湖北省孝感市孝昌县重点达标名校2024届中考数学押题试卷含解析

湖北省孝感市孝昌县重点达标名校2024年中考数学押题试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．下表是某校合唱团成员的年龄分布.
年龄/岁13 14 15 16
频数 5 15 x 10x
-
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）
A．众数、中位数B．平均数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差
2．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（）A．85°B．105°C．125°D．160°
3．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与
k
y
x
=(k≠0)的图象大致是（）
A．B．
C．D．
4．已知代数式x+2y的值是5，则代数式2x+4y+1的值是（）A．6 B．7 C．11 D．12
5．某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列结论正确的是（）
A．最喜欢篮球的人数最多B．最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍
C．全班共有50名学生D．最喜欢田径的人数占总人数的10 %
6．如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是
A．3 B．11
3
C．
10
3
D．4
7．某种圆形合金板材的成本y（元）与它的面积（cm2）成正比，设半径为xcm，当x＝3时，y＝18，那么当半径为6cm时，成本为（）
A．18元B．36元C．54元D．72元
8．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（）．
A．众数是6吨B．平均数是5吨C．中位数是5吨D．方差是
9．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.0000000076克，将数0.0000000076用科学记数法表示为（ ）
A ．7.6×10﹣9
B ．7.6×10﹣8
C ．7.6×109
D ．7.6×108
10．下列计算正确的是（ ）
A ．a 2•a 3=a 5
B ．2a+a 2=3a 3
C ．（﹣a 3）3=a 6
D ．a 2÷
a=2 二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．方程1223
x x =+的解为__________. 12．如图，已知反比例函数y=（x ＞0）的图象经过Rt △OAB 斜边OB 的中点C ，且与直角边AB 交于点D ，连接OD ，若点B 的坐标为（2，3），则△OAD 的面积为_____．
13．如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成如图图案，则第4个图案中有__________白色纸片，第n 个图案中有__________张白色纸片．
14．若a 是方程2310x x -+=的解，计算：22331
a a a a -+
+=______. 15．已知20n 是整数，则正整数n 的最小值为___ 16．如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则菱形的边长____cm ．
17．抛物线y=（x+1）2 - 2的顶点坐标是 ______ ．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2
y x bx c =++顶点A 的横坐标是1-，且与y 轴交于点()B 0,1-，
点P为抛物线上一点．
()1求抛物线的表达式；
()2若将抛物线2
y x bx c
=++向下平移4个单位，点P平移后的对应点为Q.如果OP OQ
=，求点Q的坐标．
19．（5分）如图，⊙O的直径AD长为6，AB是弦，CD∥AB，∠A=30°，且CD=3．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线．
20．（8分）如图，抛物线23
2 2
y ax x
=--（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
21．（10分）如图，已知平行四边形OBDC的对角线相交于点E，其中O（0，0），B（3，4），C（m，0），反比例函
数y=k x （k≠0）的图象经过点B ．求反比例函数的解析式；若点E 恰好落在反比例函数y=k x
上，求平行四边形OBDC 的面积．
22．（10分）已知抛物线2y x bx c =++过点(0,0)，(1,3)，求抛物线的解析式，并求出抛物线的顶点坐标.
23．（12分）先化简，再求值：（1﹣11
a +）÷221a a -，其中a=﹣1． 24．（14分）已知：如图.D 是ABC 的边AB 上一点，//CN AB ，DN 交AC 于点M ，MA MC =.
（1）求证：CD AN =；
（2）若2AMD MCD ∠=∠，试判断四边形ADCN 的形状，并说明理由.
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、A
【解题分析】
由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【题目详解】
由题中表格可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为1010x x +-=，则总人数为3151030++=，故该组数据的众数为14岁，中位数为1414142
+=（岁），所以对于不同的x ，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
【题目点拨】
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
2、C
【解题分析】
首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
【题目详解】
根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，
故选：C．
【题目点拨】
本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．
3、D
【解题分析】
根据k值的正负性分别判断一次函数y=kx-k与反比例函数
k
y
x
=(k≠0)所经过象限，即可得出答案.
【题目详解】解：有两种情况，
当k>0是时，一次函数y=kx-k的图象经过一、三、四象限，反比例函数
k
y
x
=(k≠0)的图象经过一、三象限；
当k<0时，一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限，反比例函数
k
y
x
=(k≠0)的图象经过二、四象限；
根据选项可知，D选项满足条件.
故选D.
【题目点拨】
本题考查了一次函数、反比例函数的图象.正确这两种图象所经过的象限是解题的关键.
