专题19 解三角形大题综合(学生卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)

专题19
解三角形大题综合
考点十年考情（2015-2024）命题趋势
考点1求面积的值及范围或
最值（10年7考）2024·北京卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷
2022·浙江卷、2019·全国卷、2017·全国卷
2016·全国卷、2015·浙江卷、2015·全国卷
2015·山东卷
掌握正弦定理、余弦定理及其相关
变形应用，会用三角形的面积公式
解决与面积有关的计算问题，会用
正弦定理、余弦定理等知识和方法
解决三角形中的综合问题，会利用
基本不等式和相关函数性质解决
三角形中的最值及范围问题
本节内容是新高考卷的必考内容，
一般给以大题来命题、考查正余弦
定理和三角形面积公式在解三角
形中的应用，同时也结合三角函数
及三角恒等变换等知识点进行综
合考查，也常结合基本不等式和相
关函数性质等知识点求解范围及
最值，需重点复习。

考点2求边长、周长的值及范围或最值（10年8考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2022·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2018·全国卷、2017·全国卷、2017·山东卷2017·全国卷、2016·全国卷、2015·浙江卷2015·山东卷
考点3求角和三角函数的值及范围或最值（10年10考）2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2021·天津卷、2021·全国新Ⅰ卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2020·江苏卷、2019·江苏卷2019·北京卷、2019·全国卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2016·北京卷、2016·山东卷、2016·四川卷2016·江苏卷、2015·江苏卷、2015·天津卷2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷2015·全国卷
考点4求三角
形的高、中线、角平分线及其
他线段长（10年几考）2023·全国新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全国卷2015·安徽卷、2015·全国卷
考点5三角形中的证明问题（10年4考）
2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·山东卷、2016·四川卷2015·湖南卷
考点01求面积的值及范围或最值
1．（2024·北京
·高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；
(2)从条件①、条件②、条件
③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13
cos 14
B =
；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a
A
+-=．
(1)求bc ；(2)若
cos cos 1cos cos a B b A b
a B
b A c
--=+，求ABC 面积．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.(1)求sin ABC ∠；
(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求
ADC △的面积.
4．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5
a C ==．(1)求sin A 的值；
(2)若11b =，求ABC 的面积．
5．（2019·全国·高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2
A C
a b A +=．（1）求B ；
（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =
，求ABC ∆面积的取值范围．
6
．（2017·全国·高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,22A A a +===.
（1）求角A 和边长c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.
7．（2016·全国·高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =33
2
ABC S ∆=
ABC ∆的周长.8．（2015·浙江·高考真题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24
A π
+=.
（1）求
2sin 2sin 2cos A
A A
+的值；
（2）若,34
B a π
=
=，求ABC ∆的面积.
9．（2015·全国·高考真题）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos ;
B （2）若90B = ，且2,a =求AB
C ∆的面积．
10．（2015·山东·高考真题）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
,求ABC ∆面积的最大值.
考点02求边长、周长的值及范围或最值
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 32A A +=．(1)求A ．
(2)若2a =2sin sin 2b C c B =，求ABC 的周长．
2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2C B =，
2222a b c ab
+-=(1)求B ；
(2)若ABC 的面积为33c ．
3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 3D 为
BC 中点，且1AD =．
(1)若π
3
ADC ∠=
，求tan B ；(2)若228b c +=，求,b c ．
4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长
的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知1231
23
S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；
(2)若sin sin 3
A C =
，求b ．5．（2022·全国乙卷·高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．
(1)证明：2222a b c =+；(2)若25
5,cos 31
a A ==
，求ABC 的周长．6．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，
sin 2C C =．(1)求C ∠；
(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．
7．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B
A B
=++．
(1)若23
C π
=
，求B ；(2)求22
2
a b c +的最小值．
8．（2020·全国·高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.
（1）若a
，b ，求ABC 的面积；
（2）若sin A C
，求C .9．（2020·全国·高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；
（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.
10．（2018·全国·高考真题）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若
DC =，求BC .
11．（2017·全国·高考真题）△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为
23sin a A
(1)求sin sin B C ;
(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.
12．（2017·山东·高考真题）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-
,S △ABC =3,求A 和
a .
13．（2017·全国·高考真题）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2
sin()8sin 2
B A
C +=．（1）求cos B ；
（2）若6a c +=，△ABC 的面积为2，求b ．
14．（2016·全国·高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.
（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=
ABC ∆的周长.15．（2015·浙江·高考真题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4
A π
=
，22b a -=
12
2c .
（1）求tan C 的值；
（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.
