论与数理统计参考答案

概率统计参考答案（海南大学，潘伟王志刚版本）
第一章 随机事件及其概率
1、解 （1）AUBUC ；（2）ABC ；（3）ABC ABC ABC U U ；（4）()()()AB AC BC U U ；（5）A B C U U ；（6）()()()AB AC BC U U 。

2、解 根据题意，1
13
[0,](1,2],[0,)(,2]2
42
A B ==U U ，则 （1）11311313113
([0,](1,2])([,])([0,][,])((1,2][,])[,](1,]24224242422
AB ===U U U ；
（2）1131313(,1][,][,][0,)(,2]2424242
AB A B ====U U U ； （3）113113(,1]([0,)(,2])[0,)(1,](,2]242422
A B ==U U U U U .
3、解 根据图示：
()()A B C A AB CAB =U U U U ，
所以()()()()0.40.20.10.7p A B C p A p AB p CAB =++=++=U U . 4、解 （1）()()()0.40.250.15,p AB p A p AB =-=-= ()()()0.250.150.1p B A p B p AB -=-=-=；
（2）()1()1()1()()()p AB p AB p A B p A p B p AB =-=-=--+U =1-0.4-0.25+0.15=0.2。

5、解 设A=“恰好排成MATHEMA TICIAN ”，样本空间的样本点数为13!n Ω=，事件A 中的样本点数
为2322
2322A n A A A A =（字母M,A,I,T 各自的重复数相乘），所以48
().13!
p A =
6、解 设A=“三件产品中恰好有一件是次品”，根据产品抽样问题，则12540
3
45
().C C p A C = 7、解 设A=“12名同学的生日都集中在第二季度”，则12
121241().124p A ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
8、解 设A=“第三次才抽到次品”，若A 发生，则意味着前两次都抽到正品，则21
9553100
()A A
p A A =。

9、解 设A=“一人要等另一人半小时以上”。

两人等多长时间与两人到达校门口的时刻有关，设x ，y
分别表示两人到达校门口的时刻，根据题意，有0,60x y ≤≤，所以样本空间为 {(,)|0,60}x y x y Ω=≤≤，
事件{(,)|||30,,}A x y x y x y =->∈Ω，图示如下：
根据几何概型，30301
()=.60604
A p A ⨯=
=Ω⨯的面积的面积
（第9题） （第10题）
10、解 设两游轮到达港口的时刻分别为x 和y ，根据题意，x ，y 满足0<=x,y<=24，即样本空间为
{(,)|0,24}x y x y Ω=≤≤，又设事件A=“两船使用泊位发生冲突”
，则A 发生的充分必要条件为0<|x-y|<6，即A={(,)|0||6}x y x y ≤-≤，将事件和样本空间图示如上，根据几何概型，
242418187
()=.242416
A p A ⨯-⨯=
=Ω⨯的面积的面积
11、解 设取到的两个数分别为x 和y 根据题意，样本空间为{(,)|,[0,1]}x y x y Ω=∈，又设事件A=“两个数的和不大于2/9，两个数的和不大于1”，即A=2
{(,)|,1}9
x y xy x y ≤
+≤,将事件和空间反应在如下图：
由方程组291xy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得12,33
21,33x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，阴影部分的面积由为 2
313
1
212ln 2
()(1)2939
s A x dx x =-
--
=+
⎰
，所以事件A 的概率为s(A)
12 、证明 根据条件概率p(A|B)=p(AB)/p(B)=(p(A)+p(B)-p(AUB))/p(B)=(a+b-p(AUB))/b<=(a+b-1)/b 。

13 、解 设Ai=“选择第i 种交通工具”，B=“迟到”，根据题意有p(A1)=0.3,p(A2)=0.2,p(A3)=0.1,p(A4)=0.5，且p(B|A1)=0.25,p(B|A2)=0.3,p(B|A3)=0.1,p(B|A4)=0，根据全概率公式，有 4
1
()(|)()i
i
i p B p B A p A ==
∑=...。

