河南省济源市第一中学2021年高三数学理联考试题含解析

河南省济源市第一中学2020-2021学年高三数学理联考试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法正确的是（）
A．“x＜1”是“log2（x+1）＜1”的充分不必要条件
B．命题“?x＞0，2x＞1”的否定是“”
C．命题“若a≤b，则ac2≤bc2”的逆命题为真命题
D．命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”为真命题．
参考答案：
D
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】对每个选项，分别利用充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，判断正误即可．【解答】解：选项A：log2（x+1）＜1可得﹣1＜x＜1，所以“x＜1”是其必要不充分条件；
选项B：“?x＞0，2x＞1”的否定是“”，不满足命题的否定形式；
选项C：命题“若a≤b，则ac2≤bc2”的逆命题是“若ac2≤bc2，则a≤b”，
当c=0时，不成立；
选项D：其逆否命题为“若a=2且b=3，则a+b=5”为真命题，故原命题为真．
故选：D．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查计算能力．
2. 已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）
A. －3
B. －1
C. 3
D. 1
参考答案：
C
当时，
两式作差可得：，据此可得，当时，的最大值为3
3. 已知集合，，那么
(A) 或(B)
(C) 或(D)
参考答案：
B
略
4. 如图，长方形的长，宽，线段的长度为1，端点在长方形的四边上滑动，当沿长方形的四边滑动一周时，线段的中点所形成的轨迹为，记的周长与围成的面积数值的差为，则函数的图象大致为（）
参考答案：
C
略
5. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的为12，则输出的的值分别为
（A）
（B）
（C）
（D）
参考答案：
D
6. 设m=3（x2+sinx）}dx，则多项式（x+）6的常数项为( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】二项式定理；微积分基本定理．
【专题】综合题；二项式定理．
【分析】先由定积分求出m的值，再求解二项式展开式中的常数项，利用二项式的展开式的通项，令x的对应次数为0即可求出其常数项．
【解答】解：因为，则多项式为=，
它的展开式的通项公式为T k+1=，
令，求得k=2，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
所以展开式的常数项为．
故选D．【点评】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
7. 若是夹角为的单位向量，且,，则
A.1
B.
C.
D.
参考答案：
C
8. 当时，的最小值为
A.3
B.
C.
2 D.
参考答案：
B
略
9. 已知的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x 总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．
【分析】根据题意，利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出 A|x1﹣x2|的最小值．
【解答】解：
=sin2017xcos+cos2017xsin+cos2017xcos+sin2017xsin
=sin2017x+cos2017x+cos2017x+sin2017x
=
sin2017x+cos2017x
=2sin ． 或
=
=2sin ．
∴f（x ） 的最大值为A=2； 由题意得，|x 1﹣x 2|的最小值为=， ∴A|x 1﹣x 2|的最小值为．
故选：B ．
10. 如下图，为一旋转体沙漏，上部为一倒立圆台，下部为一圆柱，单位时间流出的沙量固定，假定沙的上表面总能保持平整，则沙漏内剩余沙的高度h 与时间t 的函数关系图像最接近的是
参考答案：
A 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正实数a,b 满足，则
的最小值是
.
参考答案：
【答案解析】
解析：因为
a>0,b>0,所以3 =
.
当且仅当，即时等号成立，所以ab 的最小值是，又，
所以，所以=.
【思路点拨】利用基本不等式求解.
12. 如果执行如图程序框图（判断条件k≤20？），那么输出的S=_________．
参考答案：
420 略
13. 在极坐标系中，若过点
且与极轴垂直的直线交曲线于、两点，则
. 参考答案：
略
14. 已知过点P （2，2）的直线与圆（x ﹣1）2+y 2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a= ．
参考答案：
2
考点：圆的切线方程．
专题：计算题；直线与圆．
分析：由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．
解答：解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，
又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，
所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，
所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．
故答案为：2．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．
15. 设函数为坐标原点，图象上横坐标为
的点，向量的夹角，
满足的最大整数是
.
