2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第一节 直线与方程AB卷 文 新人教A版

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第一
节 直线与方程AB 卷 文 新人教A 版
1. (2016·北京，7)已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A.－1 B.3 C.7
D.8
解析 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)，2≤x ≤4.
即2x ＋y －9＝0，2≤x ≤4，因为P (x ，y )在线段AB 上， 所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9.
又2≤x ≤4，则－1≤4x －9≤7，故2x －y 最大值为7. 答案 C
2.(2015·安徽，8)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12
D.2或12
解析 圆方程可化为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |
32＋42
＝1.解得b ＝2或b ＝12，故选D. 答案 D
3.(2014·福建，6)已知直线l 过圆x 2
＋(y －3)2
＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0
D.x －y ＋3＝0
解析 依题意，得直线l 过点(0，3)，斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －0，即x －y ＋3＝0.故选D. 答案 D
4.(2013·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线
的斜率必存在.
设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，
由题意得|3k ＋1|k 2
＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－3
4，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2
＋[y －2(a －2)]2
＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，
所以x 2
＋（y －3）2
＝2x 2
＋y 2
，化简得x 2
＋y 2
＋2y －3＝0，
即x 2
＋(y ＋1)2
＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上. 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2
＋（2a －3）2
≤3. 由5a 2
－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2
－12a ≤0，得0≤a ≤125
.
所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，125.
5.(2014·四川，9)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |＋|PB |的取值范围是( ) A.[5，25] B.[10，25] C.[10，45]
D.[25，45]
解析 易知直线x ＋my ＝0过定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0过定点
B (1，3)，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故|PA |＋|PB |＝|AB |cos
∠PAB ＋|AB |sin ∠PAB ＝10·2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠PAB ＋π4∈[10，25]，故选B.
答案 B
6.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2
－y 2
＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________. 解析 双曲线x 2
－y 2
＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1
＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝
|1－0|12
＋1
2
＝2
2
.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22
. 答案
22
7.(2013·四川，15)在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.
解析 由题意可知，若P 为平面直角坐标系内任意一点，则|PA |＋|PC |≥|AC |，等号成立的条件是点P 在线段AC 上；|PB |＋|PD |≥|BD |，等号成立的条件是点P 在线段BD 上.所以到A ，B ，C ，D 四点的距离之和最小的点为AC 与BD 的交点.直线AC 方程为2x －y ＝0，直线BD 方程为x ＋y －6＝0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，
y ＝4. 即所求点的坐标为(2，4). 答案 (2，4)。