2020年浙江省绍兴市中考数学一模试卷

2020年浙江省绍兴市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.请选出每小题中一个符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）若小王沿坡度i＝3：4的斜坡向上行走10m，则他所在的位置比原来的位置升高了（）
A．3m B．4m C．6m D．8m
2．（4分）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图
②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）
A．主视图相同C．俯视图相同B．左视图相同D．三种视图都不相同
3．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（）
A．α＝60°，β＝45°C．α＝30°，β＝30°B．α＝30°，β＝45°D．α＝45°，β＝30°
4．（4分）如图，AB为⊙O的切线，切点为A．连结AO，BO，BO 与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连结AD．若∠ABC＝36°，则∠ADC的度数为（）
A．27°B．32°C．36°D．54°
5．（4分）已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）
A．OP＝5
C．O到直线EF的距离是4B．OE＝OF D．OP⊥EF
6．（4 分）如图，直线PA，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，D，PA＝PB＝8cm，△则△PMN的周长为（）
A．8cm B．8cm C．16cm D．16cm
7．（4分）如图，O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上，一只蜗牛从点P
出发，绕圆锥侧面沿最短路线爬行一圈回到点P，若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝20°，则∠D的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
9．（4分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知A B＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）
A．asin x+b sin x C．asin x+b cos x B．a cos x+bcos x D．a cos x+b sin x
10．（4分）如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20公分；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12公分，且水桶与
铁柱的底面半径比为2：1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？（）
A．4.5B．6C．8D．9
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．12．（5分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射
线AN上运动，△
当ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是．
13．（5分）已知等边三角形ABC的边长为3，则它的内切圆半径为．
14．（5分）如图所示，在△R t ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，则r的取值范围为．
15．（5分）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（∠O）为60°，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC的值是．
，16．（5分）已知直线m与半径为10cm的⊙O相切于点P，AB是⊙O的一条弦，且
若AB＝12cm，则直线m与弦AB之间的距离为．
三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22.23小题，每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）计算：﹣3sin60°﹣cos30°+2tan45°．
18．（8分）如图，在离铁塔150m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为30°12′，测倾仪高AD为1.52m，求铁塔高BC（精确到0.1m）．
（参考数据：sin30°12′＝0.5030，cos30°12′＝0.8643，tan30°12′＝0.5820）
19．（8分）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、
B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：
（1）圆心D的坐标为；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．
20．（8分）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画△R t ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan ∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D 在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°，连接CD，直接写出线段CD的长．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
22．（12分）小明家的门框上装有一把防盗门锁（如图1），其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧，和矩形ABCD组成的，的圆心是倒锁按钮点M．已知的弓形高GH＝2cm，AD＝8cm，EP＝11cm．当锁柄PN绕着点N顺时针旋转至NQ位置时，门锁打开，此时直线PQ与所在的圆相切，且PQ∥DN，tan∠NQP＝
2．
（1）求所在圆的半径；
（2）求线段AB的长度．（≈2.236，结果精确到0.1cm）
23．（12分）如图，△在ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O 的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；
（2）若AC＝2，CE：EB＝1：4，求CE的长．
