基于直线插补思想实现经济型CNC系统C刀补的算法研究-文献综述

基于直线插补思想实现经济型CNC系统C刀补的算法研究（三）（先进数控技术江苏高校重点建设实验室（南京工程学院），江苏南京 210013）摘要：为在经济型CNC系统中全面实现C功能刀补，提出一种简单有效的刀补建立和撤消方法，并对现行C刀补建立和撤消过程中的刀具中心轨迹加以修正，以解决刀具与工件轮廓之间的干涉问题。

关键词：C刀补建立与撤消直线插补类型判别转接点计算
Arithmetic Study About Realizing C-cutter Radius Compensation in Economical CNC System Basing on Linear Interpolation
Hua Mao-fa cao jin-jiang
(Jiangsu province college key laboratory of Advanced Numerical control Technology (Nanjing Institute of Technology), Nanjing, 210013)
Abstract: In order to realize comprehensively C-function cutter radius compensation in economical CNC system, the author puts forward a kind of simple and effective method of establishing and cancelling cutter radius compensation, and modifies the present cutter center path of establishing and canceling C—function cutter radius compensation so as to solve the problem of the interference between the cutter and work-piece .
Keywords:C-cutter radius compensation；Establishment and cancellation；
Linear interpolation；Type differentiation；Connecting point calculation 0.前言
刀具半径补偿分为刀补建立、进行和撤消三步。

在文献[1]和[2]中已经讨论了C功能刀补在经济型CNC系统中的进行问题。

本文将继续引用直线插补思想，将刀补计算中的三角函数及开平方等运算转化为简单的加、减运算，为不具备复杂函数运算功能的用单片机开发的经济型CNC系统提供一种建立和撤消C刀补的简单算法。

同时，就目前C刀补建立与撤消方法中存在的刀具与工件轮廓有时会发生干涉（图1中AA'，CC'小于刀具半径r）的问题，对刀补建立过程中的第一转接点和撤消过程中的最后一转接点进行修正。

为方便起见，本文以G42为例，首先介绍刀具半径矢量的刀偏分量算法，然后再分别讨论刀补的建立和撤消过程中刀具中心轨迹上转接点的算法。

1.刀具半径矢量的刀偏分量算法
刀具半径矢量与编程线段的关系有两种：①与直线段垂直；②与圆弧段各点法线方向一致。

据此关系，利用直线插补思想，沿直线或与圆弧段始、终点的法线方向进行插补计算，求刀具半径矢量r 的刀偏分量（r X ，r Y ）。

直线段刀具半径矢量的刀偏分量的算法如图2a 所示，在直线OE 上取
||OD OD r '== (r 为刀具半径)，设直线OE 的方程为0uy vx -=，直线插补的偏差判别函数ij i i F uy vx =-，则插补r 段直线的递推关系为
11001,,10,001,01,0,0,0
i i
j j ij x x i j ij ij y y i j ij x y F r r F F v
F r r F F u r r F ++++⎧≥=+=-⎪⎪
<=+=+⎨⎪===⎪⎩时，时， （1） 当222i j x y r r r +=时，到达插补终点。

因此，设置终点判别函数
222()i j ij x y G r r r =-+。

同样可得终点判别函数G 的递推关系为
11,1,120,01,211,21i x x i i j j j x i j ij y y i j ij y r r G G r r r G G r G r
++++⎧=+=--⎪⎪
=+=--⎨⎪=⎪⎩ （2） 当0ij G ≤时，插补结束，刀具半径矢量r 的刀偏分量为
r y x r = r x y r =-
式中x r ，y r 的符号分别与u 、v 相同。

图1 刀补建立与撤消过程中刀具 图2 刀具半径矢量与编程线段的关系
与工件轮廓的干涉
O
1r 2
r A＇r
A
C＇C
B
4
r 3
r 2
r 3r r y
r r
Y D
r X r
x
r D＇E(u,v)
Y
a)
X 0
A
r X B
r X B
r Y A
r Y A r A A＇r B B＇B Y
b)
X
圆弧段刀具半径矢量的算法如图2b 所示，插补计算方法与直线段完全相同，分别沿AO 、BO 插补计算，起点A 处刀偏分量rA x 、rA y 和终点B 处刀偏分量rB x 、
rB y 的符号分别与圆心O 相对A 点和B 点的坐标符号一致。

