2020届福建省龙海市高三上学期期初数学（文）试题

2020届福建省龙海市第二中学高三上学期期初数学（文）试
题
一、单选题 1．已知集合，则集合
中的元素个数为( ) A ．5 B ．4
C ．3
D ．2
【答案】D 【解析】由已知得中的元素均为偶数，
应为取偶数，故
，故
选D.
2．若5
sin 13
α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．
12
5
B ．125-
C ．512
D ．5
12
-
【答案】D
【解析】∵sin a =5
13
-,且a 为第四象限角, ∴2
12113
cosa sin a =-=，
则5
12
sina tana cosa =
=-， 故选D.
3．已知命题:p 对任意x ∈R ，总有0x ≥；
:1q x =是方程20x +=的根
则下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧⌝ B ．p q ⌝∧
C ．p q ⌝∧⌝
D ．p q ∧
【答案】A 【解析】【详解】
由绝对值的意义可知命题p 为真命题；由于，所以命题q 为假命题；因此
为假命题，为真命题，“且”字联结的命题只有当两命题都真时才是真命题，所以答
案选A ．
4．若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ ）. A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】因为，所以“2a a >”是“
”
的必要而不充分条件. 【考点】充分条件与必要条件.
5．已知函数()()e x
f x x a =+的图象在1x =和1x =-处的切线相互垂直，则a =
（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
【答案】A
【解析】因为'()(1)x
f x x a e =++ ，所以1
'(1)(2)'(1)a
f a e f ae
e
，-=+-==
，由题意有(1)'(1)1f f -=- ，所以1a =-，选A.
6．设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且
(2)()f x f x +=-，则有（ ）
A ．13()()(1)3
2f f f << B ．3
1(1)()()2
3
f f f <<
C ．13
(1)()()32
f f f <<
D ．31()(1)()23
f f f <<
【答案】A
【解析】由题意可得11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
3112222f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，再利用函数在区间[1,0)-上是增函数可得答案. 【详解】 解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，
又
(2)()f x f x +=-
11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫
∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
3112222f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 又
11
11023
--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，
11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫
∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫
∴>> ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，
故选A. 【点睛】
本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力. 7．若实数a 满足34
2
log 1log 3>>a
a ，则a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．23,34⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．3,14⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．20,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】根据对数的运算性质转化为对数不等式的问题求解． 【详解】
由题意得，原不等式等价于2
log 13
a
>且34log 1a <，
所以01
2log log 3a a a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩且34log 1a <， 解得
213a <<且3
14a <<， 所以3
14
a <<．
所以实数a 的取值范围是3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 故选C ． 【点睛】
解对数不等式时，一般要根据对数的单调性进行，若对数的底数为参数，则需要注意对底数进行分类讨论，同时不要忽视真数大于零这一隐含条件．
8．函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
A ．13
(,),44
k k k Z ππ-
+∈ B ．13
(2,2),44
k k k Z ππ-
+∈
C ．
13
(,),44
k k k Z -
+∈ D ．13
(2,2),44
k k k Z -
+∈ 【答案】D
【解析】由五点作图知，1+42{53+42
π
ωϕπωϕ=
=，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，
令22,4
k x k k Z π
ππππ<+<+∈，解得124k -
＜x ＜3
24
k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -
，3
24
k +），k Z ∈，故选D. 【考点】三角函数图像与性质
9．若函数()f x x =，则函数12
()log y f x x =-的零点个数是（ ）
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
【答案】D
【解析】如图：函数()f x 与函数12
()log g x x =有2个交点，所以选D.
10．已知函数()()1222,1
{log 1,1
x x f x x x --≤=-+>，且()3f a =-，则()6f a -=（ ）
A ．74
-
B ．54
-
C ．34
-
D ．14
-
【答案】A
【解析】试题分析：()1
32
23x f a -=-∴-=-或
()2log 137a a -+=-∴=()()27
61224
f a f -∴-=-=-=-
【考点】函数求值 11．函数
的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】【详解】试题分析：因为，所以排除A,C,当函数在轴右侧靠近原点的
一个较小区间
时，
，函数单调递增，故选D.