24．（14分）如图，已知直线l：y＝﹣x+8交x轴于点E，点A为x轴上的一个动点（点A
不与点E重合），在直线l上取一点B（点B在x轴上方），使B E＝5AE，连结AB，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCD，连结OB，以OB为直径作⊙P．
（1）当点A在点E左侧时，若点B落在y轴上，则AE的长为，点D的坐标为；
（2）若⊙P与正方形ABCD的边相切于点B，求点B的坐标；
（3）⊙P与直线BE的交点为Q，连结C Q，当CQ平分∠BCD时，BE的长
为．（直接写出答案）
2020年浙江省绍兴市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.请选出每小题中一个符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）若小王沿坡度i＝3：4的斜坡向上行走10m，则他所在的位置比原来的位置升高了（）
A．3m B．4m C．6m D．8m
【分析】可由坡度确定坡度角的正切值为tanα＝，再利用勾股定理求解．
【解答】解：∵斜坡的坡度i＝3：4，
∴正切值为：tanα＝，
设两直角边为3x，4x，则（3x）+（4x）＝10，
解得：x＝2，
故3x＝6（m），
答：他所在的位置比原来的位置升高了6m．
故选：C．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度坡角的定义是解题关键．
2．（4分）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图
②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）
A．主视图相同
C．俯视图相同
【分析】根据三视图解答即可．
B．左视图相同
D．三种视图都不相同222
【解答】解：图①的三视图为：
图②的三视图为：
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
3．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（）
A．α＝60°，β＝45°C．α＝30°，β＝30°B．α＝30°，β＝45°D．α＝45°，β＝30°
【分析】根据题意把特殊角的三角函数值代入计算，即可判断．【解答】解：A、α＝60°，β＝45°，
α＞β，则y＝sinα＝；
B、α＝30°，β＝45°，
α＜β，则y＝cosβ＝；
C、α＝30°，β＝30°，
α＝β，则y＝sinα＝；
D、α＝45°，β＝30°，
α＞β，则y＝sinα＝
故选：C．
；
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°是三角函数值是解题的关键．
4．（4分）如图，AB为⊙O的切线，切点为A．连结AO，BO，BO 与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连结AD．若∠ABC＝36°，则∠ADC的度数为（）
A．27°B．32°C．36°D．54°
【分析】根据切线的性质求出∠O AB＝90°，根据三角形内角和定理求出∠A OB，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出即可．
【解答】解：∵AB为⊙O的切线，切点为A，
∴∠OAB＝90°，
∵∠ABC＝36°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABC＝54°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADC，
∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD＝2∠ADC＝54°，
∴∠ADC＝27°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠OAB＝90°是解此题的关键．
5．（4分）已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）
A．OP＝5
C．O到直线EF的距离是4B．OE＝OF D．OP⊥EF
【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．
【解答】解：
∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
6．（4 分）如图，直线PA，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，D，PA＝PB＝8cm，△则△PMN的周长为（）
A．8cm B．8cm C．16cm D．16cm
出PMN 的周长＝PA+PB，代入【分析】根据切线长定理得出AM＝MD，BN＝DN，求△
求出即可．
【解答】解：∵直线PA，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，D，
∴AM＝MD，BN＝DN，
∵PA＝PB＝8cm，
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN
＝PM+MD+ND+PN
＝PM+AM+BN+PN
＝PA+PB
＝8cm+8cm
＝16cm，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质和切线长定理，能根据切线长定理得出AM＝MD和BN ＝DN是解此题的关键．
7．（4分）如图，O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上，一只蜗牛从点P 出发，绕圆锥侧面沿最短路线爬行一圈回到点P，若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）
A．B．
C．D．
【分析】此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．
【解答】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D
的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．
故选：D．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短距离问题，圆锥的测面展开图，考查了学生的空间想象能力．
8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝20°，则∠D的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】连OC，根据切线的性质得到∠OBD＝∠OCD＝90°，根据∠ACE＝20°和OA
＝OC求出∠OAC＝∠OCA＝70°，可得∠BOC＝2×70°＝140°，再根据四边形的内角和为360°即可计算出∠D的度数．
