2019-2020学年甘肃省岷县高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年甘肃省岷县高二上学期期末考试
数学（文）试题
一、单选题
1．在△ABC 中，若A=
π3，B=π
4
，
AC=( ) A
．
B
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由正弦定理，化简得sin sin BC B
AC A
⋅=，即可求解.
【详解】
由正弦定理可得:
BC sinA =AC
sinB
,即有AC=BC?sinB sinA
=
π
sin 4π
sin 3
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中合理使用正弦定理的变形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．已知命题：“若2a >，则24a >”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】写出逆命题、否命题、逆否命题,判断三个命题的真假即可. 【详解】
若2a >,则24a >
逆命题为: 若24a >,则2a >;解不等式24a >可得2a >或2a <-,所以该命题为假命题;
否命题为: 若2a ≤,则24a ≤,解不等式24a ≤可得22a -≤≤,所以该命题为假命题; 逆否命题为: 若24a ≤,则2a ≤,解不等式24a ≤可得22a -≤≤,所以该命题为真命题. 综上可知,正确命题为逆否命题,只有1个 故选:B
【点睛】
本题考查了命题与逆命题、否命题、逆否命题的关系,命题真假的判断,属于基础题. 3．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138 B ．135
C ．95
D ．23
【答案】C
【解析】试题分析：∵24354
{
10
a a a a +=+=，∴1122{
35
a d a d +=+=，∴14{
3
a d =-=，
∴101109
1040135952
S a d ⨯=+
⨯=-+=． 【考点】等差数列的通项公式和前n 项和公式．
4．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3
cos 5
A =
，则sin B =（ ） A ．
25
B ．
35
C ．
45 D ．
85
【答案】A
【解析】试题分析：由3cos 5
A =
得，又2a b =，由正弦定理可得
sin B =
.
【考点】同角关系式、正弦定理．
5． 设x ∈R ，则“38x >”是“2x >” 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.
详解：求解不等式38x >可得2x >， 求解绝对值不等式2x >可得2x >或2x <-， 据此可知：“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．在等比数列{}n a 中，若n a >0且3764a a =，则5a 的值为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
【答案】D
【解析】试题分析：由等比数列性质可知，2
37564a a a ==，又因为0n a >，所以58a =，
故选D.
【考点】等比数列的性质.
7．若变量x,y 满足约束条件1
{325
x y x
x y ≥-≥+≤则z=2x+y 的最大值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】作出满足约束条件的可行域如图所示．
将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ，经过点A 时，z 取得最大．由
得A (1,1)．∴z max ＝2×
1＋1＝3.
8．已知F 1、F 2为椭圆221259
x y +=的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若
2212F A F B +=，则|AB |= ( )
A ．6
B ．7
C ．5
D ．8
【答案】D
【解析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF 2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB 的长． 【详解】
椭圆22
259
x y +
=1的a=5，
由题意的定义，可得，|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ， 则三角形ABF 2的周长为4a=20， 若|F 2A|+|F 2B|=12， 则|AB|=20﹣12=8． 故答案为D 【点睛】
本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．
9．已知双曲线22
19x y m
-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为
( ) A ．34
y x =?
B ．43y x =±
C ．3
y x =± D ．4
y x =±
【答案】B
【解析】根据题意,双曲线的方程为22
19x y m
-=，则其焦点在x 轴上，
直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0， 则双曲线的焦点坐标为()5,0， 则有925m +=， 解可得，16m =，
则双曲线的方程为：22
1916
x y -=，
其渐近线方程为：4
3
y x =±， 故选B. 10．若直线()10,0x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．8
C ．9
D ．10
【答案】C 【解析】【详解】 因为直线
()10,0x y a b a b
+=>>过点()1,1,所以11
+1a b = ,因此
114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以
选C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
11．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，以O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆
的右焦点2F 作圆O 的切线，切点分别为,A B ，若四边形2F AOB 为正方形，则椭圆的离心率为( )
A ．
1
3
B ．
3
C ．
12
D ．
2
【答案】B
【解析】根据题意可知圆的半径为b ,2OF c =,由正方形性质即可求得椭圆的离心率. 【详解】
以O 为圆心,短半轴长为半径作圆O 则圆O 的半径为b ,且2OF c =
四边形2F AOB 为正方形,由正方形性质可得2OF =
即c =
,椭圆中满足222a b c =+
代入化简可得2
232
a c =
所以
c a ==
故选:B 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程与简单的几何性质应用,椭圆离心率的求法,属于基础题.
