡运算得到C，则
c (x) A (x) B ( x) 1 1 (1 A (x)) (1 B (x))
其中γ取值为[0，1]。 当γ=0时，c (x) A (x) B (x)，相当于A∩B时的算子。
当γ=1，c (x) A(x) B (x) A(x) B (x) ，相当于
B 0.3 0.1 0.4 0.6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则 A B 0.9 0.2 0.8 0.6
u1 u2 u3 u4
A B 0.3 0.1 0.4 0.5 u1 u2 u3 u4
例2.4 试证普通集合中的互补律在模糊集
合中不成立，即 A (u) A (u) 1，
则 u0属于“成绩差”的隶属度为：
A (u0 ) 1 0.8 0.2
模糊控制的数学基础-Read
模糊集合的表示法：各元素与隶属度结合在一起。
Zadeh表示法： A= μA（x1）∕x1 + μA （x2）∕x2 +… + μA （xn） ∕xn 论域E={x1，x2，…xn},A为E上的一个模糊集,xi的隶属度 为μA(Xi) “+”不是相加,“∕”也不是相除—分子：隶属度；分母 元素。 所以，前面的例子中， A1=0.1 ∕a +0.3 ∕b +0.4 ∕c +0.7 ∕d +1.0 ∕e A2=1.0 ∕a +0.8 ∕b +0.55 ∕c +0.3 ∕d +0.1 ∕e b) 序偶表示法： A1={ （a ，0.1），（b ，0.3），（c ，0.4）， （d ，0.7），（e ，1.0）} A2={（a ，1.0），（b ，0.8），（c ，0.55）， （d ，0.3），（e ，0.1）} 也可进一步化简为失量表示： A1={μA1(a) μA1(b) μA1(c) μA1 (d) μA1(e)} ={0.1 0.3 0.4 0.7 1.0} A2={1.0 0.8 0.55 0.3 0.1}
二元模糊关系R是定义在直积Z×Y上的模糊关系，用 矩阵表示 R ( x1 , y1) R ( x1 , y2) ... R ( x1 , ym ) R ( x2 , y1) R ( x2 , y2) ... R ( x2 , ym ) R : : : : ( xn , y ) ( xn , y ) ... ( xn , y ) 1 R 2 R m R 这样的矩阵就是模糊关系矩阵，它的各元素均为 隶属度函数。 E.g: 设Z={儿子，女儿} Y={父，母} 对于“子女与父母长得相象”的模糊集合为
模糊控制的理论基础
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
4．吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
5．分配律
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C)
6．复原律
A A
7．对偶律
A B A B
A B A B
8．两极律
A∪E=E，A∩E=A
A∪Ф=A，A∩Ф=Ф
例3.4 设
A
B
0 .9 0 .2 0 . 8 0 .5 u1 u2 u3 u4
0 .3 0 . 1 0 .4 0 . 6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则
0.9 0.2 0.8 0.6 A B u1 u2 u3 u4
0 .3 0 .1 0 .4 0 .5 A B u1 u2 u3 u4
A {0.95,0.90 ,0.85}
其含义为张三、李四、王五属于“学习 好”的程度分别是0.95，0.90，0.85。 例3.3 以年龄为论域，取 X 0,200 。Zadeh给 出了“年轻”的模糊集Y，其隶属函数为
0 x 25 1 1 Y ( x) x 25 2 25 x 100 1 5
例3.5 试证普通集合中的互补律在模糊集 合中不成立，即 A (u ) A (u ) 1 ，
A (u ) A (u ) 0
证：设 A (u ) 0.4 ， 则
A (u ) 1 0.4 0.6
A (u) A (u) 0.4 0.6 0.6 1
模糊集合是以隶属函数来描述的， 隶属度的概念是模糊集合理论的基石。
模糊控制技术第２章模糊逻辑的数学基础
客观的存在是有一定联系的，是受到客观制约的。因此，隶
属函数的确定应遵守一些基本原则。
第２章 模糊逻辑的数学基础
定义2.4 凸模糊集合：设实数论域中模糊集合A在任意
区间[x1，x2]上，对所有的实数x∈[x1，x2]都满足
μA(x)≥min{μA(x1)，μA(x2)}
(2.13)
则称A为凸模糊集合，否则即为非凸模糊集合，参看图2.4。 由此可见，凸模糊集合的隶属函数是一个单峰凸函数。 (1) 隶属函数所表示的模糊集合必须是凸模糊集合。下 面以主观性最强的专家经验法为例来确定“舒适”温度的隶 属函数。
ui
1
（2.8）
第２章 模糊逻辑的数学基础
这里的∑、∫仅仅是符号，不是表示求“和”或“积分”记
号，而是表示论域U上的元素u与隶属度μF(u)之间的对应关 系的总括； μF(ui)/ui也不表示“分数”，而表示论域U上u与 隶属度μF(u)之间的对应关系。 ② 不可数情况：扎德表示法
F
F ( ui )
~ 模糊集合表示为 。这就定义了一个映射 μF： F
μF∶U→［0，1］ i→μF(u)
（2.2）
第２章 模糊逻辑的数学基础
~ 的隶属函数（Membership 这个映射称为模糊集合 F ~ 简记为F。 Function）。本书在不混淆的情况下，将模糊集合 F
上述定义表明，论域U上的模糊集合F由隶属函数μF(u)来 表征，μF(u)的取值范围为闭区间［0，1］，μF(u)的大小反映 了u对于集合F的从属程度。μF(u)的值接近于1，表示u
u 50 2 1＋ 5 50u 200 u
1
2
1
第２章 模糊逻辑的数学基础
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人工智能与模糊控制
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2.1 清晰向模糊的转换
为了对事物进行识别，必须对事物按不 同的要求进行分类。许多事物可以依据一 定的标准进行分类。用于这种分类的数学 工具就是集合论。
解决精确性的集合问题可以用经典集合 论。
世界上大多数事物具有模糊性。为了
描述具有模糊性的事物，引入模糊集合的
第二章 模糊控制的数学基础
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人工智能与模糊控制
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2.1 清晰向模糊的转换
一、 模糊控制的提出
以往的各种传统控制方法均是建立在被控对象精 确数学模型基础上的，然而，随着系统复杂程度 的提高，将难以建立系统的精确数学模型。 在工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统 可由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意 的控制效果。这说明，如果通过模拟人脑的思维 方法设计控制器，可实现复杂系统的控制，由此 产生了模糊控制。