14、 解 设Ai=“第i 个人抽到难签”，i=1,2,3.
（1）则14();10p A =
（2） 2121146
()(|)()910
p A A p A A p A ==⨯； （3）123312211234
()(|)(|)().8910
p A A A p A A A p A A p A ==⨯⨯
15 、解 设A=“发出*”，B=“收到*”，根据问题：
()0.6,()0.4,(|)0.8,(|)0.2,(|)0.9,(|)0.1p A p A p B A p B A p B A p B A ======
（1）根据全概率公式，收到*的概率为()(|)()(|)()p B p B A p A p B A p A =+=0.6x0.8+0.1x0.4;
（2）当收到*，确实发出*的条件概率为p(A|B)=
()(|)()0.48
()()0.52
p AB p B A p A p B p B ==. 16、解 由于()()()()p A B p A p B p AB =+-U =()()()()p A p B p A p B +-（A ，B 独立）所有有
0.6()0.40.4()p A p A =+-，解得p(A)=1/3。

17、解 因为()()()()()()()()p A B C p A p B p C p AB p AC p BC p ABC =++---+U U =()()()()()()()()()0p A p B p C p A p B p A p C p B p C ++---+）（两两独立） 所以有方程
29
3()3()16
p A p A =-，解此方程得到p （A ）。

18、证明 （1）因为p(A|B)>p(A)，即
()
()()()()()
p AB p A p AB p A p B p B >⇔>， 所以p(B|A)=p(AB)/p(A)>p(A)p(B)/p(B)=p(A)。

（2）因为()()()()
(|)(|)()()1()
p AB p AB p A p AB p A B p A B p B p B p B -=⇒
==-，所以 ()(1())()(()())()()()p AB p B p B p A p AB p AB p A p B -=-⇒=
即A 、B 相互独立。

19、解 设Ai=“第i 人击中飞机”，i=1,2,3；Bi=“飞机中i 弹”，i=1,2,3,；C=“飞机坠落”，根据题意A1,A2,A3相互独立，且p(A1)=0.4,p(A2)=0.5,p(A3)=0.7，且p(C|B1)=0.2,p(C|B2)=0.6,p(C|B3)=1，其中 1123123123()()()()()()p B p A A A p A A A p A p A p A =++
=()123123123()()()()()()()()p A p A p A p A p A p A p A p A p A ++；(A1,A2,A3独立) 2123123123()()()()p B p A A A p A A A p A A A =++（同上展开计算）； 3123123()()()()()p B p A A A p A p A p A ==；
所以飞机追回的概率为p(C)112233(|)()(|)()(|)()p C B p B p C B p B p C B p B =++=...。

20、解 设Ai=“第i 人破译密码”，i=1,2,3，根据实验，p(A1)=0.25,p(A2)=0.35,p(A3)=0.4，且A1，A2，
A3相互独立。

又设B=“密码被破译”，则
123123123()()1()1()()()p B p A A A p A A A p A p A p A ==-=-U U =...。

21、解 设B=“独立三次实验A 至少出现一次”，根据伯努利概型，有
00
333191()1()1(1)1(1).273
p B p B C p p p p ==-=--=--⇒= 22、解 设A=“灯泡在1000小时内坏掉”，根据题意，p(A)=0.8，B=“三个灯泡1000小时内最多有一个坏掉”，根据伯努利概型，有
003112
33()0.80.20.80.2p B C C =+。

23、解 设Ai=“从第i 箱中取球”，i=1,2；Bi=“第i 次取到一等品”，i=1,2，根据题意，有
P(A1)=p(A2)=1/2，22
10181112121122225030
13
(|),(|),(|),(|),55C C p B A p B A p B B A p B B A C C ====
212213
(|),(|)55
p B A p B A =
= （1） 第一次取出一等品的概率为1111122()(|)()(|)();p B p B A p A p B A p A =+=...。

（2） 已知第一次取出一等品的情况下，第二次取出一等品的条件概率为 12121112222111()(|)()(|)()
(|)()()
p B B p B B A p A p B B A p A p B B p B p B +=
= =...。

第二章 随机变量
1、解 根据题意，X 可能取值为0,1,2,3，且k
3k
k k 3
33C 11p{X k}C ,k 0,1,2,3222
-⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭。

