2022年江苏宿迁中考数学试题及答案详解

2022年江苏宿迁中考数学试题及答案详解
（试题部分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1.－2的绝对值是()
A.－2
B.－1
2C.1
2
D.2
2.下列运算正确的是()
A.2m－m=1
B.m3·m2=m6
C.(mn)2=m2n2
D.(m2)3=m5
3.如图，AB∥ED，若∠1=70°，则∠2的度数是()
A.70°
B.80°
C.100°
D.110°
4.下列展开图中，是正方体展开图的是()
A B C D
5.若等腰三角形的两边长分别为3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是
()
A.8 cm
B.13 cm
C.8 cm 或13 cm
D.11 cm或13 cm
6.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中。

一房七客多七客，一房九客一房空。

”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房。

若设该店有客房x间、房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是()
A.{7x−7=y
9(x−1)=y
B.{
7x+7=y
9(x−1)=y C.{
7x+7=y
9x−1=y D.{
7x−7=y
9x−1=y
7.如果x<y，那么下列不等式正确的是()
A.2x<2y
B.－2x<－2y
C.x－1>y－1
D.x+1>y+1
8.如图，点A在反比例函数y=2
(x>0)的图象上，以OA为一边作等腰直角三角
x
形OAB，其中∠OAB=90°，AO=AB，则线段OB长的最小值是()
A.1
B.√2
C.2√2
D.4
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
9.分解因式：3x2－12=.
10. 2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度例行发布会上表示，到“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到55%，其中修复红树林146 200亩。

请将146 200用科学记数法表示是.
11.已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是.
12.满足√11≥k的最大整数k是.
13.若关于x的一元二次方程x2－2x+k=0有实数根，则实数k的取值范围
是.
14.用半径为6 cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是cm.
15.按规律排列的单项式：x，－x3，x5，－x7，x9，…，则第20个单项式
是.
16.甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征。

甲：“函数值y随自变量x增
大而减小”；乙：“函数图象经过点(0，2)”。

请你写出一个同时满足这两个
特征的函数，其表达式是.
17.如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长
是.
18. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，某一时刻，动点E 从点M 出发，沿MA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时，动点F 从点N 出发，沿NC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动。

连接EF ，过点B 作EF 的垂线，垂足为H.在这一运动过程中，点H 所经过的路径长是 .
三、解答题(本大题共10小题，共96分。

解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.( 8分)计算：(12)−1
+√12－4sin 60°. 20.( 8分)解方程：2x
x−2=1+1
x−2.
21.( 8分)如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点。

求证：AF =CE.
22.( 8分)为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校m 名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图。

根据图表信息，解答下列问题：
(1)m=，n=；
(2)补全条形统计图；
(3)根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2 000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数。

23.( 10分)从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率。

(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是；
(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率(用树状图或列表的方法求解)
24.( 10分)如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°、信号塔顶部的仰角为45°。

已知教学楼AB的高度为20 m，求信号塔的高度(计算结果保留根号)。

25.( 10分)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=AC，以AB为直径的☉O与边BC交于点D。

(1)判断直线AC与☉O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=4，求图中阴影部分的面积。

26.( 10分)某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动.该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖。

(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为
元，在乙超市的购物金额为元；
(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少?
27.( 12分)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点。

[操作探究]
在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P，并给出部分说理过程.请你补充完整
．．．．．．：
解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC
AC =1 2，
在Rt△CDE中，，
所以tan∠BAC=tan∠DCE.
所以∠BAC=∠DCE.
因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°，
所以∠ACP+∠BAC=90°.
所以∠APC=90°，即AB⊥CD.
图①图②图③[拓展应用]
(1)图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺
．．．．．．．．，在BM 上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明；
(2)图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺
．．．．．．．．，在弦AB上找出一点P，使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明。

28.( 12分)如图，二次函数y=1
x2+bx+c的图象与x轴交于O(0，0)、A(4，0)两
2
点，顶点为C。

连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将
△ABC沿BC折叠后，点A落在点A'的位置，线段A'C与x轴交于点D，且点D与O、A不重合。