4、C
【解题分析】
根据题意得出x+2y=5，将所求式子前两项提取2变形后，把x+2y=5代入计算即可求出值．【题目详解】
∵x+2y=5，
∴2x+4y=10，
则2x+4y+1=10+1=1．
【题目点拨】
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
5、C
【解题分析】
【分析】观察直方图，根据直方图中提供的数据逐项进行分析即可得.
【题目详解】观察直方图，由图可知：
A. 最喜欢足球的人数最多，故A选项错误；
B. 最喜欢羽毛球的人数是最喜欢田径人数的两倍，故B选项错误；
C. 全班共有12+20+8+4+6=50名学生，故C选项正确；
D. 最喜欢田径的人数占总人数的4
100%
50
=8 %，故D选项错误，
故选C.
【题目点拨】本题考查了频数分布直方图，从直方图中得到必要的信息进行解题是关键.
6、B
【解题分析】
试题分析：解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
连接AC，
∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC，
∴AD=AO=2，
连接CD，设EF=x，
∴DE2=EF•OE，
∵CF=1，
∴DE=，
∴△CDE∽△AOE，
∴=，
即=，
解得x=，
S△ABE===．
故选B．
考点：1．切线的性质；2．三角形的面积．
7、D
【解题分析】
设y与x之间的函数关系式为y＝kπx2，由待定系数法就可以求出解析式，再求出x＝6时y的值即可得．【题目详解】
解：根据题意设y＝kπx2，
∵当x＝3时，y＝18，
∴18＝kπ•9，
则k＝2π
，
∴y＝kπx2＝2
π
•π•x2＝2x2，
当x＝6时，y＝2×36＝72，
故选：D．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的应用，解答时求出函数的解析式是关键．
8、C
【解题分析】
试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再
除以数据的个数．一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为，则方差S 2= [（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]．数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5，
故选C
考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数
9、A
【解题分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10n -,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【题目详解】
解：将0.0000000076用科学计数法表示为97.610-⨯.
故选A.
【题目点拨】
本题考查了用科学计数法表示较小的数，一般形式为a×10n -，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定.
10、A
【解题分析】
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的除法运算法则分别计算得出答案．
【题目详解】
A 、a 2•a 3=a 5，故此选项正确；
B 、2a+a 2，无法计算，故此选项错误；
C 、（-a 3）3=-a 9，故此选项错误；
D 、a 2÷a=a ，故此选项错误；
故选A ．
【题目点拨】
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、1x =
【解题分析】
两边同时乘2(3)x x +，得到整式方程，解整式方程后进行检验即可.
【题目详解】
解：两边同时乘2(3)x x +，得
34x x +=，
解得1x =，
检验：当1x =时，2(3)x x +≠0，
所以x=1是原分式方程的根，
故答案为：x=1.
【题目点拨】
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
12、．
【解题分析】
由点B 的坐标为（2，3），而点C 为OB 的中点,则C 点坐标为（1，1.5），利用待定系数法可得到k =1.5，然后利用k 的几何意义即可得到△OAD 的面积.
【题目详解】
∵点B 的坐标为（2，3），点C 为OB 的中点，
∴C 点坐标为（1，1.5），
∴k =1×1.5=1.5，即反比例函数解析式为y =，
∴S △OAD =×1.5=． 故答案为：．
【题目点拨】 本题考查了反比例函数的几何意义，一般的，从反比例函数（k 为常数，k ≠0）图像上任一点P ，向x 轴和y 轴作
垂线你，以点P 及点P 的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数
，以点P 及点P 的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于
.
13、13 3n+1
【解题分析】 分析：观察图形发现：白色纸片在4的基础上，依次多3个；根据其中的规律得出第n 个图案中有白色纸片即可．
详解：∵第1个图案中有白色纸片3×
1+1=4张 第2个图案中有白色纸片3×
2+1=7张， 第3图案中有白色纸片3×3+1=10张，
∴第4个图案中有白色纸片3×4+1=13张
第n 个图案中有白色纸片3n +1张，
故答案为：13、3n +1.
点睛：考查学生的探究能力，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论.