【解答】解：连OC，如图，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴∠OBD＝∠OCD＝∠OCE＝90°，
∵∠ACE＝20°，
∴∠OCA＝90°﹣20°＝70°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA＝70°，
∴∠BOC＝2×70°＝140°，
∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠OCA的度数是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
9．（4分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知A B＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）
A．asin x+b sin x C．asin x+b cos x B．a cos x+bcos x D．a cos x+b sin x
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC 的距离，本题得以解决．
【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，
∴∠EAB ＝x ，
∴∠FBA ＝x ，
∵AB ＝a ，AD ＝b ，
∴FO ＝FB +BO ＝a •cos x +b •sin x ， 故选：D ．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（4分）如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20 公分；另有一直圆柱形的实心
铁柱，柱高 30 公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为 12 公分，且水桶与
铁柱的底面半径比为 2：1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变， 若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？（
）
A ．4.5
B ．6
C ．8
D ．9
【分析】由水桶底面半径：铁柱底面半径＝ 2：1，得到水桶底面积：铁柱底面积＝ 2
： 1 2
＝4：1，设铁柱底面积为 a ，水桶底面积为 4a ，于是得到水桶底面扣除铁柱部分的环
形区域面积为 4a ﹣a ＝3a ，根据原有的水量为 3a ×12＝36a ，即可得到结论． 【解答】解：∵水桶底面半径：铁柱底面半径＝2：1，
∴水桶底面积：铁柱底面积＝2 ：1 ＝
4：1，
设铁柱底面积为 a ，水桶底面积为 4a ，
则水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为 4a ﹣a ＝3a ，
∵原有的水量为 3a ×12＝36a ，
2 2 2
∴水桶内的水面高度变为＝9（公分）．
故选：D．
【点评】本题考查了圆柱的计算，正确的理解题意是解题的关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．
【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出A D
的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC，
在△R t ABD中，sin B＝，AB＝3，
∴AD＝AB•sin B＝1，
在△R t ACD中，tan C＝∴＝，即CD＝
，，
根据勾股定理得：AC＝
故答案为：
＝＝，
【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
12．（5分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，△当ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC＜．
【分析】当点 C 在射线 AN 上运动，△ABC 的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角
三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时 的 BC 的值．
【解答】解：如图，过点 B 作 BC
⊥AN ，垂足为 C ，BC ⊥AM ，交 AN 于点 C 在 △R t ABC 中，AB ＝2，∠A ＝60°，
∴∠ABC ＝30°
2
，
∴AC ＝ AB ＝1，由勾股定理得：BC ＝
在 △R t ABC 中，AB ＝2，∠A ＝60°
∴∠AC B ＝30°
，
∴AC ＝4，由勾股定理得：BC ＝2
． 当△ABC 是锐角三角形时，点 C 在 C C 上移动，此时
故答案为： ＜BC ＜2 ＜BC ＜2
．
【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或
利用勾股定理求解．考察直角三角形中 30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定 理等知识点．
13．（5 分）已知等边三角形 ABC 的边长为 3，则它的内切圆半径为
．
【分析】由等边三角形 ABC 的边长为 2，根据等边三角形的性质与三角形内切圆的性质， 即可求得答案．
【解答】解：过 O 点作 OD ⊥AB ，
∵O 是等边△ABC 的内心，
∴∠OAD ＝30°，
1 1
2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
∵等边三角形 ABC 的边长为 3， ∴OA ＝OB ，
∴AD ＝ AB ＝ ，
∴OD ＝AD •tan30°＝
＝
，
即这个三角形的内切圆的半径为 故答案为
．
．
【点评】此题考查了三角形内切圆的性质以及等边三角形的性质．此题难度不大，注意 掌握数形结合思想的应用．
14．（5 分）如图所示，在 △R t ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，若以点 C 为圆心， r 为半径的圆与边 AB 所在直线有公共点，则 r 的取值范围为
．
【分析】如图，作 CH ⊥AB 于 H ．利用勾股定理求出 AB ，再利用面积法求出 CH 即可判 断．
【解答】解：如图，作 CH ⊥AB 于 H ．
在 △R t ABC 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝8，AC ＝6，
∴AB ＝
＝ ＝10，
∵S ＝
•AC •BC ＝ •AB •CH ，
∴CH ＝ ，
∵以点 C 为圆心，r 为半径的圆与边 AB 所在直线有公共点，
ABC △
∴r≥，
故答案为r≥．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（5分）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，