2.刀补的建立
刀补的建立有直线与直线相接和直线与圆弧相接两种。

（1）直线接直线
直线接直线的转接类型如图3中虚线（刀具中心轨迹）所示有三种，即缩短型（图3a ）、伸长型（图3b 、c 、d ）和插入型（图3e ）。

主要依据转接角α来判断其转接类型。

图3 直线接直线的刀补建立转接类型
1）确定转接角α
转接角α定义为刀补建立线段O !A 与编程线段AB 之间的逆时针夹角（图4）。

设A 点相对O 1点的坐标为11(,)u v ，B 点相对A 点的坐标为（22,u v ），将xoy 坐标系平移至A 点，并旋转一θ角，使x '轴与线段1O A 重合，则B 点在x Ay ''坐标系中的坐标为
12121||B u u v v x O A +'=
12121||
B u v v u
y O A -'= （3）
A1
1A A＇(X ,Y )1A A A (X ,Y )A＇(X ,Y )2
A22A A33A A＇(X ,Y )3
A22A 2
A＇(X ,Y )1A＇(X ,Y )A 11
A A (X
,Y )A A A A
A(X ,Y )1A＇(X ,Y )A 1
1A 1
A＇(X ,Y )A 11A A A A (
X ,Y )A A 1A
1A r r r ααd
1
O 1
O 1A ＇(X ,Y )B
B＇
B B＇
A (X ,Y )d
Y a)
X 0
Y
b)
X
B B＇
1
O r r αY
c)X
Y＇P(X＇,Y＇)
αr 2
r +2
r r 1r 1
X＇
B＇
B
10Y d)
X 0
1
r 12r
r
α
r r B B＇Y
e)
X
00
由于式中|1O A |>0，所以由式（3）可得转接角α范围如下：
当1212u v v u -<0时，α<180︒
当1212u u v v +≥0， 12120u v v u ->时，180270α︒≤≤︒ 当1212u u v v +<0, 1212u v v u ->0时, α>270︒ 2）计算转接点的坐标 ①当180α<︒时，有两种转接情形：a.当刀补建立线
段起点1O 到直线AB 的距离d r ≥（r 为刀具半径，为避免开方运算，可用22d r ≥代替d r ≥）时，为缩短型（图3a ）；b.当d r <时，为缩短型（图3b ）。

为缩短型时，转接点1A '的坐标为
图4 直线接直线的转接角
1A A r x x x =+ 1A A r y y y =+
为伸长型时，转接点1A '的坐标为
11A A r r A A r r
x x x y y y y x =++=+- （4）
式中r x 、r y 为垂直于线段AB 的刀具半径矢量的分量。

②当180270α︒≤≤︒时，为伸长型。

图3c 为180α=︒时的伸长情形，利用式（4）即可求得其转接点1A '的坐标。

图3d 为180270α︒<≤︒时的伸长情形，转接点1A '的坐标为
111A A r r x x x y =++ 111A A r r y y y x =+-
式中1r x 、1r y 为垂直于刀补建立段1O A 的刀具半径矢量1r 的分量。

转接点2A '显然在矢量12r r +方向上，因此，可沿12r r +（2121
,r r r r x x y y ++）方向逐点插补求2A '点。

设2AA '上任意一点P 在x Ay ''坐标系中的坐标为（x '，y '），则当P 点到直线1O A 的距离1122
11||v x u y d r u v ''-=
=+时，P 点就是转接点2A '。

据此关系，设置终点判别函数
1
O θα
Y ＇
X ＇
B
O
Y
X
22221111()()G r u v v x u y ''=+--，其递推关系为
2211,111122
1,111112220,0111,221,22()
i i i j ij i j j j i j ij j i x x G G v x v u y v y y G G u y v u x u G r u v ++++''''⎧=+=-+-⎪⎪''''=+=-+-⎨⎪=+⎪⎩ （5） 当0ij G ≤时，停止插补。

所求转接点2A '在 xoy 坐标系中的坐标为
2A A x x x '=+ 2A A y y y '=+
③当270α>︒时，为插入型（图4e ）。

三个转接点的坐标为
111A A r r x x x y =++ 111A A r r y y y x =+- 211A A r r x x x y =+- 211A A r r y y y x =++ 322A A r r x x x y =++ 322A A r r y y y x =+-
式中2r x 、2r y 为垂直于线段AB 的刀具半径矢量的分量。

（2）直线接圆弧
以直线接顺圆G02为例，其转接类型如图5中虚线（刀具中心轨迹）所示也有三种，即缩短型（图5a ）、伸长型(图5b 、c 、d)和插入型(图5e)。

其转接类型的判别同样主要依据转接角α。

图5 直线接顺圆的刀补建立转接类型
1）确定转接角
如图6所示，按逆时针方向定义刀补建立直线段1O A 与圆弧段AB 起点处的
B B＇A A (X ,Y )A A33A 3
A＇(X ,Y )1A＇(X ,Y )A11A A22A 2
A＇(X ,Y )A＇(X ,Y )3
A33A A＇(X ,Y )2A22
A A11A A＇(X ,Y )1A44A 4
A＇(X ,Y )A A(X ,Y )A
A A A (
X ,Y )A＇(X ,Y )2
A22A 1A＇(X ,Y )A11
A A A
A22A A1
1A A A A A 1α
O 2
r
r
1
r r 2r 1
O B＇
B e)X
O
Y
2r r 2
+1r r αr P (X ＇,Y ＇)
X＇
Y＇2O d)
Y
O 1X
O
2
1
r
2
A＇(X ,Y )X
r 2
1
Y
O
X
c)
r
αO O B＇
B Y
O
b)
A＇(X ,Y )1A (X ,Y )r αd
O O B＇
B E
A (X ,Y )11
11
2
A＇(X ,Y )αr O d E B B＇
O X a)O
Y
半径2AO 的夹角α为转接角。