【考点】函数图象与函数性质．
12．设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且
(2)(4)1f f -+-=，则a =( )
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】【详解】试题分析：设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线
y x =-对称为（,y x --），由已知（,y x --）在函数2x a y +=的图像上，
∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a =--+，
∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C ． 【考点】函数求解析式及求值
二、填空题
13．函数sin 3y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．
【答案】
3
π
【解析】试题分析：因为sin 2sin()3
y x x x π
==-
，所以函数
sin y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移
3
π
个单位长度得到．
【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式
【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
14．已知函数()3
1f x ax x =++的图像在点()()
1,1f 的处的切线过点()2,7，则
a = .
【答案】1
【解析】试题分析：
()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)
f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+
(31)(21)1a a =+-⇒=.
【考点】1、导数的几何意义；2、直线方程.
【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得
()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)a =+ •(21)1a -⇒=.
15．已知tan()24π
α-
=，则sin(2)4
π
α-的值等于__________．
【解析】 由tan 1
tan()24
1tan π
ααα
--
=
=+，解得tan 3α=-，
因为22sin(2)(sin 2cos 2)cos cos sin )4
22
π
ααααααα-
=
-=-+
222222
2sin cos cos sin 2tan 1tan 2cos sin 21tan ααααααααα
-+-+==++
222(3)1(3)1(3)⨯--+-==
+-． 16．已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点
的距离为ω=_____. 【答案】2
π
ω=
【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为
12121152244
k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），，, 距离最短的两个交点一定
在同一个周期内，(222
2
1522442
πππωω∴=-+--∴=（）（），. 【考点】三角函数图像与性质
【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解.
三、解答题
17．函数()3sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212π
π⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【答案】（1）π，076
x π
=
，03y =；（2）最大值0，最小值3-. 【解析】【详解】试题分析：（1）由图可得出该三角函数的周期，从而求出00,x y ；（2）把26
x π
+
看作一个整体，从而求出最大值与最小值.
（1）由题意知：()f x 的最小正周期为π，令y=3，则2+2k k 6
2
x Z π
π
π+
=
∈，，解
得+k k 6x Z π
π=
∈，，所以076
x π
=
，03y =.
（2）因为[,]212x ππ∈--，所以52[,0]66
x ππ
+∈-
，于是 当206
x π+=，即12x π=-时，()f x 取得最大值0；
当262
x ππ+=-，即3x π
=-时，()f x 取得最小值3-.
【考点】本小题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的最值等基础知识，考查同学们数形结合、转化与化归的数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
18．设函数()3
2
33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点()1,11-．
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．
【答案】（1）1
{3
a b ==-（2）单调递减区间为(1,3)-,单调递增区间为(,1)(3,)-∞-+∞.
【解析】【详解】
(1)根据(1)11,(1)12f f '=-=-建立关于a,b 的方程.
（2）由()0f x '>得函数的单调增区间；由()0f x '<得函数的单调减区间.
解：(1)求导得2()363f x x ax b '=-+．由于()f x 的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-，所以(1)11,(1)12f f '=-=-，
即13311{36312
a b a b -+=--+=-，解得:1,3a b ==-.
(2)由1,3a b ==-得：22()3633(23)3(1)(3)f x x ax b x x x x '=-+=--=+- 令f′(x)＞0，解得 x ＜-1或x ＞3；又令f′(x) < 0，解得 -1＜x ＜3． 故当x ∈(-∞, -1)时，f(x)是增函数，当 x ∈(3,+∞)时，f(x)也是增函数， 但当x ∈(-1 ，3)时，f(x)是减函数．
19．已知()y f x =是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，当0x ≥时，2()23f x x x =--. （1）用分段函数形式写出()y f x =的解析式； （2）写出()y f x =的单调区间； （3）求出函数的最值.