(1)求二次函数的表达式；
(2)①求证：△OCD∽△A'BD；
的最小值；
②求DB
BA
(3)当S△OCD=8S△A'BD时，求直线A'B与二次函数图象的交点的横坐标。

备用图
2022年江苏宿迁中考数学试题及答案详解
（答案详解）
1.D|－2|=
2.
2.C2m－m=m，故A错误；
m3·m2=m5，故B错误；
(mn)2=m2n2，故C正确；
(m2)3=m6，故D错误.
故选C.
3.D
如图，∵∠1=∠3，∠1=70°.∴∠3=70°，
∵AB∥ED，∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°－∠3=110°.
4.B选项B中的展开图通过折叠可以还原为正方体.
5.D当腰长是3 cm时，∵3+3>5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3+3+5=11(cm)；
当腰长是5 cm时，∵3+5>5，
∴5，5，3能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5+5+3=13(cm).
综上，这个等腰三角形的周长为11 cm或13 cm.
故选D.
6.B等量关系为总人数不变.
7.A
A.由x<y可得2x<2y，故正确；
B.由x<y可得－2x>－2y，故不正确；
C.由x<y可得x－1<y－1，故不正确；
D.由x<y可得x+1<y+1，故不正确.
故选A.
8.C在Rt△OAB中，∠OAB=90°，AO=AB，∴OB2=AO2+AB2=2AO2，
∵点A在y=2
x
(x>0)的图象上，
∴设A(a,2
a )，∴OA2=a2+(2
a
)
2
，
∴OB2=2OA2=2[a2+(2
a ) 2 ]
=2[(a−2
a )
2
+4]=2(a−2
a
)
2
+8，
∵(a−2
a )
2
≥0，∴2(a−2
a
)
2
+8≥8，
当a=2
a
，即a=±√2时，
2(a−2
a )
2
+8可取到最小值8，
又∵点A在第一象限，∴a>0，
∴当a=√2时，OB2取得最小值，最小值为8，
∴线段OB长的最小值为2√2.
9.答案3(x+2)(x－2)
解析原式=3(x2－4)=3(x+2)(x－2).
10.答案1.462×105
解析用科学记数法表示正数，写成a×10n的形式，其中1≤a<10.
11.答案 5
解析众数为一组数据中，出现次数最多的数，这组数据中5出现了三次，出现的次数最多，所以众数为5.
12.答案 3
解析∵32<11<42，∴3<√11<4，∴最大整数k是3.
13.答案k≤1
解析∵x2－2x+k=0有实数根，
∴Δ=b2－4ac=(－2)2－4×1×k≥0，
即4－4k≥0，解得k≤1.
14.答案 2
=4π cm，
解析圆锥底面圆的周长为2π×6×120°
360°
设底面圆的半径为r cm，则2πr=4π，
∴r=2.
15.答案－x39
解析由题意知第n个式子为(－1)n+1x2n－1，∴第20个单项式是(－1)20+1x2×20－1=－x39.
16.答案y=－x+2
解析答案不唯一，符合题干中两个条件即可.
17.答案4√7
解析结合题意，由对称性可知直线l与正六边形的另一个交点在CD上，设交点为点N，且DN=AM.
连接AC，作BH⊥AC，垂足为H，如图，
在正六边形ABCDEF中，AB=CB，∠ABC=120°，∠BCD=120°，AF∥CD，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠ACG=90°.
如图，作MG⊥CD，垂足为G，∴∠MGN=90°，
∴∠ACG=∠MGN，
∴AC∥MG，又∵AF∥CD，
∴四边形ACGM为矩形，
∴AC=MG，CG=AM=2，
∴GN=CD－CG－DN=AB－CG－AM=2.
在△ABC 中，BH ⊥AC ，则AH =CH ，
∴AC =2AH =2AB ·cos ∠BAC =2×6×cos 30°=6√3， ∴MG =6√3. 在Rt △MGN 中，
MN =√MG 2+GN 2=√(6√3)2+22=4√7. 18.答案
√5
2
π 解析 设运动时间为t ，则EM =2t ，NF =t ， 连接MN ，与EF 交于点G ，如图.
在矩形ABCD 中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点， ∴∠EMN =∠FNM =90°，