2、解
，X 的概率分布律为
X 的分布函数为0,x 11
,1x 26
F(x)2,2x 33
1,x 3<-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩
3、解 根据分布函数的定义，有213
P{1X 2}F(2)F(1)144
<≤=-=-=。

4、解 因为F(x)为X 的分布函数，则F(x)一定右连续，有F()F(
0)22
ππ
=+，即A=1。

p{|X |}p{X }p{X }F()F()6666666πππππππ<=-<<=-<≤=--=11
0.22
-=
5、解 （1）由概率分布律的规范性有1232221812827
a()a()a()1a[]1a 3332738
++++=⇒=⇒=。

（2）同理，根据规范性，有122
221
3a()a()a 1a 233213
++==⇒=-L 。

6、解 因为F(x)是连续随机变量X 的分布函数，则F(x)连续，所以 F(0)b F(00)0;==-= 1F()k F(00)1k .π=π=+=⇒=π
7、根据密度函数的规范性，有2k 11f (x)dx dx k arctan x |k k .1x +∞
+∞
+∞
-∞-∞-∞=
===π⇒=+π
⎰⎰
所以111
12111dx 11p{1X 1}f (x)dx arctan |1x 2
----<<====π+π⎰⎰。

8、设X 的分布函数为F(x)，则x
F(x)f (t)dt,x R -∞
=∈⎰
当x<0时，F(x)x
0dt 0;-∞
=
=⎰
当0x 1≤<时，2
x
0x
x F(x)f (t)dt 0dt tdt ;2
-∞-==+=⎰⎰⎰
当1x 2≤<时，x
1
x 0
1
F(x)f (t)dt 0dt tdt (2t)dt -∞
-∞
=
=++-⎰
⎰⎰⎰211
0[1(2x)]22
=+
+--； 当x>=2时，F(x)=1，综上所述，分布函数为
2
20,x 0x ,0x 12
F(x)11(2x),1x 221,x 2<⎧⎪⎪<=<⎪=⎨⎪--<=<⎪⎪>=⎩
9、解 假设至少扔n 次硬币，才能满足条件：
n
k k n k n k 111C ()()
0.9922-=>=∑，即 0
n n n
11
111C ()0.99()n 722
2100⎛⎫-≥⇒≤⇒≥ ⎪⎝⎭
10、解 根据题意，X ~p()λ，且01P{X 0}p{X 1}e e 10!1!
-λ-λ
λλ===⇔=⇒λ= 则一分钟之内至少有一辆车通过的概率p=k 0111k 21112
e 1e e 1.k!
0!1!e ∞
-λ--==--=-∑
11、解 根据试验，X 服从参数为n=5000，p=0.001的二项分布，其分布规律为
k k 5000k
5000p{X k}C 0.0010.999
,k 0,1,2,...,5000-===
至少有两次命中目标的概率p=
5000
005000114999
50005000k 2
p{X k}1C
0.0010.999C 0.0010.999
===--∑。

12、解 （1）根据密度函数的规范性，有1=
x x 00
f (x)dx 2Ae dx 2Ae |2A +∞
+∞
--+∞
-∞
==-=⎰
⎰，所以A=1/2..
（2）设X 的分布函数为F(x)，则x
F(x)f (t)dt -∞==⎰|t|
x
e dt 2
--∞⎰. 当x<0时，有|t|t
t x
x
x x e e e e F(x)dt dt |;2222
--∞-∞-∞====⎰⎰ 当x>=0时，有
|t||t|x
x |t|
0e e dt F(x)e
/2dt dt 22----∞
-∞==+⎰⎰⎰t t
t x
0x x 00e dt e 1e e dt |122222
----∞=+=-=-⎰⎰
综上所述，分布函数为
x
x
e ,x 02
F(x)e 1,x 02
-⎧<⎪⎪=⎨⎪->=⎪⎩
（3）10e e 11
p{0X 1}F(1)F(0)1(1)2222e
--<<=-=---=-。

13、因为f(x)满足（1）f(x)>=0,； （2）
22
x x
2c
2c 00
x f (x)dx e dx e | 1.c
--+∞
+∞
+∞-∞
==-=⎰
⎰
所以f(x)是某个随机变量X 的密度函数。