已知菱形的一个角（∠O）为60°，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC的值是．
【分析】如图，连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、C、B共线，再根据sin∠ABC ＝，求出AE、AB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EA，EC，
设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，AE＝a，EB＝2a，
则AB＝a，
∴∠AEC＝90°，
∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，
∴∠ECB＝180°，
∴E、C、B共线，
＝＝．
在△R t AEB中，sin∠ABC＝
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．（5分）已知直线m与半径为10cm的⊙O相切于点P，AB是⊙O的一条弦，且，若AB＝12cm，则直线m与弦AB之间的距离为2cm或18cm．
【分析】分两种情形分别求解，连接OA，OP交AB与E．利用勾股定理求出PE或PF 即可．
【解答】解：连接OA，OP交AB与E．
∵＝，
∴OP⊥AB，AE＝EB＝6cm，
∵直线m是切线，
∴OP⊥m，
∴AB∥m，
在△R t AEO中，OE＝＝＝8（cm），
∴PE＝10﹣8＝2（cm），
同法当弦AB在点O下方时，PF＝10+8＝18（cm），
故答案为2cm或18cm．
【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22.23小
题，每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）计算：﹣3sin60°﹣cos30°+2tan45°．
【分析】化简二次根式，把各特殊角的三角函数值代入进行解答即可．【解答】解：﹣3sin60°﹣cos30°+2tan45°
＝3＝3＝
﹣3×
﹣
+2．
﹣
﹣
+2×1
+2
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
18．（8分）如图，在离铁塔150m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为30°12′，测倾仪高AD为1.52m，求铁塔高BC（精确到0.1m）．
（参考数据：sin30°12′＝0.5030，cos30°12′＝0.8643，tan30°12′＝0.5820）
【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC ＝BE+CE即可得出结论．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，
在△ABE中，
∵tan30°12′＝＝，
∴BE＝150×tan30°12′≈87.30，
∴BC＝BE+CE＝87.30+1.52≈88.8（m）．
答：铁塔的高BC约为88.8m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．（8分）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、
B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：
（1）圆心D的坐标为（﹣2，0）；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．
【分析】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，可知点D的坐标为（﹣2，0）．
（2）连接AC、AD和CD，根据勾股定理的逆定理求出∠CDA＝90°，根据弧长公式和圆的周长求出答案即可．
【解答】解：（1）分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点，就是圆心D，如图，
D 点正好在 x 轴上，D 点的坐标是（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）；
（2）连接 AC 、AD 、CD ，
⊙D 的半径长＝
∵AD +CD ＝20+20＝40，AC ＝40，
∴AD +CD ＝AC ，
∴∠ADC ＝90°．
设圆锥的底面圆的半径长为 r ，
，
则
解得：
，
，
所以该圆锥底面圆的半径长为
．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，垂径定理，圆锥的计算，勾股定理和勾股定理
的逆定理等知识点，能求出 D 点的坐标和求出∠CDA ＝90°是解此题的关键．
20．（8 分）如图，在 10×6 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 、线段
2 2
2
2 2 2
EF 的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以 AB 为边画 △R t ABC ，点 C 在小正方形的格点上，使∠BAC ＝90°，且 tan ∠ACB ＝ ；
（2）在（1）的条件下，在图中画以 EF 为边且面积为 3 的△DEF ，点 D 在小正方形的 格点上，使∠CBD ＝45°，连接 CD ，直接写出线段 CD 的长．
【分析】（1）如图，作∠BAC ＝90°，且边 AC ＝3
，才能满足条件；
（2）作 DE ＝2，连接 DF ，则△DEF 是以 EF 为边且面积为 3 的三角形，连接 BD ，CD ， 则∠CBD ＝45°．
【解答】解：（1）如图，
由勾股定理得：AB ＝
＝2
，
AC ＝
＝3
∴AB +AC ＝（2
，BC ＝
） +（3
）
＝
＝
26，
，
BC ＝（
） ＝26，
∴AB +AC ＝BC ，
∴△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝90°，
tan ∠ACB ＝ ＝
＝ ；
（2）如图，∵S ＝
×2×3＝3，
∵BC ＝ ，CD ＝ ＝ ，BD ＝ ＝ ，
∴BC +CD
＝52，BD ＝52， ∴BC +CD ＝BD
，
∴∠BCD ＝90°，BC ＝CD ， ∴∠CBD ＝45°，
2 2 2 2 2
2
2 2 2
△ DEF 2 2 2 2 2
2
∴CD＝．
【点评】本题是三角形的作图题，考查了等腰直角三角形的性质和判定及勾股定理及其逆定理的运用，并按条件作出三角形；本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，
求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；
（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC
，于是得到结论．
＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）解：连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2，
∴⊙D的半径AD＝2．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（12分）小明家的门框上装有一把防盗门锁（如图1），其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧，和矩形ABCD组成的，的圆心是倒锁按钮点M．已知的弓形高GH＝2cm，AD＝8cm，EP＝11cm．当锁柄PN绕着点N顺时针旋转至NQ位置时，门锁打开，此时直线PQ与所在的圆相切，且PQ∥DN，tan∠NQP＝
2．
（1）求所在圆的半径；
（2）求线段AB的长度．（≈2.236，结果精确到0.1cm）
【分析】连接BM，设HM交BC于K，延长PQ交NM的延长线于点T，若直线PQ与
弧BC所在的圆相切于J，连结MJ．分别求出TN，TM，MN即可解决问
题．【解答】解：（1）如图，连结BM，设HM交BC于点K．
设BM＝r．
222
在△R t BMK中，r＝4+（r﹣2），
解得r＝5，
∴BM＝5，
即所在圆的半径为5cm．
所在的圆相切于点J，连（2）如图，延长PQ交NM的延长线于点T，若直线PQ与
结MJ．
∵DN∥PQ，
∴∠DNE＝∠P．
∵NP＝NQ，
∴∠P＝∠NQP，
∴∠DNE＝∠NQP，
．
∴
∵NE＝DG＝4，
∴DE＝NG＝8，
∴NP＝NE+EP＝4+11＝15．
∵直线PQ与所在的圆相切于点J，
∴MJ⊥PQ，MJ＝5，
∴∠TMJ＝∠P，
∴tan∠TMJ＝tan P＝2，
∴，
∴NT＝15×2＝30，TJ＝5×2＝10，
∴，
∴，
∴（cm）．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，切线的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
23．（12分）如图，△在ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O 的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；
（2）若AC＝2，CE：EB＝1：4，求CE的长．
【分析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB＝90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF＝∠ABD．然后由BA＝BC，证得：∠ABC＝2∠CAF；
（2）首先连接AE，设CE＝x，由勾股定理可得方程：（2【解答】（1）证明：如图，连接BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°．
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝90°，
即∠DAB+∠CAF＝90°．
∴∠CAF＝∠ABD．）＝x+（3x）求得答案．222
∵BA＝BC，∠ADB＝90°，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∴∠ABC＝2∠CAF．
（2）解：如图，连接AE，
∴∠AEB＝90°，
设CE＝x，
∵CE：EB＝1：4，
∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，
在△R t ACE中，AC＝CE+AE，
即（2）＝x +（3x），
∴x＝2．
∴CE＝2．
【点评】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键．
24．（14分）如图，已知直线l：y＝﹣x+8交x轴于点E，点A为x轴上的一个动点（点A
不与点E重合），在直线l上取一点B（点B在x轴上方），使B E＝5AE，连结AB，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCD，连结OB，以OB为直径作⊙P．
（1）当点A在点E左侧时，若点B落在y轴上，则AE的长为2，点D的坐标为（16，8）；
（2）若⊙P与正方形ABCD的边相切于点B，求点B的坐标；
（3）⊙P与直线BE的交点为Q，连结C Q，当CQ平分∠BCD时，BE的长为接写出答案）．（直
222 222
【分析】（1）如图1 中，作DG⊥x轴于G．通过计算证明△AOB，△ADG都是等腰直角三角形即可；
（2）分三种种情形：如图2中，当点A与原点O重合时，⊙P与BC相切于点B，AE＝6，如图4中，当OB⊥AB时，⊙P与AB相切于点B，作BH⊥OA于H．分别求解即可，如图4中，当点E在点A的右侧时，作BH⊥OA于H．利用相似三角形的性质求解即可；（3）如图5，作BG⊥OA于点G，连结OQ．设AE＝m，则BE＝5m，得到BG＝4m，EG＝3m，AG＝2m，求得B（6﹣3m，4m），C（m+6，6m），A（6﹣m，0），得到直线OQ的解析式为，求得，推出C，Q，A 三点共线，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1中，作DG⊥x轴于G．
由题意：E（6，0），B（0，8），
∴OE＝6，OB＝8，
∴BE＝
∵BE＝5AE，
∴AE＝2，
∴OA＝8，
∴OB＝OA＝8，∵AB＝AD＝8＝10，
，∠BAD＝90°，
∴∠BAO＝∠DAG＝45°，
∵DG⊥AG，
∴DG＝AG＝8，
∴OG＝16，
∴D（16，8），
故答案为2，（16，8）；
（2）如图2中，当点A与原点O重合时，⊙P与BC相切于点B，AE＝6，
∵BE＝5AE，
∴BE＝30，可得B（﹣12，24）．
如图3中，当OB⊥AB时，⊙P与AB相切于点B，作BH⊥OA于H．
设AE＝m，则BE＝5m，BH＝4m，EH＝3m，
∴BH＝AH＝4m，
∴∠BAO＝45°，
∵∠OBA＝90°，
∴∠BOA＝45°，
∴点B的横坐标与纵坐标相同，可得B（，），
如图4中，当点E在点A的右侧时，作BH⊥OA于H．
设BE＝5m，AE＝m，则BH＝4m，AEH＝3m，AH＝2m，
∵∠OBA＝∠OHB＝90°，
由△OHB∽△BHA，可得BH＝OH•AH，
∴16m＝（6﹣3m）•2m，
解得m＝，
∴B（，）
综上所述，满足条件的点B的坐标为（﹣12，24）或（
（3）如图5，作BG⊥OA于点G，连结OQ．
，）或（，）；
设AE＝m，则BE＝5m，
∴BG＝4m，EG＝3m，AG＝2m，
∴B（6﹣3m，4m），C（m+6，6m），A（6﹣m，0），
∵OQ⊥直线l，且过圆心O，
∴直线OQ的解析式为∴，
∵CQ平分∠BCD，
，2
2
∴C，Q，A三点共线，∴，
解得∴∴
，，，
故答案为：．
【点评】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形的应用，直线与圆的位置关系，全等
三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。