12．已知点F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点,点E 是该双曲线的左顶点,
过F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于,?A B 两点,若AEB ∠是钝角,则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )
A ．()
12,++∞ B ．()
1,12+
C ．()2,+∞
D ．()
21
2+, 【答案】C
【解析】试题分析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为，因为
,所以；
则,即，即，即，解
得
.
【考点】双曲线的几何性质.
二、填空题
13．命题“()00,12x R f x ∃∈<≤”的否定是________． 【答案】()1x R f x ∀∈≤，或()2f x > 【解析】根据含存在量词的否定,即可得解. 【详解】
由含有存在量词的否定,可得
命题“()00,12x R f x ∃∈<≤”的否定为()1x R f x ∀∈≤，或()2f x > 故答案为: ()1x R f x ∀∈≤，或()2f x > 【点睛】
本题考查了含有存在量词命题的否定,属于基础题. 14．已知中，内角，，所对边长分别为，，，若
，
，
，
则
的面积等于________．
【答案】 【解析】把条件
用正弦定理转化为角的关系后结合A 角已知可求得B 角，从
而也得到C 角，得出三角形是等边三角形，面积易求． 【详解】 ∵，∴，∴
，∴
，
从而
，即
是等边三角形，
．
故答案为． 【点睛】
本题考查求三角形面积，考查正弦定理．解题关键是用正弦定理进行边角互化．对于一个等式中如果是三角形三边的齐次或三角正弦的齐次式，则可用正弦定理进行边角关系的互化，方便变形求解．
15．曲线ln y a x =(0)a >在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则
a = .
【答案】8
【解析】求出原函数的导函数，得到曲线在x=1处的切线的斜率，由直线方程的点斜式得到切线方程，求出切线在两坐标轴上的截距，由切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4列式求得a 的值． 【详解】 由y =a ln x ，得a
y x
'=
， 1x y a =∴'=
又x =1时，y =0，
∴曲线y =a ln x (a >0)在x =1处的切线方程为：y =ax −a . 当x =0时，y =−a .当y =0时，x =1.
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于1
142
a ⨯⨯=. 解得：a =8. 故答案为：8. 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.
16．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步
不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问前三天走了______里. 【答案】336
【解析】由等比数例前n 项和公式即可求解. 【详解】
由题意得等比数列{}n a ，公比1
2
q =
，6378S =， ∴16112378112a ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭=-，解得1192a =， ∴33119212336112
S ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭=
=-. 故答案为：336 【点睛】
本题主要考查等比数列前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.
三、解答题
17．已知等差数列{}n a 为递增数列，其前三项和为3-，前三项的积为8 （1）求等差数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 是的前n 项和n S . 【答案】(1) 37n a n =- (2) (311)
2
n n n S -=
【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >，根据题设条件，建立方程组，解方程组可得1a 和d 的值，进而求得等差数列{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式即可求出数列{}n a 是的前n 项和n S . 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 0d > ∵等差数列{}n a 的前三项的和为3-，前三项的积为8，
∴()()1111333
28a d a a d a d +=-⎧
⎨
++=⎩，
∴123a d =⎧⎨
=-⎩或14
3a d =-⎧⎨=⎩
，
∵0d >，∴14,3a d =-= ∴37n a n =-；
（2）∵37n a n =-，∴1374a =-=-， ∴()
()4373112
2
n n n n n S -+--=
=
.
18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos c a b A -=. （1）求角B 的大小； （2
）若2,a b ==，求c .
【答案】（1）
3
π
； （2）3. 【解析】（1）根据正弦定理,将边化为角的表达式.集合正弦的和角公式,化简即可求得角
B .
（2）由余弦定理,
代入2,a b ==c .
【详解】
（1）由已知及正弦定理,得2sin sin 2sin cos C A B A -=. ∵()C A B π=-+, ∴()2sin
sin 2sin cos A B A B A +-=,
化简得()sin 2cos 10A B ⋅
-=.
∵()0,A π∈, ∴sin 0A ≠, ∴1
cos 2
B =
. ∵0B π<<, ∴3
B π
=
.
（2）由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-．
∵2,a b ==∴2742c c =+-, 即2230c c --=,
解得3c =或1c =- (不合题意,舍去)． ∴3c =. 【点睛】
本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,边角转化的应用,属于基础题. 19．已知()()2
366f x x a a =-+-+.