14、（1）设X 的分布函数为F(x)，则x
F(x)f (t)dt -∞
=⎰。

当x<0时，有x
F(x)0dt 0,-∞
=
=⎰
当0<=x 时，有x
x
30
20000F(x)f (t)dt 0dt dt (t 100)-∞
-∞
==++⎰⎰⎰
x 0
22
2000020000
|12(t 100)2(x 100)=-=-++ 所以，分布函数为20,x 0
F(x)20000
1,x 02(x 100)<⎧⎪
=⎨->=⎪+⎩
（2）2
200008
p{X 200}1p{X 200}1F(200)12(200100)9
≥=-<=-=-
=+。

15、解 （1）根据密度函数的规范性，有3x
3x 00
k k 1f (x)dx ke dx e |33
+∞
+∞--+∞-∞===-=⎰⎰， 所以k=3.
（2）寿命小于1的概率为P{X<1}=
1
3x 3x 13
00
3e dx e |1e ---=-=-⎰
.
16、解 （1）因为X 服从N(0,1)，所哟 p{X 1.96}(1.96)0.975≤=Φ=；
p{X 1.96}( 1.96)1(1.96)10.9750.025≤-=Φ-=-Φ=-=；
p{|X | 1.96}2(1.96)120.97510.95;<=Φ-=⨯-=
p{1X 2}(2)(1)(2)(1(1))0.97710.84131-<≤=Φ-Φ-=Φ--Φ=+-； （2）若P{X a}0.7019≤=，即(a)0.7019Φ=，查正态分布函数表，得a=0.53； 若p{|X|<b}=0.9242,有2(b)10.9242(b)0.9621Φ-=⇒Φ=，查表得b=1.78； 若p{X<C}=0.2918，即(c)0.2918Φ=，此概率小于0.5，由正态分布性质，
c<0，则有1(c)0.2918(c)10.29180.7082-Φ-=⇒Φ-=-=，查表得-c=0.53，所以c=-0.53.
17、解 （1）1087.58
p{7.5X 10}F(10)F(7.5)(
)()0.50.5
--≤≤=-=Φ-Φ =(4)(1)(4)(1)10.8413Φ-Φ-=Φ+Φ-=； （2）9878
p{|X 8|1}p{7X 9}F(9)F(7)()()0.50.5
---≤=<=<==-=Φ-Φ =(2)(2)2(2)120.97721Φ-Φ-=Φ-=⨯-； （3）9.588.58p{|X 9|0.5}p{8.5X 9.5}()()0.50.5
---<=<<=Φ-Φ =(3)(1)0.99870.8413Φ-Φ=-；
18、解 X 服从参数为1的泊松分布，其分布律为k 1
1p{X k}e ,k 0,1,2,...k!
-===。

根据题意，随机变量Y
的取值为0和1，且其分布律为：
p{Y 0}p{X 1}p{X 0}p{X 1}==≤==+=0111112
e e 0!1!e
--=+=；
2
p{Y 1}1e
==-
19、解 设A=“观察值不大于0.5”，则0.5
0.5
p(A)f (x)dx 2xdx 0.25-∞
===⎰
⎰
根据题意，X~B(3,0.25).
所以管擦三次至少两次观察值不大于0.5的概率为3
k
k 3k 3
k 2
p{X 2}C
0.250.75-=>==
∑。

20、解 设A1=“电压处于X<=200”，A2=“电压处于200<X<=240”；A3=“电压X>240”。

B=“电子元件损坏”。

根据题意1200220
p(A )p{X 200}F(200)()(0.8)1(0.8)25
-=≤==Φ=Φ-=-Φ=1-0.7881;
2240220200220p(A )p{200X 240}F(240)F(200)2(0.8)12525--⎛⎫⎛⎫
=<<==-=Φ-Φ=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;
3p(A )p{X 240}1F(240)1(0.8)=>=-=-Φ；且根据题意，有
P(B|A1)=0.1，P(B|A2)=0.01，P(B|A3)=0.2，根据全概率公式，有 3
i
i
i 1
p(B)p(B |A )p(A )==
∑=...。