参考答案：
16. 点在内部且满足，则的面积与凹四边形.的面积之比为________________.
参考答案：17. 已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3·a9＝2，a2＝1，则a1＝__________．
参考答案：
利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项．设等比数列{a n}的公比为q(q＞0)，则a3·a9＝2?·q6＝2(a3q2)2?q＝，又a2＝1，所以a1＝.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
（12分）已知M、N两点的坐标分别是M（1+cos2x，1），N（1，sin2x+a）（x，是常数），令是坐标原点）.
（1）求函数的解析式，并求函数在[0，π]上的单调递增区间；
（2）当，求a的值，并说明此时的图象可由函数
的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到.
参考答案：
解析：（1）
…………………3分由
上的单调递增区间为[0，]和[].……………………6分（2），
∴当x=时，……10分
将的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再
向上平移2个单位长度，得的图象.……………………12分
19. 某品牌汽车4店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有５，4，3款不同
车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．
(1)求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率；
(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望．
参考答案：
略
20. 已知椭圆的左?右焦点分别为F1、F2，以，，F2和F1
为顶点的梯形的高为，面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A、B为椭圆C上的任意两点，若直线AB与圆相切，求△AOB面积的取值范
围．
参考答案：
（1）；（2）
【分析】
（1）由梯形的高求出，由梯形的面积，建立关于方程，结合关系，即
可求出椭圆标准方程；
（2）设直线的方程为：，利用直线与圆相切，得到关系，直线方程与椭圆方程联立，设，，得出关系，由相交弦长公式，求出关于的函数，根据函数特征，求出其范围，再由，即可求出结论.
【详解】（1）由题意，得，且，∴，又，解得，．
∴椭圆的方程为．
（2）如图，设，，
当圆的切线的斜率存在时，设的方程为：，
切点为，连结，则．
因为与圆相切，
所以，所以．
联立，整理得．
所以，．
又
．
①若时，
．
因为，
当且仅当时，“”成立．
所以
即．
②当时，，所以．
又，
所以．
当圆的切线斜率不存在时，则的方程为或．
此时，的坐标分别为，或，．此时．
综上，△AOB面积的取值范围为．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与圆以及直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.
21. (1) 已知两个等比数列，，满足.若数列唯一，求的值；(2)是否存在两个等比数列，，使得
成公差不为0的等差数列？若存在，求，的通项公式；若不存在，说明理由.
参考答案：
解：(1)设的公比为，则.
由成等比数列得，
即.（）
由得，故方程（）有两个不同的实根.
再由唯一，知方程必有一根为0，将代入方程得.(2) 假设存在两个等比数列，，使得成公差
不为0的等差数列，设的公比为，的公比为.
则，，.
由成等差数列得
即
(*)-(**)得.
由得或.
当时，由(*) (**)得或，这时，
与公差不为0矛盾.
当时，由(*) (**)得或，这时，与公差不为0矛盾.综上所述，不存在两个等比数列，，使得
成公差不为0的等差数列.
22. （本小题满分14分）
设数列的首项R），且，
（Ⅰ）若；
（Ⅱ）若，证明：；
（Ⅲ）若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立.
参考答案：
（Ⅰ）解：因为
所以a2=－a1+4=－a+4，且a2∈（3，4）
所以a3=a2－3=－a+1，且a3∈（0，1）
所以a4=－a3+4=a+3，且a4∈（3，4）
所以a5=a4－3=a……4分
（Ⅱ）证明：当
所以，……6分
②当
所以，
综上，……8分
（Ⅲ）解：①若
因此，当k=4m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立…10分
②若
因此，当k=2m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立…12分
③若，
因此k=m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立……13分综上，若0<a<1，则k=4m；，则k=2m；
若a=2，则k=m. m∈N* ……14分
略。