又∵∠EGM =∠FGN ，∴△EGM ∽△FGN ， ∴MG NG =EM FN =2t
t =2，∴MG =2NG ， 又∵MN =AB =6，MN =MG +NG ，
∴MN =3NG =6，∴NG =2，∴点G 为定点. ∵BH ⊥EF ，∴∠BHG =90°， ∴点H 在以BG 为直径的圆上运动.
当t =0时，点E 与点M 重合，点F 与点N 重合，垂足H 与N 重合.
当t =2时，停止运动，点E'与点A 重合，点F'在NC 上，BH'⊥E'F'，垂足为H'，如图，点H 所经过的路径即为NH′， 此时E'M =4=AM ，NF'=2， ∴BF'=BN +NF'=6，∴BF'=AB ， ∴△ABF'为等腰直角三角形， 又∵BH'⊥E'F'，∴∠H'BF'=45°，
∴NH′所对圆心角为2∠H'BF'，即90°，
∴NH′的长=π·BG ·90°360°=14
π·BG ， 在Rt △BNG 中，BN =4，NG =2，
∴BG =√BN 2+NG 2=√42+22=2√5，
∴NH′的长=14π×2√5=√52
π. 19.
解析 原式=2+2√3－4×√32=2.
20.
解析 2x x−2=1+1x−2， 去分母，得2x =(x －2)+1，
去括号，得2x =x －2+1，
移项，合并同类项，得x =－1.
检验：当x =－1时，x －2≠0，
∴原分式方程的解为x =－1.
21.
证明 在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，
∵点E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，
∴AE =12AB ，CF =12CD ，
∴AE =CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，
∴AF =CE.
22.
解析 (1)m =10÷5%=200，n =100－25－25－15－5=30.
(2)200×15%=30(人)，补全条形统计图，如下：
(3)2 000×(30%+25%+25%)=1 600(人).
答：估计该校九年级2 000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的有1 600人.
23.
解析 (1)13.
(2)画树状图如下：
共出现12种等可能的情况，其中一定有乙的有6种，
∴一定有乙的概率是612=12. 24.
解析
如图，延长水平视线交CD 于点E ，
由题意可得AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，
∴AB ∥CD ，
又∵AE ∥BD ，
∴四边形ABDE 是平行四边形，
又∵∠ABD =90°，
∴平行四边形ABDE 是矩形，
∴∠AED =90°，DE =AB =20 m .
在Rt △ADE 中，∠DAE =30°.
∴AE =DE tan30°=√33=20√3 m ，
在Rt △AEC 中，∠CAE =45°，
∴CE =AE =20√3 m ，
∴CD =CE +DE =(20√3+20)m .
答：信号塔的高度是(20√3+20)m .
25.
解析 (1)AC 与☉O 相切.
理由：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB.
∵∠ABC =45°，∴∠ACB =45°，
在△ABC 中，∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°，
∴∠BAC =180°－∠ABC －∠ACB =90°，
∴AB ⊥AC ，
又∵AB 为☉O 的直径，∴AC 与☉O 相切.
(2)如图，连接OD ，AD ，
在☉O 中，AB 为直径，
∴∠ADB =90°，
∴∠BAD =90°－∠ABC =45°，
∴∠ABC =∠BAD ，∴AD =BD ，
又∵O 为AB 的中点，
∴OD ⊥AB ，∴∠BOD =∠AOD =90°，
∵AB =4，∴OB =OA =OD =12AB =2，
∴S △OBD =12OB ·OD =12×2×2=2，
S 扇形AOD =π·OA 2·90°360°=π×22×14=π. ∵AB =AC =4，∠BAC =90°，
∴S
△ABC =1
2
AB·AC=1
2
×4×4=8，
∴S
阴影=S
△ABC
－S
扇形AOD
－S
△OBD
=8－π－2=6－π.
26.
解析(1)300；240.