21、解 根据题意，Y 取值为-1,20,-5,其概率分布律为
1211
p{Y 5}p{X 12}1F(12)1()1(1)10.84131
-=-=>=-=-Φ=-Φ=-；
1011
p{Y 1}p{X 10}F(10)()1(1)10.84131-=-=<==Φ=-Φ=-；
p{Y 20}1(10.8413)(10.8413)==----。

22、解 因为X 可取-3，-2，-1,0,1,2,3,4,则2
Y X =可取的值为9,4,1,0,1,4,9,16，且概率分布律为 Y 0 1 4 9 16 P 0.15 0.3 0.3 0.2 0.05
23、解 根据题意，X 分概率密度函数为1,x f (x)220,π
π⎧-≤≤
⎪=π⎨⎪⎩其余
，设随机变量Y 的分布函数为
F(y)p{Y y}p{sin X y},y R =<==<=∈。

当y<-1时，F(y)p{sin X y}p()0;=<==φ=
当-1<=y<1时，arcsin y
F(y)p{sin X y}p{X arcsin y}f (x)dx -∞
=<==<==
⎰
=
arcsin y 22
arcsin y 1
20dx dx π
-π-∞
-
π-
+=π
π
⎰
⎰。

当y>=1时，F(y)p{sin X y}p()1=<==Ω=。

所以随机变量Y
的密度函数为Y 1y 1f (y)0,-<<=⎩其余。

24、 解 因为X 服从参数为2的指数分布，其密度函数为2x 2e ,x 0
f (x)0,x 0-⎧>=⎨<=⎩
，又设Y 的分布函数为
2X
2X F(y)p{Y y}p{1e y}p{e 1y}--=<==-<==>=-
（1）若y>=1，则2X
F(y)p{e 1y}p()1;-=>=-=Ω=
（2）当y<1时，有
ln(1y)2X
21
F(y)p{e
1y}p{2X ln(1y)}p{X ln(1y)}f (x)dx 2
---∞=>=-=->=-=<=-=⎰
=
1
ln(1y)2x 20
2e dx --⎰
所以随机变量Y 的密度函数为
'
1ln(1y)2x ln(1y)
20Y y
12e dx 2e 1,y 1f (y)2(1y)0,y 1
----⎧⎧⎛⎫-⎪⎪==<⎪⎨ ⎪
=-⎨⎪⎝⎭⎩⎪>=⎪⎩⎰。

25、解 因为X
的概率密度为221
(x )2f (x),x R --μσ=∈，设Y 的分布函数为
X
F(y)P{Y y}p{e y},y R =<==<=∈
（1）当y<=0时，X
F(y)p{e y}p()0;=<==Φ= （2）当y>0时，ln y
X F(y)p{e y}p{X ln y}f (x)dx -∞
=<==<==⎰
；
所以随机变量Y 的密度函数为
2222'11
(x )(ln y )ln y Y 22y 0,y 0f (y)e dx ,y 0--μ--μσσ
-∞<=⎧⎪⎪⎛⎫==>⎪⎪⎭⎰。

习题三参考答案
1、解 关于X 的边缘分布函数为X y F (x)lim F(x,y)→+∞=y x y (x y)x y lim 00,x 0lim(1e e e )1e ,x 0→∞
---+-→∞
=≤⎧⎪=⎨--+=->⎪⎩，即 x X 1e ,x 0F (x)0,x 0-⎧->=⎨≤⎩，同理，关于Y 的边缘分布函数为y Y 1e ,y 0F (y)0,y 0-⎧->=⎨≤⎩。

