湖南省衡阳市衡阳县第四中学-高二数学12月学科联赛试题 理

湖南省衡阳市衡阳县第四中学2015-2015学年高二数学12月学科联赛
试题理
一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．）
1．在中，若，则最大角的余弦是（）
A． B． C． D．
2．数列{3n2－28n}中，各项中最小的项是( )
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
3．在中， (，，分别为角,,的对边)，则的形状
为 ( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
4．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40等于( )
A．40 B．70 C．80 D．90
6．如图目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OAPB(含边界)，若P(2,2)是该目标函数z＝ax －y的唯一最优解，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，－1) B
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
1,
2
1
.
C
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-
-
2
1
,1
D（-1，2
1
-
.）
7．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为( )
A ．1
B ．0
C ．1或0
D ．1或3
9．已知函数f(x)＝4－x2，g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x ，则函数y ＝f(x)·g(x)的大致图象为__________．
A ①
B ②
C ③
D ④
10. 已知集合{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ,
{(,)|,B x y x m ==2
312,y m =+ m ∈Z }.若存在实数,a b 使得A B ≠∅成立,称点(,)a b 为“￡”点，则“￡”点在平面区
域
22
{(,)|108}C x y x y =+≤内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)
11、直线
1
2y x b =
+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ．
12、 已知1,1x y >>,且11
ln ,,ln 44x y
成等比数列，则xy 的最小值是
．
13．设F1，F2是双曲线C ：x2a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF1|＋|PF2|
＝6a ，且△PF1F2的最小内角为30°，则C 的离心率为________． 14．已知△ABC 为等腰直角三角形，2,
AB =2C π
=
，点,E F 为AB 边的三等分点，则
CE CF ⋅= ▲ ．
15、已知函数22
21 0 () 0,ax x x f x x bx c x ⎧--≥⎪=⎨++<⎪⎩，，，是偶函数，直线
y t =与函数()y f x =的图像自左向右依次交于四个不同点,,,A B C D ．若AB BC =，则实数t 的值为 ▲ ．
三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16 (12分)命题p ：关于x 的不等式x2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，
命题q ：函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围. 17.在中，，，分别为角,
,
的对边，且满足
.
(1)求角的大小； (2)若
，
，求
的面积．
18如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；
(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值
19、已知等差数列{}n a 的公差为1-, 且27126a a a ++=-,
（1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；
（2）将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项,
记
{}n b 的前n 项和为n T , 若存在*N m ∈, 使对任意n N *∈总有n m S T λ<+恒成立, 求实数
λ的取值范围.
20. (本小题满分13分）
某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成,每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件,现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件.设加工A 型零件的工
人数为x 名
*
()x N ∈. (Ⅰ)设完成A
B 、型零件加工所需的时间分别为()()f x g x 、小时,写出()f x 与()g x 的解析式;
(Ⅱ)当x 取何值时,完成全部生产任务的时间最短?
21．（本小题满分13分）已知椭圆)0(1222
2>>=+b a b y a x 的离心率为36，且过点)1,2(.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点C （-1，0）且斜率为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点B A ,，试问在x 轴上是否存在点M ，使
2
5
3k 1MA MB +
+是与k 无关的常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，
请说明理由.
参考答案
17解：(1)由正弦定理得
a ＝2RsinA ，
b ＝2RsinB ，
c ＝2RsinC ， 代入(2a －c)cosB ＝bcosC ，
整理，得2sinAcosB ＝sinBcosC ＋sinCcosB ， 即2sinAcosB ＝sin(B ＋C)＝sinA. 又sinA>0，∴2cosB ＝1，
由B ∈(0，π)，得B ＝3π
(2)由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2ac·cosB ＝(a ＋c)2－2ac －2accosB.
将b ＝，a ＋c ＝4，B ＝3π
代入整理，得ac ＝3.
∴△ABC 的面积为S ＝21acsinB ＝23sin60°＝43
.
18、解：(1)AB 是圆的直径，因此AC BC ⊥,又⊥PA 面ACB ,所以BC PA ⊥. 又A AC PA =⋂,所以⊥BC 面PAC ，又BC 在面PBC 内，所以面⊥PBC 面PAC 。