(1)解关于a 的不等式()10f >；
(2)若不等式()f x b >的解集为()1,3-，求实数,a b 的值．
【答案】（1
）{|33a a -<<+；（2
）33a b ⎧=⎪⎨
=-⎪⎩
【解析】试题分析：(1)由f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，得a 2－6a －3<0，求解即可；
（2）f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，由根与系数的关系求解即可. 试题解析：
(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，
∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－
a <3＋
∴原不等式的解集为{a |3－
a <3＋
(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，
等价于()
61+3=3613=3a a b
⎧--⎪⎪⎨-⎪-⨯-⎪⎩
解得33a b ⎧=±⎪⎨
=-⎪⎩20．已知椭圆C 的长轴长为10，两焦点12,F F 的坐标分别为()3,0-和()3,0． （1）求椭圆的标准方程；
（2）若P 为椭圆C 上一点，2PF x ⊥轴，求12F PF ∆的面积．
【答案】（1）22
12516x y +=（2）485
【解析】（1）根据椭圆的长轴即焦点坐标,可得,a c .由椭圆中满足222a b c =+,即可求得2b ,进而得椭圆的标准方程.
（2）根据2PF x ⊥,可得P 点坐标,即可求得12F PF ∆的面积．
【详解】
（1）椭圆C 的长轴长为10,两焦点12,F F 的坐标分别为()3,0-和()3,0
则210,3a c ==,且222a b c =+
解得25,16a b == 所以椭圆的标准方程为22
12516
x y += （2）P 为椭圆C 上一点,2PF x ⊥轴
所以点P 的横坐标为3x =,代入椭圆方程可求得点P 的纵坐标为165y =±
不妨设点P 在x 轴上方,则163,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
所以121212
F PF P S F F y ∆=⨯⨯ 1614855
62=⨯⨯= 【点睛】
本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆的几何性质简单应用,焦点三角形面积求法,属于基础题.
21．设A ，B 为曲线C ：2
4
x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；
(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．
【答案】（1）1；（2）y ＝x ＋7..
【解析】（1）设,A B 两点坐标，代入抛物线方程 相减后可求得AB 的斜率；
（2）由C 在M 处的切线与直线AB 平行，可求得切点M 坐标，设直线AB 的方程为y
＝x ＋m ，代入抛物线方程可得AB 中点为(2,2)N m +，AM ⊥BM 等价于12MN AB =，这样可求得m 值． 【详解】 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，22121244
x x y y ==，，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率12121214
y y x x k x x -+===-. (2)由24
x y =，得2x y '=. 设M (x 3，y 3)，由题设知312
x =，解得x 3＝2，于是M (2，1)． 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.
将y ＝x ＋m 代入2
4
x y =得x 2－4x －4m ＝0. 当Δ＝16(m ＋1)＞0，即m ＞－1时，1,2221x m =±+.
从而12242(1)AB x x m =-=+.
由题设知|AB |＝2|MN |，即42(1)2(1)m m +=+，解得m ＝7.
所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.
【点睛】
本题考查直线与抛物线相交问题，解题时设直线方程方程为y ＝x ＋m 是解题关键．通过它与抛物线方程联立，可得AB 中点N 的横坐标，从而得MN ，而AM ⊥BM 等价于12
MN AB =，因此可求得m ．本题解法中没有用到特殊方法，求切点坐标，求直线方程，求弦长等都是最基本的方法，务必牢固掌握．
22．设函数()21 4.f x x x =+--
（1）解不等式()0f x >；
（2）若()34f x x m +-…
对一切实数x 均成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）利用零点分段法分别求出各段不等式的解集，取它们的交集即可；（2）首先利用绝对值三角不等式的性质的性质求得()34f x x +-的最小值，从而
求得m 的取值范围．
试题解析：（1）当4x ≥时()21(4)50f x x x x =+--=+＞得 5x >--，所以，4x ≥时，不等式成立； 当142
x -≤<时，214330f x x x x =++-=->（），得1x >，所以，14x <<时，不等式成立； 当12x <-
时，()50f x x =-->，得 5x <--，所以， 5x <--成立． 综上，原不等式的解集为：{15}x x x <-或．
（2）()34212421(28)9f x x x x x x +-=++-≥+--=，当且仅当142
x -≤≤时，取等号， 所以，()34f x x +-的最小值为9，故9m <．
【考点】1、绝对值不等式的解法；2、绝对值三角不等式的性质． 【技巧点睛】形如x a x b c ≥－＋－(或c ≤)型的不等式主要方法为分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(](]()a a b b -∞+∞，，，
，，(此处设a b <)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．。