2、解 根据题意，X 1,X 2的取值分别为0,1,2，且根据古典概型，有
1122121222112121222121221212212C 2211p{X 0,X 0},p{X 0,X 1},
4444
C 2111p{X 0,X 2},p{X 1,X 0},
416442!1
p{X 1,X 1},p{X 1,X 2}0,4811
p{X 2,X 0},p{X 2,X 1}0,
416
p{X 2,X 2}0
=================================
所以（X1，X2）的联合分布律为
3、解 根据题意，有111p(AB)1/81p(AB)p(B |A)p(A);p(B);248p(A |B)1/24
==
⨯==== 11113
p(AB)p(A)p(AB);p(A)1p(A)1;48844=-=
-==-=-= 111
p(AB)p(B)p(AB);488
=-=-=
115
p(AB)p(B)p(AB)1p(B)p(AB)1.488
=-=--=--=所以（X,Y ）的概率分布律为
51
p{X 0,Y 0}p(AB);p{X 0,Y 1}p(AB);88========
1p{X 1,Y 0}p(AB);8====1
p{X 1,Y 1}p(AB).8
====
3
p{X Y}p{X 0,Y 0}p{X 1,Y 1}.4
====+===
4、解 根据题意，X 可能取值为1,2,3,4，Y 可能取值为1~X ，且有 P{X=k}=1/4,k=1,2,3,4，
P{Y=1|X=1}=1;p{Y=k|X=1}=0,k=2,3,4;
p{Y=k|X=2}=1/2,k=1,2,p{Y=k|X=2}=0,k=3,4; P{Y=k|X=3}=1/3,k=1,2,3,p{Y=4|X=3}=0;
P{Y=k|X=4}=1/4,k=1,2,3,4;所以（X ，Y ）的联合分布律为
关于X 的边缘分布律为p{X=k}=1/4,k=1,2,3,4; 关于Y 的边缘分布律为
5、解 （1）1
3
1
3
2
6x y
p{X 1,Y 3}dx f (x,y)dy dx dy 8
-∞
-∞
--<<=
=⎰
⎰⎰⎰
=21
1322
200(6x y)1|dx [(3x)(4x)]dx 1616--=-----⎰⎰=33101(3x)(4x)3[].1638
---= （2）2422233
2
6x y p{X }dx f (x,y)dy dx dy 38+∞+∞-∞--≥==⎰⎰⎰⎰=5/32.
（3）2
4
4x 6x y
p{X Y 4}dx dy 8
---+>=
⎰
⎰
=1/3。

6、解 如右上图所示，关于X 的边缘密度函数为
1
21
3
X x
x
f (x)f (x,y)dy 8xydy 4xy |4x 4x ,0x 1+∞
-∞====-<<⎰⎰ ，即3
X 4x 4x ,0x 1
f (x)0,⎧-<<⎪=⎨⎪⎩
其余。

关于Y 的边缘密度函数为
y
2y
3
Y 0
f (y)f (x,y)dx 8xydx 4yx |4y ,0y 1+∞
-∞====<<⎰⎰ ，即3
Y 4y ,0y 1
f (y)0,⎧<<⎪=⎨⎪⎩
其余
12、解 （1）放回抽样
222
10251025
p{X 0,Y 0},p{X 0,Y 1},12361236
⨯======== 4
222
210521
p{X 1,Y 0},p{X 1,Y 1}12361236
⨯========. 关于X 的边缘分布律为P{X=0}=30/36,p{X=1}=6/36;
关于Y 的边缘分布律为p{Y=0}=30/36,p{Y=1}=6/36.
显然p{X=0,Y=0}=p{X=0}p{Y=0},p{X=0,Y=1}=p{X=0}p{Y=1}, p{X=1,Y=0}=p{X=1}p{Y=0},p{X=1,Y=1}=p{X=1}p{Y=1} 即X 与Y 相互独立。

（2）不放回抽样 10990p{X 0,Y 0}1211132⨯===
=⨯，20202
p{X 0,Y 1},p{X 1,Y 0},p{X 1,Y 1}132132132
=========
关于X 的边缘分布律为p{X=0}=110/132,p{X=1}=22/132;
关于Y 的边缘分布律为p{Y=0}=110/132,p{Y=1}=22/132；
显然p{X 0,Y 0}p{X 0}p{Y 0}==≠==，即X 与Y 不相互独立。

13、解 （X,Y ）的联合分布律为
14、解 关于X 的边缘密度函数为
22
2
2
22X 00xy xy 2f (x)f (x,y)dy (x )dy (x y )2x x,0x 1,363
+∞
-∞==+=+=+≤≤⎰⎰
同理关于Y 的边缘密度函数为
321
2
1Y 00xy x x y 1y
f (y)f (x,y)dx (x )dx (),0y 233636
+∞
-∞==+=+=+≤≤⎰⎰，
很显然，当0<x<1,0<y<2时,X Y f (x,y)f (x)f (y)≠，即X 与Y 不相互独立。