14、1
【解题分析】
根据一元二次方程的解的定义得a 2﹣3a +1=1，即a 2﹣3a =﹣1，再代入22331a a a a -+
+，然后利用整体思想进行计算即可．
【题目详解】
∵a 是方程x 2﹣3x +1=1的一根，
∴a 2﹣3a +1=1，即a 2﹣3a =﹣1，a 2+1=3a ∴2233=11=01
-+-++a a a a 故答案为1．
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了整体思想的运用．
15、1
【解题分析】
，则1n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为1．
【题目详解】
∴1n 是完全平方数；
∴n 的最小正整数值为1．
故答案为：1．
【题目点拨】
主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．
16、13
【解题分析】
试题解析：因为正方形AECF 的面积为50cm 2，
所以10AC cm ==，
因为菱形ABCD 的面积为120cm 2， 所以21202410
BD cm ⨯==，
所以菱形的边长13.cm == 故答案为13.
17、 (-1,-2)
【解题分析】
试题分析：因为y=（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为（﹣1，﹣2）．
考点：二次函数的性质．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、()1为2
y x 2x 1=+-；()2点Q 的坐标为()3,2--或()1,2-． 【解题分析】
()1依据抛物线的对称轴方程可求得b 的值，然后将点B 的坐标代入线22y x x c =-+可求得c 的值,即可求得抛物线
的表达式；()2由平移后抛物线的顶点在x 轴上可求得平移的方向和距离，
故此4QP =，然后由点QO PO =，//QP y 轴可得到点Q 和P 关于x 对称，可求得点Q 的纵坐标，将点Q 的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x 的值，则可得到点Q 的坐标．
【题目详解】
()1抛物线2
y x bx c =++顶点A 的横坐标是1-， b x 12a ∴=-=-，即b 121
-=-⨯，解得b 2=． 2y x 2x c ∴=++．
将()B 0,1-代入得：c 1=-，
∴抛物线的解析式为2y x 2x 1=+-．
()2抛物线向下平移了4个单位．
∴平移后抛物线的解析式为2y x 2x 5=+-，PQ 4=．
OP OQ =，
∴点O 在PQ 的垂直平分线上．
又QP //y 轴，
∴点Q 与点P 关于x 轴对称．
∴点Q 的纵坐标为2-．
将y 2=-代入2
y x 2x 5=+-得：2x 2x 52+-=-，解得：x 3=-或x 1=． ∴点Q 的坐标为()3,2--或()1,2-．
【题目点拨】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q 与点P 关于x 轴对称，从而得到点Q 的纵坐标是解题的关键．
19、（1）60°；（2）见解析
【解题分析】
（1）连接BD ，由AD 为圆的直径，得到∠ABD 为直角，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD 的长，根据CD 与AB 平行，得到一对内错角相等，确定出∠CDB 为直角，在直角三角形BCD 中，利用锐角三角函数定义求出tanC 的值，即可确定出∠C 的度数；
（2）连接OB ，由OA=OB ，利用等边对等角得到一对角相等，再由CD 与AB 平行，得到一对同旁内角互补，求出∠ABC 度数，由∠ABC ﹣∠ABO 度数确定出∠OBC 度数为90，即可得证；
【题目详解】
（1）如图，连接BD ，
∵AD 为圆O 的直径，
∴∠ABD=90°，
∴BD=12
AD=3， ∵CD ∥AB ，∠ABD=90°，
∴∠CDB=∠ABD=90°，
在Rt △CDB 中，tanC=
BD CD == ∴∠C=60°；
（2）连接OB ，
∵∠A=30°，OA=OB ，
∴∠OBA=∠A=30°， ∵CD ∥AB ，∠C=60°，
∴∠ABC=180°﹣∠C=120°，
∴∠OBC=∠ABC ﹣∠ABO=120°﹣30°=90°，
∴OB ⊥BC ，
∴BC 为圆O 的切线．
【题目点拨】
此题考查了切线的判定，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
20、（1）213222
y x x =--；（2）（32，0）；（3）1，M （2，﹣3）． 【解题分析】
试题分析：方法一：
（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B 点坐标代入解析式中即可．
（2）首先根据抛物线的解析式确定A 点坐标，然后通过证明△ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标．
（3）△MBC 的面积可由S △MBC =12
BC ×h 表示，若要它的面积最大，需要使h 取最大值，即点M 到直线BC 的距离最大，若设一条平行于BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M ．
方法二：
（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B 点坐标代入解析式中即可．
（2）通过求出A ，B ，C 三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC ⊥BC ，从而求出圆心坐标． （3）利用三角形面积公式，过M 点作x 轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出△MBC 的面积函数，从而求出M 点．
试题解析：解：方法一：
（1）将B （1，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a ﹣32×1﹣2，即：a =12
，∴抛物线的解析式为：213222y x x =--． （2）由（1）的函数解析式可求得：A （﹣1，0）、C （0，﹣2）；
∴OA=1，OC=2，OB=1，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；
