江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试数学试题(文)(解析版)

江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试
数学试题（文）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一项是符合题目要求的。

) 1.已知集合{}
2log (1)2M x x =+＜，{1,0,1,2,3}N =-，则()R M N ⋂=（ ） A. {-1，0，1，2，3} B. {-1，0，1，2}
C. {-1，0，1}
D. {-1，3}
『答案』D
『解析』由题意，集合{}
2log (1)2{|13}M x x x x =+<=-<<，则
{|1R
M x x =≤-或
3}x ≥
又由{1,0,1,2,3}N =-，所以(){1,3}R M N ⋂=-，故选D.
2.已知复数1z 、2z
在复平面内对应的点关于虚轴对称，11z =，则1
2
z z =( ) A. 2
B.
C.
D. 1
『答案』D
『解析』由题意，复数1z 、2z
在复平面内对应的点关于虚轴对称，11z =，
则21z =-
，所以122
12
z z ====，故选D. 3.等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若82a =,798S =，则39a a +=( ) A. 16 B. 14
C. 12
D. 10
『答案』A
『解析』因为等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且798S =， 所以17747()
7982
a a S a +=
==，解得414a =； 又82a =，所以394814216a a a a +=+=+=. 故选A.
4.已知,x y 满足的约束条件3121x y x y x y -≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =-的最大值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
『答案』B
『解析』由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 目标函数2z x y =-，可化为直线2y x z =-，
当直线2y x z =-经过点A 时，此时在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最大值，
又由121
x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得(1,0)A ，
所以目标函数2z x y =-的最大值为max 2102z =⨯-=，故选B.
5.根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年425名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误．．的是
A. 前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合
B. 前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数
C. 整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数
D. 整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数 『答案』D
『解析』前4种组合中，选择生物学科的学生有三类：“生物＋历史＋地理”共计101人，“生物＋化学＋地理”共计86人，“生物＋物理＋历史”共计74人，故选择生物学科的学生中，更倾向选择两理一文组合，故A 正确．
前4种组合中，选择两理一文的学生有三类：“物理＋化学＋地理”共计124人，“生物＋化学＋地理”共计86人，“生物＋物理＋历史”共计74人；选择两文一理的学生有一类：“生物＋历史＋地理”共计101人，故B 正确．
整个高一年段，选择地理学科的学生总人数有12410186311++=人，故C 正确． 整个高一年段，选择物理学科的人数为198人，选择生物学科的人数为261人，故D 错误．综上所述，故选D ．
6.已知双曲线22
22:1(00)x y C a b a b
-=>>，的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲
线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
『答案』C
『解析』由题意可设双曲线C 的右焦点F(c,0),渐进线的方程为b
y x a
=±
，
可得=b=2a ，可得，
可得离心率e=c
a
= 故选C.
7.已知函数()ln f x x x a =+在点(1,(1))f 处的切线经过原点，则实数a （ ） A. 1
B. 0
C.
1e
D. -1
『答案』A
『解析』()()1,11,f x lnx f =+∴=''∴切线方程为y x 1a =-+,故0=0-1+a,解a=1 故选：A.
8.函数y =2x sin2x 的图象可能是
A. B.
C. D.
『答案』D
『解析』令()2sin 2x
f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，
所以()2sin 2x
f x x =为奇函数，排除选项A,B;
因为π
(,π)2
x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.
9.下图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）
A.
4π
B. 2π
C.
43
π D. π
『答案』B
『解析』应用可知几何体的直观图如图：是圆柱的一半， 可得几何体的体积为：2
11422
ππ⨯⨯=． 故选：B ．
10.将函数()2sin(2)3
f x x π
=+
的图像先向右平移
12
π
个单位长度，再向上平移1个单位长度，
得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( ) A.
49
12
π B.
356
π C.
256
π D.
174
π 『答案』C
『解析』由题意，函数()2sin(2)3
f x x π
=+的图象向右平移12
π
个单位长度，再向上平移1
个单位长度，得到()2sin[2()]12sin(2)11236
g x x x πππ
=-
++=++的图象， 若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-， 则()()123g x g x ==，则22,6
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，解得,6
x k k Z π
π=
+∈，
因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以121157,{,,,}6666
x x ππππ
∈--， 当12711,66x x ππ=
=-时，122x x -取得最大值，最大值为711252()666
πππ
⨯--=， 故选C.
11.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若|AF|=3，则|BF|=( ) A. 2 B.
3
2
C. 1
D.
12
『答案』B
『解析』如图所示，设,(0,)AFx θθπ∠=∈，及BF m =，
则点A 到准线:1l x =-的距离为3，得到323cos θ=+，即1cos 3
θ=， 又由2cos()m m πθ=+-，整理得23
1cos 2
m θ==+，
故选B.
12.已知函数1
0()ln ,0x x
f x x x x
⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为
( ) A. (2
1
e -
，0) B. (1
2e
-
，0) C. (0，
12e
) D. (0，
2
1e ) 『答案』C
『解析』由题意，函数1
0()ln ,0x x
f x x x x
⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个
零点，
当0x >时，令()()0F x f x kx =-=，可得2ln x
k x =， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln x
g x x
=有两个交点，
又由()3
12ln x
g x x -'=，令12ln 0x -=
，可得x =
当x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；
当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，
所以当x =
()max 12g x e
=
， 若直线y k =和()2
ln x g x x =
有两个交点，则1
(0,)2k e
∈，
当0x <时，y k =和()1
g x x
=
有一个交点，则0k >， 综上可得，实数k 的取值范围是1
(0,)2e
，故选C.
二、填空题(本大题共4小题，毎小题5分，共20分〉
13.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 的非负半轴重合，终边过点
(1,2)P ，则sin(
2)2
π
α+=______________。

