阜阳一中2013--2014学年高一下学期期中考试数学试题及答案

2.已知21(1)log 222
a x a x
b a
c ∈===，，，，，则 （ ）.
A.a b c <<
B.c a b <<
C.b a c <<
D.b c a <<
3.为了得到函数的图像，只需把函数sin 2y x =的图像 （ ）.
A.向右平移
3π个长度单位 B.向右平移6π
个长度单位 C.向左平移3π个长度单位 D.向左平移6
π
个长度单位
4.若)(x f 是偶函数，且当0)1(,1)(,),0[<--=+∞∈x f x x f x 则时的解集是 （ ）.
A.(0,2)
B.(,0)(1,2)-∞⋃
C.(1,2)
D.(1,0)- 5.已知在
中，
,2BC =，则AB BC ⋅u u u r u u u r
= （ ）.
A. 2
B. -4
C. -2
D. 4
6.设首项为1，公比为
2
3
的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 （ ）. A.21n n S a =- B.32n n S a =- C.43n n S a =-
D.32n n S a =-
7.首项为10-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 （ ）.
A.209d >
B.109d >
C.205
92d <≤ D.10594
d <≤
8.在四边形ABCD 中，(2,4)AC =u u u r ，(6,3)BD =-uu u r
,则该四边形的面积为 （ ）.
A. B.52 C.5 D.15 9.函数()1
()2sin 241
f x x x x π=
--≤≤-所有零点之和等于 （ ）. A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
10.已知函数()f x 是定义在R 的奇函数，当0x ≤时，2()f x x =，若对任意的[,1]x t t ∈+
，
sin(2)3
y x π
=-
不等式()9(f x f x t ≤+恒成立，则实数t
的最大值为
（ ）.
A.25-
B.32-
C.2
3
- D.2
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.已知
51
sin(
)25
πα+=，那么cos α=___ ___. 12.已知函数(
)log (1)(0,1)x a f x a x a a =++>≠且在区间[0,1]上的最大值与最小值的和为a ，则实数a =___ ___.
13.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若35a b =，且sin A 是sin B 与sin C 的等差中项，则角C
=_________.
14.已知数列{}n a 通项为cos(
)(*)2
n n a n n N π
=∈，则1232014a a a a +++⋅⋅⋅+= . 15.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，E 在CD 延长线上，且DE CD =.动点P 从点A
出发，沿正方形ABCD 的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+u u u r u u u r u u u r
，
则下列命题正确．．的是 .（填上所有正确命题的序号） ①0,0λμ≥≥；
②当点P 为AD 中点时，1λμ+=； ③若2λμ+=，则点P 有且只有一个； ④λμ+的最大值为3；
⑤AP AE ⋅uu u r uu u r
的最大值为1.
三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16.（本小题满分12分）
已知内角所对边长分别为，面积S =2AB AC ⋅=uu u r uu u r
.
（Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）若1c b =+，求的值.
ABC ∆,,A B C ,,a b c a
17.（本小题满分12分）
已知函数()sin()(0,0,||)()2
f x A x A x R π
ωϕωϕ=+>><∈的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求()f x 的表达式；
（Ⅱ）设()()()4
g x f x x π
=+,求函数()g x 的最小值及相应
的x 的取值集合.
18.（本小题满分12分）
设函数22()(2)n f x x n n x =-+（其中*n N ∈），区间{|()0}n n I x f x =>. （Ⅰ）求区间n I 的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-）； （Ⅱ）把区间n I 的长度记作数列{}n a ，令12n n S a a a =+++L ，证明：1334
n S ≤<.
19.（本小题满分12分）
设函数2()32f x ax bx c =++，且有0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>. （Ⅰ）求证：0a >，且21b
a
-<
<-； （Ⅱ）求证：函数()y f x =在区间(0,1)内有两个不同的零点.
20.（本小题满分13分）
设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2
1441
,n n S a n n N *+=--∈，且2514,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.
（Ⅰ）证明：数列{}n a 为等差数列； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .
21.（本小题满分14分）
已知函数()f x 定义在R 上，对任意的x y R ∈，，()0f x ≠，且()()()f x y f x f y +=. （Ⅰ）求(0)f ，并证明：()
()()
f x f x y f y -=
；
（Ⅱ）若()f x 单调，且(1)2f =.设向量2 1) sin cos )22
a b θθθ==r r ，，，，对任
意[0 2)θπ∈，，()(3)0f a b f ⋅-≤r r
恒成立，求实数λ的取值范围.