(2)设买x件.
①当10x≤400，即x≤40时，
甲超市不打折，乙超市打折，
则乙超市支付费用较少.
②当10x>400，即x>40时，
向甲超市支付400+(10x－400)×60%=(6x+160)元，向乙超市支付10x·80%=8x元.
当去甲超市支付较少时，
6x+160<8x，∴x>80；
当去乙超市支付较少时，
6x+160>8x，∴x<80，
∴40<x<80；
当去甲、乙两超市支付一样多时，
6x+160=8x，∴x=80.
答：当购买80件时，去甲、乙两超市均可；
当购买数量少于80件时，去乙超市支付较少；当购买数量多于80件时，去甲超市支付较少. 27.
解析[操作探究]：tan∠DCE=DE
CE =1 2 .
[拓展应用]：(1)如图，连接BM，取BM的中点P，点P即为所求.
证明：取格点Q，如图，
由图可得BM 的中点也为格点，
在Rt △AMQ 中，AM =√22+22=2√2，
在Rt △PMQ 中，PM =√22+22=2√2，
∴PM =AM.
(2)如图，取格点I ，连接MI 交AB 于点P ，点P 即为所求.
提示：在Rt △FMI 中，tan ∠AMP =FI FM =13，
在Rt △AMN 中，tan ∠ANM =AM MN =13，
∴∠AMP =∠ANM ，
在☉O 中，∠ABM =∠ANM ，
∴∠AMP =∠ABM ，
又∵∠MAP =∠BAM ，
∴△APM ∽△AMB ，∴AM AB =AP AM ，
∴AM 2=AP ·AB.
28.
解析 (1)∵二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于O (0，0)，A (4，0)两点， ∴{c =0,8+4b +c =0,解得{b =−2,c =0,
∴二次函数的表达式为y =12x 2－2x.
(2)①证明：∵C 为抛物线顶点，抛物线与x 轴交于O ，A 两点， ∴由抛物线的对称性可知OC =AC ，∴∠CAB =∠COD. 由折叠可得∠CAB =∠CA'B ，
∴∠COD =∠CA'B ，
又∵∠CDO =∠BDA'(对顶角相等)，
∴△OCD ∽△A'BD.
②由①得△OCD ∽△A'BD ，
∴DB BA′=DC CO ，又∵BA =BA'，∴DB BA =DC CO ，
∵y =12x 2－2x =12(x －2)2－2，
∴顶点C (2，－2)，设D (d ，0)，
则DC =√(d −2)2+[0−(−2)]2=√(d −2)2+4， ∵D 与O 、A 不重合，∴0<d <4，
∵DC 2=(d －2)2+4，其函数图象开口向上， ∴当d =2时，DC 2有最小值，是4，
∴当d =2时，DC 有最小值，是2，
又CO =√22+(−2)2=2√2，
∴DC CO 的最小值为2√2=√22， ∴DB BA 的最小值为√22.
(3)∵S △OCD =8S △A'BD ，∴S
△OCD S △A′BD =8， 又∵△OCD ∽△A'BD ，∴OC A′B =√8=2√2.
∵OC =2√2，∴A'B =AB =1，∴B (3，0).
设直线BC 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0)，
把B (3，0)，C (2，－2)代入，得
{3k 1+b 1=0,2k 1+b 1=−2,解得{k 1=2,b 1=−6,
∴直线BC 的解析式为y =2x －6. 设A'(p ，q )，则A'A 的中点为(p+42,q
2)， 由折叠可得(p+42,q 2)在直线BC 上， ∴q 2=2×p+42－6，∴q =2p －4，
∴A'B =√(p −3)2+(q −0)2
=√(p −3)2+(2p −4)2
=1，
∴p =2或p =125，
当p =2时，A'(2，0)，舍去，
当p =125时，A'(125,45)，
设直线A'B 的解析式为y =k 2x +b 2(k 2≠0)，
把B (3，0)，A'(125,45)代入，
得{3k 2+b 2=0,125k 2+b 2=45
,解得{k 2=−43,b 2=4, ∴直线A'B 的解析式为y =－43x +4，
联立直线A'B 和抛物线y =12x 2－2x 得{
y =−43x +4,y =12x 2−2x, 解得{x 1=2+2√193,y 1=28−8√199,{x 2=2−2√193,y 2=28+8√199
, ∴直线A'B 与二次函数图象的交点的横坐标为2+2√193或2−2√193.。