【答案】（1）2223,0
()23,0
x x x f x x x x ⎧--≥=⎨+-<⎩；（2）()f x 的增区间为[1,0)-，[1,)+∞，减
区间为(,1]-∞-，[0,1]；（3）最小值为-4，无最大值.
【解析】（1）根据()y f x =是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，且当0x ≥时，
2()23f x x x =--，
设0x <，则0x ->，通过()()f x f x =-求解.
（2）每一段都是二次函数，根据二次函数的图象和性质求解.
（3）利用（2）的单调性求解. 【详解】 （1）
()y f x =是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，
当0x ≥时，2
()23f x x x =--，
∴当0x <时，设0x <，则0x ->，
∴22()()()2()323f x f x x x x x =-=----=+-
即0x <时，2
()23f x x x =+-.
故22
23,0
()23,0
x x x f x x x x ⎧--≥=⎨+-<⎩. （2）如图所示：
当0x ≥时，2
()23f x x x =--，对称轴为1x =，
∴增区间为[1,)+∞，减区间为[0,1]；
当0x <时，2
()23f x x x =+-，对称轴为1x =-，
∴增区间为[1,0)-，减区间为(,1]-∞-.
综上，()f x 的增区间为[1,0)-，[1,)+∞，减区间为(,1]-∞-，[0,1].
（3）由（2）知，当0x ≥时，2
()23f x x x =--，
min ()(1)1234f x f ==--=-，无最大值；
当0x <时，2
()23f x x x =+-，
min ()(1)1234f x f =-=--=-，无最大值.
综上，函数的最小值为-4，无最大值. 【点睛】
本题主要考查分段函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
20．已知顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线，焦点F 在直线2340x y +-=上. （1）求抛物线的方程；
（2）过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程. 【答案】（1）2
8y x =；（2）2
48y x =-.
【解析】（1）根据焦点在直线
2340x y +-=上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是x
轴，令0y =，求得焦点坐标即可.
（2）设(,)M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，根据A 、B 在抛物线上，有2
118y x = ，2228y x =，两式相减得到()()()1212128y y y y x x +-=-，再分直斜率存在和不存在求
解. 【详解】 （1）
焦点在直线
2340x y +-=上，
且抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，
∴焦点F 的坐标为(2,0)，
设方程为2
2(0)y px p =>，则22
p
=， 求得4p =，
∴则此抛物线方程为28y x =.
（2）设(,)M x y ，()11,A x y ，()22,B x y 因为A 、B 在抛物线上，
所以2
118y x = ，① 2228y x =，②
122x x x =+，122y y y =+，
①-②得()()()1212128y y y y x x +-=-， 当直斜率存在时，121212884
2y y k x x y y y y
-=
===-+.
设直线方程：()00y y k x x -=-， 代入4
k y
=
，(2,0)M ， 得4
(2)y x y
=
-， 248y x ∴=-。

当直线斜率不存在，M 与F 重合
(2,0)M ∴，满足. 248y x =-。

综上，弦AB 的中点M 的轨迹方程：2
48y x =-. 【点睛】
本题主要考查抛物线方程的求法以及弦中点轨迹问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21．已知函数()ln f x x =，()(1)g x a x =-
（Ⅰ）当2a =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间；
（Ⅱ）若1x >时，关于x 的不等式()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若数列{}n a 满足11n n a a +=+，33a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：
ln(1234...)n n S ⨯⨯⨯⨯⨯<.
【答案】（I ）1
(,)2
+∞；（II ）[1,)+∞；（III ）证明见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()h x '，在定义域内，分别令()'0h x >求得x 的范围，可得函数()h x 增区间，()'0h x <求得x 的范围，可得函数()h x 的减区间；（Ⅱ）当
0a ≤时，因为1x >，所以()1ln 0a x x -->显然不成立，先证明因此1a ≥时，()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，再证明当01a <<时不满足题意，从而可得结果；
（III ）先求出等差数列的前n 项和为()12
n n n S +=
，结合（II ）可得
ln22,ln33,ln44,,ln n n <<<⋅⋅⋅<，各式相加即可得结论.