18. （Ⅰ）由()0n f x >，得22(2)0x n n x -+>，解得21
02x n n
<<+， …………3分
即21(0,
)2n I n n =+，所以区间n I 的长度为22
11
022n n n n
-=++； …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2
1111()
222
n a n n n n ==-++， …………7分
则1111111[()()()]213242n S n n =
-+-++-+L 11113111(1)()22124212
n n n n =+--=-+++++ …………10分 因为*n N ∈，故3
4
n S <， …………11分
又易知3111()4212n S n n =-+++单增，故131111()4211123n S S ≥=-+=++， 综上13
34
n S ≤<. (12)
分
19.证明：（Ⅰ）因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>， …………2分 由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>；
由条件0a b c ++=，消去c ，得0,20a b a b +<+>，即2a b a -<<-， …………5分 所以21b
a
-<
<-； …………6分 （Ⅱ）抛物线2
()32f x ax bx c =++的顶点为2
3(,)33b ac b a a
--， 由21b a -<
<-，得12333b a <-<，即有(0,1)3b
a
-∈， …………8分 又因为(0)0,(1)0f f >>，22()033b a c ac
f a a
+--=-
<，且图象连续不断， 所以函数()y f x =在区间(0,)3b a -
与(,1)3b
a
-内分别有一个零点， 故函数()y f x =在(0,1)内有两个不同的零点. …………12分
20.（Ⅰ）当2n ≥时，2144(1)1n n S a n -=---，则22
114444n n n n n a S S a a -+=-=--， 于是221(2)n n
a a +=+，而，0n a >，故12n n a a +=+， …………2分 所以2n ≥时，{}n a 为公差为2的等差数列，
因为2514,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项，所以25214a a a =
即2222(6)(24)a a a +=+，解得23a =， …………3分 由条件知21245a a =-，则11a =， …………4分 于是2112n n a a a a +-==-，
所以{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列； …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知21,n a n =-3n n b =， …………8分
23133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-L ，
两边同乘以3得，
23131333(23)3(21)3n n n T n n +=⨯+⨯++-+-L ， …………9分 两式相减得
2312132(333)(21)3n n n T n +-=⨯++++--L
21113(13)
32(21)36(22)313
n n n n n -++-=+--=-+--， …………12分
所以13(1)3n n T n +=+-. …………13分
21.解：（Ⅰ）令0y x ==得2(0)(0)f f =，又∵()0f x ≠，(0)1f =， …………2分
由()()()f x y f x f y +=得()[()]f x f x y y =-+=()()f x y f y -，
∵()0f x ≠，∴()
()()
f x f x y f y -=
. ……………5分
（Ⅱ） ∵(0)1(1)2f f ==，，且()f x 是单调函数，∴()f x 是增函数. …………6分
而2
sin cos a b λθθ⋅=+r r ，∴由()(3)0f a b f ⋅-≤r r ，得2(sin cos )(3)f f λθθ+≤， 又∵因为()f x 是增函数，∴2sin cos λθθ+≤3恒成立，[0,2)θπ∈.
即sin sin 20θλθ-+≥2. ……………8分 令sin t θ=，得220t t λ-+≥ (﹡).
∵[0 2)θπ∈，，∴1sin 1θ-≤≤，即11t -≤≤.
令2
()2h t t t λ=-+=2
2
()22
4
t λ
λ-+-
()11t -≤≤，
……………10分 ①当
12
λ
<-，即2λ<-时，只需(1)0h -≥，(﹡)成立，
∴30λ+≥，解得32λ-≤<-； ……………11分 ②当112
λ-≤
≤，即22λ-≤≤时，只需04
2)2()(2
min ≥-==λλh t h ，(﹡)成立，
∴2
8λ≤，解得2222≤≤-λ，∴22≤≤-λ. ……………12分
③当
12
λ
>，即2λ>时，只需(1)0h ≥，(﹡)成立， ∴3λ≤， ∴23λ<≤， ……………13分
综上，33λ-≤≤. ……………14分。