15、因为f(x,y)为密度函数，根据规范性，有 1=
11
20
c
f (x,y)dxdy dx cxy dy 6
+∞+∞
-∞
-∞
==
⎰⎰
⎰⎰，即c=6. 关于X 的边缘分密度函数为 1
2X 0
f (x)f (x,y)dy 6xy dy 2x,0x 1+∞
-∞
=
==<<⎰⎰
关于Y 的边缘密度函数为 1
22Y 0
f (y)f (x,y)dx 6xy dx 3y ,0y 1+∞-∞
=
==<<⎰
⎰
显然有X Y f (x,y)f (x)f (y)=（对一切x,y ），所以X 与Y 相互独立。

习题四 参考答案
1、解 X 表示抽到红球的个数，则X 可以取值0,1,2.则X 的分布律为
3335C 1p{X 0}C 10===，1221
23
233
5C C C C 63p{X 1},p{X 2}C 101010
======，所以
16312E(X)01210101010
=⨯
+⨯+⨯=。

2、解 X 表示取到合格品之前扔掉的废品数，则X=0,1,2,3，其分布律为
93993299
p{X 0},p{X 1},p{X 2}12121144121110220⨯⨯⨯==
======
⨯⨯⨯，32191
p{X 3}1211109220⨯⨯⨯===
⨯⨯⨯，所以 E(X)=9991
01231244220220
⨯+⨯+⨯+⨯
. 3、解 设Ai=“第i 台设备需要维护”，i=1,2,3，X 表示同时需要维护的设备台数，则X=0,1,2,3，其分布律为p{X=0}=123123p(A A A )p(A )p(A )p(A )0.90.80.7==⨯⨯=p0; P{X=1}=123123123p(A A A )p(A A A )p(A A A )++
=123123123p(A )p(A )p(A )p(A )p(A )p(A )p(A )p(A )p(A )++ =0.1*0.8*0.7+0.9*0.2*0.7+0.9*0.8*0.3=p1;
P{X=3}=p(A1A2A3)=p(A1)p(A2)p(A3)=0.1*0.2*0.3=p3; P{X=2}=1-p{X=0}-p{X=1}-p{X=3}=p2。

所以E(X)=0*p1+1*p1+2*p2+3*p3.
4、解 E(X)0.1*12*0.13*0.24*0.35*0.26*0.1=+++++=0.37(%)，所以E(10X)=0.037(万元)。

5、解 （1）根据规范性，有1=
222
1a
a 10
1
1(2x)1(2a)1(a 2)f (x)dx xdx (2x)dx |1222222
+∞
-∞
---=+-=-=-+=+⎰
⎰⎰
，所以a=2。

（2）1
2
20
1
E(X)xf (x)dx x dx x(2x)dx +∞
-∞
=
=+-⎰
⎰⎰=1
6、解 （1）由规范性，有1=0.4+0.2+c c=0.4； （2）E(X)(1)*0.40*0.21*0.40;=-++= （3）2
2
2
2
E(X )(1)*0.40*0.21*0.40.8;=-++= 7、解 X 的密度函数为1
f (x),1x 23
=
-<<，所以 0
00E(Y)1*f (x)dx 0f (x)dx (1)f (x)dx +∞
-∞=++-⎰⎰⎰0
2101
1dx 0dx 33
--=++⎰⎰=1/3.
8、解 20113x 3
E()f (x)dx dx .X x 84
+∞-∞===⎰⎰ 9、解 根据题意，X 的密度函数为f (x)2x,0x 1=<<，所以 1
2
20
11
E(3X 4)(3x 4)2xdx .2
+=
+=
⎰
g 10、解 （1）E(X)1*0.42*0.23*0.42;=++=
（2）33
i
j ij
i 1j 1
E(XY)x y p
1*(1)*0.23*1*0.10.2.===
=-++=∑∑L
11、解 E(X)1*0.252*0.53*0.252;=++=E(Y)0*0.51*0.50.5;=+= 111 1.75
E(
)1*0.25*0.5*0.25X 233
=++=。

