高中数学人教A版选修1-1练习第3章 导数及其应用3.4 Word版含解析

第三章
级基础巩固
一、选择题
．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的
行驶路程看作时间的函数，其图象可能是( )
[解析]加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导
数逐渐变小，图象上凸，故选．．(·广东东莞高二检测)若商品的年利润(万元)与年产(百万件)的函数关系式＝－＋＋(>
)，则获得最大利润时的年产量为( )
．百万件
．百万件
．百万件
．百万件
[解析]依题意得，′＝－＋＝－(－)(＋)，当<<时，′>；当>时，′<.因此，当＝时，该
商品的年利润最大．．某箱子的容积与底面边长的关系为()＝·()(<<)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边
长为( )
．
．
．
．
[解析]′()＝(－)′＝－，∈()．令′()＝，得＝.
∴当＝时，箱子的容积有最大值．
．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为，高为，如果箱底每的造价为元
，箱壁每的造价为元，则箱子的最低总造价为( )
．元
．元
．元
．元
[解析]设箱底一边的长度为，箱子的总造价为元，根据题意得箱底面积为＝()，箱底另一
边的长度为，则＝×＋(×＋××)×＝＋，′＝.令′＝，解得＝或＝－(舍去)．当<<时，′<；当>时，′>.故当＝时，有最小值.因此，当箱底是边长为的正方形时，箱子的总造价最低，
最低总造价是元．．某产品的销售收入(万元)是产量(千台)的函数：＝(>)；生产成本(万元)是产量(千台)
的函数：＝－(>)，为使利润最大，则应生产( )
．千台
．千台
．千台
．千台
[解析]设利润为(万元)，则
＝－＝－＋＝－(>)，
′＝－，
令′>，得<<，令′<，得>，
∴当＝时，取最大值，故为使利润最大，则应生产千台．．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为，则其表面积最小时，底面边长为( )
．
．
．
．
[解析]如图，设底面边长为(>)，
则底面积＝，∴＝＝.
表＝·×＋×＝＋，
′表＝－，令′表＝得＝，
因为表只有一个极值，故＝为最小值点．
二、填空题．(·山东淄博月考)某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元次，一年
的总存储费为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则＝吨
[解析]设该公司一年内总共购买次货物，
则＝，
∴总运费与总存储费之和()＝＋＝＋，
令′()＝－＝，解得＝，＝－(舍)，
＝是函数()的最小值点，故＝时，()最小．．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是π，且用料最小，则圆柱的底面半径为[解析]设圆柱的底面半径为，母线长为，则＝π＝π，∴＝，要使用料最省，只需使圆柱
形表面积最小，∴表＝π＋π＝π＋，
∴′()＝π－＝，令′＝得＝，
∴当＝时，表最小．
三、解答题．用边长为的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把
四边翻转°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多
少？。