试题解析：（Ⅰ）由2a =，得()()()ln 22,(0)h x f x g x x x x =-=-+>.所以
()1122x
h x x x
'-=
-= 令()0h x '<，解得1
2
x >或0x <（舍去），所以函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间为 1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
. （Ⅱ）由()()f x g x <得，()1ln 0a x x -->
当0a ≤时，因为1x >，所以()1ln 0a x x -->显然不成立，因此0a >.
令()()1ln F x a x x =--，则()11a x a F x a x x
⎛
⎫- ⎪⎝⎭=-'=，令()0F x '=，得1
x a
=. 当1a ≥时，1
01a
<
≤，()0F x '>，∴()()10F x F >=，所以()1ln a x x ->，即有()()f x g x <.
因此1a ≥时，()()f x g x <在()1,+∞上恒成立. ②当01a <<时，
11a >，()F x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上为增函数， ∴()()min 10F x F <=，不满足题意.
综上，不等式()()f x g x <在()1,+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是[
)1,+∞. （III ）证明：由131,3n n a a a +=+=知数列{}n a 是33,1a d ==的等差数列，所以
()33n a a n d n =+-=
所以()()112
2
n n n a a n n S ++=
=
由（Ⅱ）得，()ln 11x a x x x <-≤-<在()1,+∞上恒成立.
所以ln22,ln33,ln44,,ln n n <<<⋅⋅⋅<. 将以上各式左右两边分别相加，得
ln2ln3ln4ln 234n n +++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+.因为ln101=<
所以()1ln1ln2ln3ln4ln 12342
n n n n n S +++++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅+==
所以()ln 1234n n S ⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯<.
22．在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为24y x =.
（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（2）直线l 的参数方程是2cos sin x t y t α
α=+⎧⎨=⎩
（t 为参数），l 与C 交于A ，B
两点，
AB =l 的倾斜角.
【答案】（1）2
sin 4cos 0ρθθ-=；（2）
4π或34
π
α=
【解析】(1)由题意利用直角坐标与极坐标的转化公式可将直角坐标方程转化为极坐标方程；
(2)联立直线参数方程与抛物线方程，结合参数的几何意义求得sin α的值即可确定直线的倾斜角. 【详解】
（1）∵x cos y sin ρθρθ
=⎧⎨=⎩，代入2
4y x =，
∴240sin cos ρθθ-=.
（2）不妨设点A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，
把直线l 的参数方程代入抛物线方程得：22480t sin cos t αα-⋅-=，
∴12212248cos t t sin t t sin ααα⎧
+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，则12AB t t =-==
∴2
sin α=，∴4πα=或34πα=
. 【点睛】
本题主要考查直角坐标方程转化为极坐标方程的方法，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23．已知函数()32f x a x x =--+. （1）若2a =,解不等式()30f x -≤；
（2）若存在实数a ,使得不等式()1220f x a x -+-+≥成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）37|42x x ⎧
⎫-
≤≤⎨⎬⎩⎭
；（2）)
5,2⎡-+∞⎢⎣.
【解析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，求解该不等式组即可 （2）由题意知，这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质得到最大值，再令其大于等于a ，即可解出实数a 的取值范围 【详解】
（1）不等式()3f x ≤化为2323x x --+≤,
则2,2323x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩或2232323x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪---≤⎩,或23
3223
x x x ⎧
>
⎪⎨⎪---≤⎩,
解得3742x -≤≤,所以不等式()3f x ≤的解集为37|42x x ⎧⎫
-≤≤⎨
⎬⎩⎭
. （2）不等式()122f x a x ≥-++等价于3321a x x a --+≥-， 即3361x a x a --+≥-，由基本不等式知
()()3363366x a x x a x a --+≤--+=+，
若存在实数a ，使得不等式()1220f x a x -+-+≥成立，则61a a +≥-， 解得5
2
a ≥-，所以实数a 的取值范围是)
5,2⎡-+∞⎢⎣. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的性质，解题的难点在于运用绝对值不等式的性质求出相应的最值，并利用最值进行参数的范围，属于基础题。