『答案』
35
；
『解析』由题意，角α的终边过点(1,2)P ，求得OP =
利用三角函数的定义，求得cos
5α=
=，
又由223
sin(
2)cos 22cos 1212
55
π
ααα+==-=⨯-=-. 14.已知平面向量()21,1a m =-，()1,32b m =--，且a b ⊥，则a b -=______ 『答案』2
『解析』∵a b ⊥；
∴()21320a b m m ⋅=--+-=； 解得m ＝1；
∴()()()111120a b ，，，
-=--=； ∴2a b -=． 故答案为：2．
15.已知在等比数列{n a }中，0n a >，22
24159002a a a a +=-，539a a =，则2020a 的个位数
字是____________。

『答案』7
『解析』由等比数列的性质可得1524a a a a =，
因为2224152490029002a a a a a a +=-=-，所以222
2424242()900a a a a a a ++=+=，
又因为0n a >，所以2430a a +=，
又由539a a =，所以32
133()30,9a q q a q a +==，且0q >，
解得11,3==a q ，
所以2019
201945043202013(3)3a a q
===⨯， 所以2020a 的个位数字是7.
16.已知三棱锥A SBC -的体积为
3
，各顶点均在以SC 为直径球面上，
2AB AC BC ===，则这个球的表面积为_____________。

『答案』16π
『解析』由题意，设球的直径2,,SC R A B =是该球面上的两点，如图所示，
因为2AB AC BC ===，所以ABC ∆为直角三角形，
设三棱锥S ABC -的高为h ，则11323
⨯
=
，解得h = 取BC 的中点M ，连接OM ，根据球的性质，可得OM ⊥平面ABC ，
所以=
OM
在直角OMC ∆中，2OC ===, 即球的半径为2R =，
所以球的表面积为2244216S R πππ==⨯=.
三、解答题：本大题共6个大题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.横峰中学的平面示意图如图所示的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，
四边形区域BCDE 为教学区，AB 、BC 、CD 、DE 、EA 、BE 为学校主要道路(不考虑宽度)，
2,33933
BCD CDE BAE DE BC CD km ππ
∠=∠=
∠====。