（2）法一：过点C 作CD ⊥AB,则⊥CD 面PAB ,连接,PD 则PCB ∆在面PAB 上的射影图形是PDB ∆.设二面角A PB C --为θ，
2,2
3
,3,2,1==
=∴===PC BD AB AB AC PA 则
4623211
2321cos =
⨯⨯⨯⨯==
∆∆PCD
PDB S s θ.
所以所求的二面角的余弦值为46。

法三：坐标法略 19、 解：(1) 由
27126a a a ++=-得72a =-，所以14a = ----------------------4分
∴ 5n a n =-， 从而
(9)2n n n S -=
----------------------------------6分
(2)由题意知
1234,2,1b b b === ---------------------------------------------8分
设等比数列
{}n b 的公比为q ，则
2112b q b =
=
，
∴141()1281()1212m m m T ⎡
⎤-⎢⎥
⎡
⎤⎣⎦==-⎢⎥
⎣⎦-
1()2m 随m 递减， ∴{}m T 为递增数列，得48m T ≤<------------------------------------------------10
分
又
22(9)11981(9)()22224n n n S n n n -⎡⎤
=
=--=---⎢⎥⎣⎦，
故
max 45()10
n S S S ===，
--------------------------------------------------------11分 若存在*
N m ∈, 使对任意n N *
∈总有
n m S T λ<+
则108λ≤+，得2λ≥-----------------------------------------------------------13分
所以**90
,(,132)()50,(,3349)50x N x x
h x x N x x ⎧∈≤≤⎪⎪=⎨
⎪∈≤≤⎪-⎩……………………………………………7分
21解： （1
）∵椭圆离心率为
，
22c b 1
a 3a ∴=∴=.……………………1分 又
椭圆过点（1），代入椭圆方程，得2
221
1a b +=.……………………2分 所以
225
a 5,
b 3==
.……………………………………………………………………4分 ∴椭圆方程为22155
3x y +=，即22x 3y 5+=. …………………………………………5分
（2）在x 轴上存在点M 1(,0)6，使
2
5MA MB 3k 1⋅++是与K 无关的常数. ……6分 证明：假设在x 轴上存在点M （m,0）,使
25
MA MB 3k 1⋅+
+是与k 无关的常数，
∵直线L 过点C （-1，0）且斜率为K,∴L 方程为y k(x 1)=+，
由⎩⎨⎧+==+),1(,5322x k y y x 得
0536)13(2222=-+++k x k x k .………………7分 设
),(),,(2211y x B y x A ，则135
3,1362
2212221+-=⋅+-=+k k x x k k x x ……………8分 ∵1122MA (x m,y ),MB (x m,y ),=-=- ∴
12112255
MA MB (x m)(x m)y y 3k 1
3k 1⋅+
=--++
++ ……………………9分
2121222212212122
2
222
22222
2222225(x m)(x m)k (x 1)(x 1)3k 1
5
(1k )x x (k m)(x x )m k 3k 1
3k 56k 5(1k )(k m)m k 3k 13k 13k 1k 6mk 3m k m 3k 1=--++++
+=++-++++
+--=++-++++++-+++=
+
…………………………………………………………………………………………10分 设常数为t ，则22222
2
k 6mk 3m k m t 3k 1-+++=+. ……………………………………11分
整理得222
(3m 6m 13t)k m t 0+--+-=对任意的k 恒成立，
2
2
3m 6m 13t 0,m t 0.⎧+--=⎪∴⎨-=⎪⎩解得
1m 6=
，……………………………………………………12分 即在x 轴上存在点M （1,06）， 使
2
5
MA MB 3k 1⋅++是与K 无关的常数. ……………13分。