根据X ，Y 的独立性，有E(XY)E(X)*E(Y)1;==Y 10.875
E()E()E(Y).X X 3
== 12、解 122
00xy 13E(X)xf (x,y)dxdy dx x(x )dy ;318+∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰
12200xy 43
E(XY)xyf (x,y)dxdy dx xy(x )dy ;354+∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰
12222200xy 17
E(X )x f (x,y)dxdy dx x (x )dy ;330
+∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰
13、解 11224
0032E(XY)E(X)E(Y)4x (1x )dx 4y dy .75==-=⎰⎰
14、解 13
E(X Y)E(X)E(Y)1.22
+=+=+=
15、解 （略）
16、解 E(X)(1)*0.40*0.31*0.30.1;=-++=- 2
2
2
2
E(X )(1)*0.40*0.41*0.30.7;=-++= 所以，2
2
D(X)E(X )E (X)0.69.=-=
17、解 E(X)(1)*0.250*0.51*0.250;=-++= E(Y)0*0.51*0.50.5;=+=
E(XY)(1)*0*0.25(1)*1*00*0*00*1*0.51*0*0.251*1*0=-+-++++=0；
所以Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0-0*0.5=0。

即X ，Y 不相关。

18、解 如图所示，
E(X)=21x
x
xf (x,y)dxdy dx 6xdy +∞+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
⎰⎰=1/2; E(Y)=
21x
x
yf (x,y)dxdy dx 6ydy +∞+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
⎰⎰=2/5;
E(XY)=
21
x
x
xyf (x,y)dxdy dx 6xydy +∞
+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
⎰⎰=1/4.所以Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/20.
关于X 的边缘密度函数为2x
2X x
f (x)f (x,y)dy 6dy 6(x x ),0x 1;+∞
-∞
===-<<⎰
⎰
关于Y 的边缘密度函数为
Y y
f (y)f (x,y)dx y),0y 1+∞-∞
===<<⎰；
显然存在0<x<1,0<y<1，使得X Y f (x,y)f (x)f (y)≠，即X ，Y 不相互独立。

19、解 22
00x(x y)7
E(X)xf (x,y)dxdy dx dy ;86
+∞
+∞
-∞-∞+=
==⎰⎰⎰⎰
2200y(x y)7
E(Y)yf (x,y)dxdy dx dy ;86
+∞+∞-∞-∞+===⎰⎰⎰⎰
222
2
2
x (x y)5
E(X )x f (x,y)dxdy dx dy ;83+∞
+∞
-∞
-∞
+===⎰⎰⎰⎰
222
2
2
y (x y)5
E(Y )y f (x,y)dxdy dx dy ;83
+∞+∞
-∞-∞
+===⎰
⎰
⎰⎰
2
2
xy(x y)4
E(XY)xyf (x,y)dxdy dx dy ;83
+∞
+∞
-∞
-∞
+===⎰
⎰
⎰⎰
所以XY 1
;11
ρ=
=-
XY 5
D(X Y)D(X)D(Y).9
+=++=
20、解 2
2
2
2
2
2
2
D(XY)E(XY)E (X)E (Y)E(X Y )E (X)E (Y)=-=-
2
2
2
2
2
2
2
2
E(X )E(Y )E (X)E (Y)(D(X)E (X))(D(Y)E (Y))E (X)E (Y)11.=-=++-= 21、解
XY D(X Y)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)D(X)D(Y)71;+=++=++=
XY D(X Y)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)D(X)D(Y)51;-=+-=+-= 22、解 （1）E(X Y Z)E(X)E(Y)E(Z)3;++=++=- （2）D(X Y Z)D(X Y)D(Z)2Cov(X Y,Z)++=++++
=D(X)D(Y)2Cov(X,Y)D(Z)2Cov(X,Z)2Cov(Y,Z)+++++
=XY XZ ZY D(X)D(Z)D(Z)+++++ =3.
23、解 因为X ，Y~2
N(,)μσ，所以2
D(X)D(Y)==σ，由于X ，Y 相互独立，则有
12
22222222Z Z ρ==
222222=22222222
22222222D(X)D(Y)D(X)D(Y)α-βασ-βσα-β==α+βασ+βσα+β。