所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（3
2
，0）．
（3）已求得：B（1，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=1
2
x﹣2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=1
2
x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
1 2x+b=2
13
2
22
x x
--，即：2
1
220
2
x x b
---=，且△=0；
∴1﹣1×1
2
（﹣2﹣b）=0，即b=﹣1；
∴直线l：y=1
2
x﹣1．
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：
2
13
2
22
1
4
2
y x x
y x
⎧
=--
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，解得：
2
3
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
即M（2，﹣3）．
过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=1
2
×2×（2+3）+
1
2
×2×3﹣
1
2
×2×1=1．
方法二：
（1）将B（1，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣3
2
×1﹣2，即：a=
1
2
，∴抛物线的解析式为：2
13
2
22
y x x
=--．
（2）∵y=1
2
（x﹣1）（x+1），∴A（﹣1，0），B（1，0）．C（0，﹣2），∴K AC=
02
10
+
--
=﹣2，K BC=
02
40
+
-
=
1
2
，∴K AC×K BC=
﹣1，∴AC⊥BC，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，△ABC的外接圆的圆心是AB的中点，△ABC的外接圆的
圆心坐标为（3
2
，0）．
（3）过点M作x轴的垂线交BC′于H，∵B（1，0），C（0，﹣2），∴l BC：y=1
2
x﹣2，设H（t，
1
2
t﹣2），M（t，2
13
2
22
t t
--），
∴S△MBC=1
2
×（H Y﹣M Y）（B X﹣C X）=
1
2
×（
1
2
t﹣2﹣2
13
2
22
t t
++）（1﹣0）=﹣t2+1t，∴当t=2时，S有最大值1，
∴M（2，﹣3）．
点睛：考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．
21、（1）y=12
x
；（2）1；
【解题分析】
（1）把点B的坐标代入反比例解析式求得k值，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据点B（3，4）、C（m，0）
的坐标求得边BC的中点E坐标为（
3
2
m
，2），将点E的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，根据平行四边
形的面积公式即可求解.
【题目详解】
（1）把B坐标代入反比例解析式得：k=12，则反比例函数解析式为y=；
（2）∵B（3，4），C（m，0），
∴边BC的中点E坐标为（，2），
将点E的坐标代入反比例函数得2=，解得：m=9，
则平行四边形OBCD 的面积=9×
4=1． 【题目点拨】
本题为反比例函数的综合应用，考查的知识点有待定系数法、平行四边形的性质、中点的求法．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用m 表示出E 点的坐标是解题的关键．
22、y=2x +2x ；（－1，－1）.
【解题分析】
试题分析：首先将两点代入解析式列出关于b 和c 的二元一次方程组，然后求出b 和c 的值，然后将抛物线配方成顶点式，求出顶点坐标.
试题解析：将点（0,0）和（1,3）代入解析式得：0{13c b c =++=解得：2{0
b c == ∴抛物线的解析式为y=2x +2x ∴y=2x +2x=2(1)x +－1 ∴顶点坐标为（－1，－1）.
考点：待定系数法求函数解析式.
23、原式=12
a -=﹣2． 【解题分析】
分析：原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简，再将a 的值代入计算可得．
详解：原式=112()+11(1)(1)
a a a a a a +-÷++- =
(1)(1)·12a a a a a
+-+ =12a -， 当a=﹣1时，
原式=312
--=﹣2． 点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
24、（1）证明见解析；（2）四边形ADCN 是矩形，理由见解析.
【解题分析】
（1）根据平行得出∠DAM ＝∠NCM ，根据ASA 推出△AMD ≌△CMN ，得出AD ＝CN ，推出四边形ADCN 是平行四边形即可；
（2）根据∠AMD ＝2∠MCD ，∠AMD ＝∠MCD ＋∠MDC 求出∠MCD ＝∠MDC ，推出MD ＝MC ，求出MD ＝MN ＝MA ＝MC ，推出AC ＝DN ，根据矩形的判定得出即可．
【题目详解】
证明：（1）∵CN∥AB，
∴∠DAM＝∠NCM，
∵在△AMD和△CMN中，
∠DAM＝∠NCM
MA＝MC
∠DMA＝∠NMC，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD＝CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD＝AN；
（2）解：四边形ADCN是矩形，
理由如下：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MD＝MC，
由（1）知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，
∴AC＝DN，
∴四边形ADCN是矩形．
【题目点拨】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．。