简单的线性规划问题(公开课)

简单的线性规划问题（公开课）
课题：简单的线性规划问题
（普通高中课程标准实验教科书数学5（必修·人教A版）第三章3.3.2节）授课教师：蒲志丹（吴川市第一中学）
授课班级：高二（19）班
授课时间：2006年10月31日星期二上午第三节
一、教学目标设计：
三、教学过程设计与分析：
（一）分析引例（examples），形成概念，规范解答
【教学流程】
【引例】某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件并耗时1 h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件并耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8 h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得的利润最大？
解：设甲、乙两种产品的日生产分别为,x y 件时，工厂获得的利润为z 万元，则
,x y 满足约束条件为28416412,0
x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪
⎨
≤⎪⎪≥⎩, 作出约束条件所表示的可行域，如右图所示 目标函数为23z x y =+，可变形为233
z
y x =-
+，如图，作直线0:230l x y +=，当直线0l 平移经过可行域时，在点M 处达到y 轴上截距3
z
的最大值，即此时z 有最大值.
解方程组4
280
x x y =⎧⎨
+-=⎩，得点(4,2)M ，max 2314z x y ∴=+=
当每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，工厂获利最大为14万元。

(二)：模仿练习（exercises ），强化方法，拓展题型
【教学流程】
【练习1】营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪。

1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元。

为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？ 解：设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总花费为z 元，则目标函数为2821z x y =+，且,x y 满足
约束条件0.1050.1050.0750.070.140.060.140.070.060,0x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩， 整理为775714614760,0
x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪
⎨+≥⎪⎪≥≥⎩，
作出约束条件所表示的可行域，如右图所示
目标函数可变形为21
34z
x y +
-
=，如图，作直线0:28210l x y +=，当直线0l 平移经过可行域时，在点M 处
达到y 轴上截距
21
z
的最小值，即此时z 有最小值. 解方程组775
1476
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，得点M 的坐标为
14
,77
x y ==，min 282116z x y ∴=+=
∴每天需要同时食用食物A 约0.143 kg ，食物B 约0.571 kg ，
能够满足日常饮食要求，且花费最低16元.
(三)探究练习，增强互动，开阔视野
【Ex2】如图1所示，已知ABC 中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -，
点(,)P x y 在ABC 内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题： ① z x y =+在_____处有最大值_______，在______处有最小值_______； ② z x y =-在_____处有最大值_______，在______处有最小值_______； ③ 你能否设计一个目标函数，使得其取最优解的情况有无穷多个？ ④ 请你分别设计目标函数，使得最值点分别在A 处、B 处、C 处取得？
⑤ （课后思考题）若目标函数是22
z x y =+，你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得min z 和max z ？如果是1y z x -=
或23
1
y z x +=+呢？ ⑥你从以上探究过程中获得哪些探究成果和感受呢？___________________________________
(如图2，①②问参考答案: ①z x y =+在 点A 处有最大值 6 ，在边界BC 处有最小值 1 ； ②z x y =-在 点C 处有最大值 1 ，在 点B 处有最小值3-)
（ 图2 ）
(四)：小结与作业(homework)
1、图解法求解线性规划应用问题的基本步骤：
1：建立数学模型（设变量，建立线性约束条件及线性目标函数）
l）
2：图形工具（作出可行域及作目标函数过原点的直线
l的平移方向，依据可行域找出取得最优解的点）
3：平移求解（确定
4：确定最值（解相关方程组，求出最优解，代入目标函数求最值）
2、回顾引例和练习中展现的两类线性规划应用问题，渗透数学建模的思想。

【作业】某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和
问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？
（五）教学反思（reconsider）：
选择应用型问题引入课题，体现新课程中突出数学应用意识的理念；承上启下，复习旧知，引入新知。

通过引例既帮助学生复习如何从实际问题中抽象出约束条件并用平面区域表示，又通过添加优化问题转入新知识的学习；引例向学生展现了线性规划应用问题的第一种类型题：在人力、物力、资金等资源一定的情况下，如何合理规划才能完成最多的任务，即该例属于目标函数求最大值的情况，同时引例展现的可行域属于为有界区域；避开课本中一次性给出若干概念的做法，采用在分析题目的同时逐步给出各个相应的概念的方法，力求符合学生的认知规律，循序渐进，一步步的深化问题；
发挥多媒体的直观、动态功能，向学生动态演示求解线性规划问题的图解方法，让学生感受动态几何的魅力，激发学习兴趣。

在给出引例和线性规划的定义后，及时通过练习1帮助学生整理答题思路，再次强化图解法的基本步骤和规范解答的表述过程；练习1向学生展现了线性规划应用问题的第二种类型题：在任务一定的情况下，如何合理规划才能使人力、物力、资金等资源花费最少，即该例属于目标函数求最小值的情况，同时练习1展现的可行域属于为无界区域；练习1给出的数据是小数背景，通过此题让学生接触小数数据的计算处理方法；通过为学生设计练习页，方便课堂教学的实际操作，节省教学时间，又方便发挥多媒体的投影功能，及时进行学情诊断。

创设一个探究、讨论的课堂氛围，激发学生的学习情趣，增强师生、生生之间的互动，体现新课程中让学生“做中学”的理念；练习2的设计（类比题型、开放型问题）意在引导学生在探究的环境下，自己发现、归纳线性规划问题中目标函数的最值与平行直线族在y轴上截距的各种关系（包
括在可行域边界上取得最值的情况），突出本课要求学生掌握的关键点，升华前面环节的内容，开阔题型的视野；练习3的安排主要是让学生接触如何处理问题中提出的三个变元，再次强化学生处理应用问题的能力。