（1）求道路BE 的长度；
（2）求生活区ABE 面积的最大值。

解：（1）如图所示，连接BD ，在BCD ∆中，
由余弦定理可得2222cos 27BD BC CD BC CD BCD =+-⋅∠=，
解得BD =
因为3BC CD ==,所以6
CDB CBD π
∠=∠==
又由23CDE π∠=
，所以2
BDE π∠=, 在直角BDE ∆
中，BE ===,
（2）设ABE α∠=，因为3
BAE π
∠=
，所以23
AEB π
α∠=
-， 在ABE ∆
中，由正弦定理可得12
sin sin sin sin 3
AB AE BE AEB ABE BAE π
====∠∠∠， 所以212sin(),12sin 3AB AE π
αα=-=， 所以12sin 72[sin(
)sin ]sin 2333ABE S AB AE πππ
αα∆==⨯-
1111
[sin(2)]()26424
πα=-+≤+=当且仅当26
2
π
π
α-
=
时，即3
π
α=
时，ABE S ∆
取得最大面积
即生活区ABE ∆
面积的最大值为2.
高中数学月考/段考试题
18.研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地到学校的距离x （单位：千米）和学生花费在上学路上的时间y （单位：分钟）有如下的统计资料：
如果统计资料表明y 与x 有线性相关关系，试求： （1）判断y 与x 是否有很强的线性相关性？ （相关系数r
绝对值大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到0.01）
（2）求线性回归方程^
^
^
y b x a =+（精确到0.01）；
（3）将ˆ27y
<分钟的时间数据^i
y 称为美丽数据，现从这6个时间数据^
i
y 中任取2个，求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率. 参考数据：
6
1
175.4i
i y
==∑，6
1
764.36i i i x y ==∑，6
1
()()80.30i i i x x y y =--=∑，
6
2
1
()
14.30i
i x x =-=∑，
6
2
1
()
471.65i
i y y =-=∑，
82.13= 参考公式：6
()()
i
i
x x y y r --=
∑，6
1
6
2
1
()()
()
i
i
i i i x x y y b x x ∧
==--=
-∑∑
的
解：（1）()()
80.30
0.9882.13
n
x x y y r --=
=
≈∴y 与x 有很强的线性相关性 （2）依题意得 3.9x =
61129.236i i y y ===∑，()()6180.30i i i x x y y =--=∑，()6
2
1
14.30i i x x =-=∑
所以()()()
1
2
1
80.30 5.6214.30n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ∧
==--=
=≈-∑∑ 又因为29.23 5.62 3.97.31a y b x ∧∧
=-=-⨯≈ 故线性回归方程为 5.627.31y x ∧
=+
（3）由（2）可知，当 3.1x =时，324.73227y ∧=<，当 4.3x =时，431.47627y ∧
=>，
所以满足27y ∧
<分钟的美丽数据共有3个，设3个美丽数据为a 、b 、c ，另3个不是美丽数据为A 、B 、C ，则从6个数据中任取2个共有15种情况，即aA ，aB ，aC ，bA ，
bB ，bC ，cA ，cB ，cC ，AB ，AC ，BC ，ab ，ac ，bc ，其中，抽取到的数据全
部为美丽数据的有3种情况，即ab ，ac ，bc .所以从这6个数据i y ∧
中任取2个，抽取的2
个数据全部为美丽数据的概率为15
P =
19.如图，直三棱柱111
ABC A B C -中，15,2,CC AB BC AC ====点M 是棱1AA 上不同于1,A A 的动点，
(1)证明：1BC B M ⊥;
(2)当90CMB ∠=时，求平面1MB C 把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比。