设刀补建立段终点A 相对于起点1O 的坐标为（1u ，1v ）
，编程轮廓圆弧段AB 的圆心2O 相对于起点A 的坐标为（2O I ，2O J ），则参照（3）式得2O 在x Ay ''坐标系中的坐标为：
222
22
2111111||||O O O O O O u I v J x O A u J v I y O A +⎧
'=⎪⎪
⎨
-⎪'=⎪⎩
（6） 其中1||0O A >。

所以由（6）式得转接角α范围如下：
当222211110,0O O O O u I v J u J v I +<-<时，90α<︒ 当222211110,0O O O O u I v J u J v I +>-≤时，90180α︒<≤︒ 当22110O O u J v I ->时，180α>︒
当22110O O u I v J +=，22110O O u J v I -<时，90α=︒ 2）计算转接点坐标
①当90α<︒时，有两种转接情形：a.当刀补建立段起点1O 到圆弧段起点A 的切矢E 的距离d r ≥（刀具半径）时，为缩短型（图
5a ）；b.当d r <时，为伸长型(图5b)。

切矢E 和距离d 由已知条件很容易求得。

为缩短型时，转接点1A '的坐标为
1A A r x x x =+ 1A A r y y y =+
为伸长型时，转接点1A '、2
A '的坐标为 1122A A r r A A r r A A r A A r
x x x y y y y x x x x y y y =++=+-=+=+ （7）
式中r x 、r y 为圆弧起点处的刀偏分量。

θ
α
A B
O 2
O 1
X＇
Y＇
O
X
Y
图6 直线接顺圆的转接
②当90180α︒≤≤︒时，为伸长型。

图5c 为90α=︒时的伸长情形，转接点1A '、
2A '坐标的计算式与（7）式相同。

图5d 为90180α︒<≤︒时的伸长情形，转接点1A '、
3
A '坐标的计算式为 111A A r r x x x y =++ 111A A r r y y y x =+- 22A A r x x x =+ 22A A r y y y =+
式中1r x 、1r y 是刀补建立段1O A 的刀偏分量，2r x 、2r y 是圆弧段起点的刀偏分量。

转接点2
A '显然在矢量12r r +方向上，同样可沿12r r +（21
r r x x +，12r r y y +）方向逐点插补求2A '点。

设2AA '上任一点P 在x Ay ''坐标系中的坐标为（x '，y '），则当222PA r A P '=+时，P 点就是2
A '点。

因此，设置终点判别函数1122222()()()r r G r x x y y x y ''''=+-+--+，其递推关系为
1
111,1,120,01,21,22i i i j ij r
j j i j ij r x x G G x y y G G y G r ++++⎧=+=-⎪⎪
=+=-⎨⎪=⎪⎩
（8） 当0ij G ≤时，结束插补，所求转接点2A '在xoy 坐标系中的坐标为
2A A x x x '=+ 2A A y y y '=+
③当180α>︒时，为插入型（图5e ）。

四个转接点的坐标为
111A A r r x x x y =++ 111A A r r y y y x =+- 211A A r r x x x y =+- 211A A r r y y y x =++ 322A A r r x x x y =++ 322A A r r y y y x =+- 42A A r x x x =+ 24A r y y y =+
3.刀补的撤消
刀补的撤消有直线接直线和圆弧接直线两种。

它是刀补建立的逆过程。

转接角的定义及转接类型的判别方法与刀补建立情形相同，转接点坐标的算法也相同。

4.结束语
引进直线插补思想，用简单的加减运算取代复杂的函数运算，简化了刀具中心轨迹上转接点坐标计算，从而解决了在以8位CPU为核心的经济型CNC系统中开发C功能刀补的问题。

修正后的刀补建立和撤消线段的刀具中心轨迹避免了刀具与工件轮廓的干涉，因此，在编程时，不必考虑刀补建立线段的起点和撤消线段的终点相对工件轮廓的位置。

参考文献
[1]华茂发基于直线插补思想实现经济型CNC系统C刀补的算法研究（一）[J].北京：现代制造工程 ,2006.8
[2]华茂发基于直线插补思想实现经济型CNC系统C刀补的算法研究（二）[J].北京：现代制造工程, 2006.9
[3]汪木兰数控原理与系统 [M].北京：机械工业出版社，2004
[4]任玉田机床计算机数控技术[M].北京：北京理工大学出版社，1996
作者简介：联系方式：
工作单位：南京工程学院自动化系。