16．（2015·山东·高考真题）ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知
cos ()B A B ac =
+==求sin A 和c 的值.考点03求角和三角函数的值及范围或最值
1．（2024·天津·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92
cos 5163
a B
b
c ===，，．(1)求a ；(2)求sin A ；
(3)求()cos 2B A -的值．
2．（2023·天津·高考真题）在ABC 中，角,,A B C
所对的边分别是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠= ．(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -的值．
3．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知1
2,cos 4
a b c A ===-.
(1)求c 的值；(2)求sin B 的值；(3)求sin(2)A B -的值.
4．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C
所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2:1:A B C =b =．
（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；
（III ）求sin 26C π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值．
5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；
（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.
6．（2020·天津·高考真题）在ABC 中，角,,A B C
所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；
（Ⅲ）求sin 24A π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
7．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；
（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．
8．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==︒．
（1）求sin C 的值；
（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5
ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．
9．（2019·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．
（1）若a =3c ，b ，cos B =2
3，求c 的值；
（2）若
sin cos 2A B
a b
=，求sin(2B π+的值．
10．（2019·北京·高考真题）在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =1
2
-．
（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．
11．（2019·全国·高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．
（1）求A ；
（22b c +=，求sin C ．
12．（2018·天津·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
（1）求角B 的大小；
（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.
13．（2017·天津·高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.
（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.
14．（2017·天津·高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5
B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求π
sin(2)4
A +的值.
15．（2016·四川·高考真题）在 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC ；（Ⅱ）若
，求tanB ．
16．（2016·浙江·高考真题）在 ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c .已知b+c =2ac os B .（Ⅰ）证明：A =2B ；
（Ⅱ）若cos B =23
，求cos C 的值．
17．（2016·浙江·高考真题）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；
（2）若ABC ∆的面积2
4
a S =，求角A 的大小．
18．（2016·天津·高考真题）在ABC 中，内角所对的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =.
（Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若1
cos 3
A =，求sinC 的值.
19．（2016·北京·高考真题）在△ABC 中，222a c b +=+(1)求B 的大小；
(2)A ＋cos C 的最大值．
20．（2016·山东·高考真题）在△ABC 中，角A ，
B ，
C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A B
B A
+.
(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．
21．（2016·四川·高考真题）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cos cos sin A B C
a b c
+=.（Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若222
65
b c a bc +-=，求tan B .
22．（2016·江苏·高考真题）在ABC 中，AC=6，4cos .
54
B C π
==，（1）求AB 的长；
（2）求(6
cos A π
-的值.
23．（2015·江苏·高考真题）在中，已知
.
（1）求的长；
（2）求
的值.
24．（2015·天津·高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为1
2,cos 4
b c A -==-
．(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos(2)6
A π
+
的值．
25．（2015·四川·高考真题）如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角.
（1）证明：
（2）若求的值.
26．（2015·湖南·高考真题）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（Ⅰ）证明：sin cos B A =；（Ⅱ）若3
sin sin cos 4
C A B -=
，且B 为钝角，求,,A B C .27．（2015·湖南·高考真题）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）
证明：2
B A π
-=
；（2）求sin sin A C +的取值范围.
28．（2015·全国·高考真题）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ．（Ⅰ）求
sin sin B
C
∠∠；
（Ⅱ）若60BAC ∠= ,求B ∠.
考点04求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长
1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2．（2018·北京·高考真题）在ABC 中，17,8,cos 7
a b B ===-．（1）求A ∠；（2）求AC 边上的高．
3．（2018·全国·高考真题）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若
DC =，求BC .
4．（2015·安徽·高考真题）在ABC 中，3,6,4
A A
B A
C π
=
==点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.5．（2015·全国·高考真题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(1)求
sin sin B
C
；
(2)若AD ＝1，DC BD 和AC 的长．考点05三角形中的证明问题
1．（2022·全国乙卷·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．
(1)若2A B =，求C ；(2)证明：222
2a b c =+2．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；
（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.
3．（2016·四川·高考真题）在 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC ；（Ⅱ）若
，求tanB ．
4．（2016·浙江·高考真题）在 ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c .已知b+c =2ac os B .（Ⅰ）证明：A =2B ；
（Ⅱ）若cos B =23
，求cos C 的值．
5．（2016·山东·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A B
B A
+.(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．
6．（2016·四川·高考真题）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cos cos sin A B C
a b c
+=.（Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若222
65
b c a bc +-=，求tan B .
7．（2015·湖南·高考真题）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（Ⅰ）证明：sin cos B A =；（Ⅱ）若3
sin sin cos 4
C A B -=
，且B 为钝角，求,,A B C .。