(1)证明：在ABC ∆中，因为2228AB BC AC +==，所以
90ABC ∠=，所以BC AB ⊥,
又在直三棱柱111ABC A B C -中，11,BC BB BB AB B ⊥=,
所以BC ⊥平面11ABB A ,
又因为1B M ⊂平面11ABB A ,所以1BC B M ⊥. (2)解：设AM h =，则15A M h =-，
所以1MC B M =
===
1B C ==
因为90CMB ∠=，所以22211MC B M B C +=，即22
84(5)29h h +++-=，
解得1h =，
在四棱锥111B MCC A -中，取11A C 中点N ， 连接1B N ，则1B N ⊥平面11ACC A ,
且1B N =
所以体积为1111111111()(45)63232
V A M CC AC B N =
⨯+⨯⨯=⨯+⨯=， 又由直三棱柱111ABC A B C -的体积为11
225102
ABC V S AA ∆=⨯=⨯⨯⨯=,
所以分成两部分的体积比为
111062
63
V V V --==， 所以平面1MB C 把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比
2
3
. 20.已知椭圆2222x 10y C a b a b ：（）+=>>的焦点与双曲线2
212
x y -=的焦点重合，并且经过
点12M ⎫⎪⎭
. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（II ） 设椭圆C 短轴的上顶点为P ，直线l 不经过P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线P A 与直线PB 的斜率的和为1-，判断直线l 是否过定点，若是，求出这个定点，否则说明理由.
解：（Ⅰ）双曲线
焦点为(
)
,)
,亦即椭圆C 的焦点，
∴c =
又椭圆经过点12M ⎫⎪⎭
. 由椭圆定义得
2712422a =
+=+=， 解得24a =，21b =
∴椭圆C 的方程为：2
214
x y +=．
（II ）①当斜率不存在时，设()():t A A l x A t y B t y =-，
，，，， 112
1A A PA PB y y k k t t t
----+=
+==-， 得t=2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意.
②当斜率存在时，设()1l y kx m m =+≠∶， ()()1122A x y B x y ，，，，
联立22
440
y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222
148440k x kmx m +++-= ， 1228,14km x x k -+=+ 2122
44
14m x x k -⋅=+， 1212
11
PA PB y y k k x x --+=
+ ()()()()()2222121212122
88888114114441114km k km km
x kx m x x kx m x k m k m m x x m m k --++-++--+====-≠-+-+，
21m k ∴=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．
∴直线l 的方程为21y kx k =--，即()()210k x y -++=，
当2x =，1y =-时，上式恒成立，所以l 过定点()21，
-． 21.设函数()()2
1ln 2
x f x k x k x =+--.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若k 为正数，且存在0x 使得()2
032
f x k <
-，求k 的取值范围. 解：（1）()()()()2
111x k x k x x k k f x x k x x x
+--+=='-=+--，（0x >）， ①当0k ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增；
②当0k >时，()0,x k ∈，()0f x '<；(),x k ∈+∞，()0f x '>， 所以()f x 在()0,k 上单调递减，在(),k +∞上单调递增.
（2）因为0k >，由（1）知()2
32f x k +-的最小值为()22
33ln 222
k f k k k k k +-=+--，
由题意得23
ln 022
k k k k +--<，即31ln 022k k k +--
<. 令()31ln 22k g k k k =+--，则()222
11323
0222k k g k k k k -+=-+=>'，
所以()g k 在()0,+∞上单调递增，又()10g =， 所以()0,1k ∈时，()0g k <，
于是23
ln 022
k k k k +--<；
()1,k ∈+∞时，()0g k >，于是23
ln 022
k k k k +-->.
故k 的取值范围为01k <<.
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)。

在极坐标系
(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C
的极坐标方程为ρθ=。

（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P
的坐标为，求PA PB +。

解：（1）由直线l
的参数方程32
2x t y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩(t 为参数)得直线l
的普通方程为3y x =-++
由ρθ=,
得220x y +-=,即圆C
的直角坐标方程为22(5x y +-=。

（2）将直线l 的参数方程代入圆C
的直角坐标方程，得22
(3)()522
t -+=，
即240t -+=，
由于2440∆=-⨯＞>0,
故可设1t ，2t 是上述方程的两个实根，
所以1212
4t t t t ⎧+=⎪⎨
=⎪⎩又直线l 过点P
(3
，
故1212PA PB t t t t +=+=+= 23.设函数f (x )=|x +a |+|x -a |.
（1）当a =1时，解不等式f (x )≥4；
（2）若f (x )≥6在x ∈R 上恒成立，求a 的取值范围。

解：（1）当1a =时，不等式()4114f x x x ≥⇔++-≥， 当1x >时，()24f x x =≥，解得2x ≥； 当11x -≤≤时，()24f x =≥，无解； 当1x <-时，()24f x x =-≥，解得2x -≤， 综上所述，不等式的解集为[
)(]
2,,2+∞⋃-∞-. （2）()()()2f x x a x a x a x a a =++-≥+--=
,
26a ∴≥，解得3a ≥或3a -≤，
即a 的取值范围是[)(]
3,,3+∞⋃-∞-.。