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人工智能与1）集合的概念
* 集合 具有特定属性的对象的全体，称为集 合。例如： “湖南大学的学生”可以 作为一个集合。集合通常用大写字母 A，B，……，Z来表示。
* 元素 组成集合的各个对象，称为元素，也 称为个体。通常用小写字母a， b，……，z来表示。
* 论域 所研究的全部对象的总和，叫做论域， 也叫全集合。
* 空集 不包含任何元素的集合，称为空集， 记做Φ。
* 子集 集合中的一部分元素组成的集合，称 为集合的子集。
* 属于
若元素 a 是集合 A 的元素，则称元素 a 属于集合 A ，记为a∈A；反之，称a不属 于集合A，记做 a A。
*包含
若集合A是集合B的子集，则称集合A包含于 集合B，记为A B；或者集合B包含集合A， 记为 B 。 A
概念。
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人工智能与模糊控制
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2.1 清晰向模糊的转换
• 经典集合：具有某种特性的所有元素的总 和。
• 模糊集合： 在不同程度上具有某种特性的 所有元素的总和。
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2.1 清晰向模糊的转换
模糊集合论的诞生，解决了数值和模糊概念间 的相互映射问题。以模糊集合论为基础的模糊数 学，在经典数学和充满模糊性的现实世界之间，架 起了一座桥梁，使得模糊性事物有了定量表述的方 法，从而可以用数学方法揭示模糊性问题的本质和 规律。
*相等
对于两个集合A和B，如果A B 和 B A同 时成立，则称A和B相等，记做A=B。此时A 和B有相同的元素，互为子集。
*有限集
如果一个集合包含的元素为有限个，就叫 做有限集；否则，叫做无限集。
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2.1.1 普通集合
2）集合的表示法
* 列举法
将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该方法只能用于有 限集的表示。 例如10-20之间的偶数组成集合A，则A可表示为
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人工智能与模糊控制
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2.1 清晰向模糊的转换
二、模糊控制的特点
• （1）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊 控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计 的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。
• （2）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方 法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如 “高”、“中”、“低”、“大”、“小”等， 控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理 是人类智能活动的体现。
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2.1.1 普通集合
集合是数学中最基本的概念之一。 任何一个概念都有它的内涵和外沿。
概念的内涵 指这一概念的本质属性；
概念的外沿 指这一概念的全体对象，即一个集合。
讨论某一概念的外沿时总离不开一定的范围。
这个讨论的范围，称为“论域”，论域中的每个 对象称为“元素”。
A={10，12，14，16，18，20}
* 表征法
表征法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来。
上例中的集合A也可用表征法表示为
A={a|a为偶数，10≤a ≤20}
*特征函数法：
设A是论域X上的一个集合，定义论域X上的函数
• 第二类是随机性数学模型 • 随机性数学模型常用于描述具有或然性或者随机性的事物，这类事物本身是确
定的，但是它的发生与否却不是确定的。概率论、随机过程 • 第三类是模糊性数学模型
• 模糊性数学模型适用于描述含义不清晰、概念界线不分明的事物，它的外延不 分明，在概念的归属上不明确。模糊数学、模糊逻辑、粗糙集、熵空间等
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2.1 清晰向模糊的转换
• 三类数学模型
• 第一类是确定性数学模型 • 确定性数学模型往往用于描述具有清晰的确定性、归属界线分明、相互间关系
明确的事物。对这类事物可以用精确的数学函数予以描述，典型的代表学科就 是“数学分析”、“微分方程”、“矩阵分析”等常用的重要数学分支。
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2.1 清晰向模糊的转换
• （3）模糊控制易于被人们接受。模糊控制 的核心是控制规则，模糊规则是用语言来 表示的，如“今天气温高，则今天天气暖 和”，易于被一般人所接受。
• （4）构造容易。模糊控制规则易于软件实 现。
• （5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设 计的模糊规则可以对复杂的对象进行有效 的控制。
“精确”而言的。 “精确”：“老师”、“学生”、“工人”
“模糊”：“高个子”、“热天气”、“年 • 模糊数轻学人并”不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工
具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩 展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念， 来描述事物对模糊概念的从属程度。
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2.1 清晰向模糊的转换
• 模糊数学(模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加 利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论 统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人 脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。
• “模糊”，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界 限不明显，呈现出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相对于