2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第二章 空间向量与立体几何 2.1 Word版含解析

第二章DIERZHANG 空间向量与立体几何
§1　从平面向量到空间向量
课后训练案巩固提升
1.下面几个命题:①向量的模是一个正实数;②所有的单位向量相等;③所有的零向量相等;④一条直线的方向向量是相等的.其中错误的命题个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1解析:0的模为0,故①错;所有单位向量的模相等,但方向不一定相同,故②错,③对;一条直线的方向向
量不唯一,故④错.
答案:B
2.在四边形ABCD 中,若,且||=||,则四边形ABCD 为( )
AB =DC AC BD A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.不确定解析:若,则AB=DC ,且AB ∥DC ,所以四边形ABCD 为平行四边形.又||=||,即AC=BD ,AB =DC AC BD 所以四边形ABCD 为矩形.
答案:B
3.把空间所有单位向量归结到一个共同的始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一个圆
B.两个孤立的点
C.一个球面
D.一个平面解析:半径为1的球面上所有点到球心的距离为1.答案:C
4.在正三棱锥A-BCD 中,E ,F 分别为棱AB ,CD 的中点,设<>=α,<>=β,则α+β=( )EF ,AC EF ,BD A. B. C. D.π6π4π3π
2解析:如图,取BC 的中点G ,连接EG ,FG ,则EG ∥AC ,FG ∥BD ,故∠FEG=α,∠EFG=β.∵三棱锥A-BCD 是正三棱锥,∴AC ⊥BD ,∴EG ⊥FG ,即∠EGF=.π
2∴α+β=∠FEG+∠EFG=.π
2
答案:D
5.导学号90074018下列命题:
①两个相反向量必是共线向量;
②温度含有零上温度和零下温度,所以温度是向量;
③已知空间四边形ABCD ,则由四条线段AB ,BC ,CD ,DA 分别确定的四个向量之和为零向量;④不相等的两个空间向量的模必不相等.
其中,真命题的序号为 .
答案:①
6.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,AD ,BC ,CC 1的中点,则<EF ,GH
>= .
解析:连接DB ,BC 1,DC 1.
∵ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,∴△BDC 1为等边三角形.∵E ,F ,G ,H 分别是AB ,AD ,BC ,CC 1的中点,∴EF ∥BD ,GH ∥BC 1.
∴<>=.
EF ,GH BD ,BC 1π
3答案:π3
7.如图,已知ABCD-A 1B 1C 1D 1为平行六面体,若以此平行六面体的顶点为向量的始点、终点,求:
(1)与相等的向量;
BB 1(2)的相反向量;
BC 1(3)与平行的向量.
BA 1
解如图,连接AD 1,CD 1.
(1)与相等的向量为.
BB 1AA 1,CC 1,DD 1(2)的相反向量为.
BC 1C 1B ,D 1A (3)与平行的向量为.
BA 1A 1B ,CD 1,D 1C 8.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求:
(1)<>,<>,<>;
AB ,A 'B 'AD ,D 'C 'AB ,C 'D '(2)<>,<>.
AD ',BC AD ,D 'C 解(1)∵ABCD-A'B'C'D'为正方体,
∴AB ∥A'B',AD ⊥D'C',AB ∥C'D'.
∴<>=0,<>=,<>=π.
AB ,A 'B 'AD ,D 'C 'π
2AB ,C 'D '(2)∵在正方体ABCD-A'B'C'D'中AD ∥BC ,∴<>=<>=.连接AC ,
AD ',BC AD ',AD π4则△ACD'为等边三角形,∴<>=.
AD ',D '2π39.
如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为正方形,且PD=CD ,E ,F 分别是PC ,PB 的中点.
(1)试求以F 为起点的直线DE 的一个方向向量;
(2)试求以F 为起点的平面PBC 的一个法向量.
解(1)如图,取AD 的中点M ,连接MF ,EF ,
∵E ,F 分别是PC ,PB 的中点,∴EF ￿BC.
12又BC ￿AD ,∴EF ￿AD ,∴EF ￿DM ,12∴四边形DEFM 是平行四边形,
∴MF ∥DE ,∴是以F 为起点的直线DE 的一个方向向量.
FM (2)∵PD ⊥平面ABCD ,∴PD ⊥BC.
又BC ⊥CD ,且PD ∩DC=D ,
∴BC ⊥平面PCD.
∵DE ⫋平面PCD ,∴DE ⊥BC.
又PD=CD ,E 为PC 的中点,∴DE ⊥PC.
又BC ∩PC=C ,∴DE ⊥平面PBC ,
∴是平面PBC 的一个法向量,
DE 由(1),可知,∴就是以F 为起点的平面PBC 的一个法向量.FM =ED FM。