达标测试青岛版九年级数学下册第5章对函数的再探索专项测评试题

九年级数学下册第5章对函数的再探索专项测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、抛物线2(1)4y x =-+-的顶点坐标为（ ）．
A ．（-1，-4）
B ．（-1，4）
C ．（1，-4）
D ．（1，4）
2、下列函数中，自变量x 的取值范围是1x >的函数是（ ）
A ．y =
B ．
y C ．y =D ．y =3、反比例函数y ＝5x
的图象在（ ） A ．第一、三象限
B ．第二、四象限
C ．第一、二象限
D ．第三、四象限
4、二次函数y ＝x 2＋2mx ＋m 2-1，在1≤x ≤2时，y ≥0．则m 的取值范围是
( )
A ．m ≥0或m ≤-1
B ．m ≥0或m ≤-3
C ．m ≥2或m ≤-1
D ．m ≥2或m ≤-3
5、对于抛物线y=-x 2，下列说法不正确．．．
的是（ ）． A ．开口向下 B ．对称轴为直线x=0
C ．顶点坐标为（0，0）
D ．y 随x 的增大而减小
6、函数y =
x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣2 B ．x ＞0 C ．x ≥﹣2且x ≠0 D ．x ＞﹣2且x ≠0
7、下列实际问题中的y 与x 之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A ．正方体集装箱的体积y m 3，棱长x m
B ．高为14m 的圆柱形储油罐的体积y m 3，底面圆半径x m
C ．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y 斤，单价为x 元/斤
D ．小莉驾车以108km/h 的速度从南京出发到上海，行驶x h ，距上海y km
8、如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数2142
y x x =-+刻画，斜坡可以用一次函数12
y x =刻画．则下列结论错误的是（ ）
A ．当小球达到最高处时，它离斜坡的竖直距离是6m
B ．当小球落在斜坡上时，它离O 点的水平距离是7m
C ．小球在运行过程中，它离斜坡的最大竖直距离是6m
D ．该斜坡的坡度是1：2
9、函数y =x 的取值范围是（ ）
A ．x ≥2
B ．x ＞﹣2
C ．x ≤2
D ．x ＜2
10、已知抛物线y ＝x 2+bx +4经过（﹣1，n ）和（3，n ）两点，则b 的值为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣4
C ．2
D ．4
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若二次函数y ＝2x 2－x ＋k 的图象与x 轴有两个公共点，则k 的取值范围是________．
2、如图，点A 是抛物线218
y x =上不与原点O 重合的动点．AB x ⊥轴于点B ，过点B 作OA 的垂线并延长交y 轴于点C ，连结AC ，则线段OC 的长是_______，AC 的最小值是__________．
3、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为8，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数k y x
=上的图象上，则k 的值为________；
4、若函数()160y x x =＞与函数228y x =-+的图象如图所示，则不等式628x x
≥-+的解集是______．
5、如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是直线x ＝1，且经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc ＜
0：②2a ﹣b ＝0；③a ＜﹣23
；④若方程ax 2+bx +c ﹣2＝0的两个根为x 1和x 2，则（x 1+1）（x ₂﹣3）＜0，正确的有______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、二次函数经过（1，0），（3，0）和（0，3）．
(1)求该二次函数解析式；
(2)将该二次函数图像以x 轴为对称轴作轴对称变换得到新的抛物线，请求出新抛物线的解析式．
2、如图，直线24y x =+与抛物线244y x x =-+交于A ，B 两点，
(1)求A ，B 两点的坐标；
(2)点P 是抛物线244y x x =-+的顶点，求ABP △的面积．
3、如图，一座温室实验室的横截面由抛物线和矩形'OAA B 组成，矩形的长是16m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y =-116
x 2+bx +c 表示，CD 为一排平行于地面的加湿管．
(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．
(2)若加湿管的长度至少是12m ，加湿管与拱顶的距离至少是多少米？
(3)若在加湿管上方还要再安装一排恒温管(两排管道互相平行)，且恒温管与加湿管相距1.25m ，恒温管的长度至少是多少米？
4、如图，在等边ABC 中，4AB =，点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 从点C 出发沿CA 的方向运动，到点A 停止运动，作直线PF ，记CP x =，点E 到直线PF 的距离EM y =．
(1)按照下表中x的值补填完整表格（填准确值）：
(2)在坐标系中描出补全后的表中各组数值所对应的点()
,x y，用光滑曲线连结，并判断变量y是x的函数吗？
(3)根据上述信息回答：当x取何值时，y取最大值，最大值是多少？
5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数
m
y
x
=（m≠0）的图
象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，12），点C的坐标为（-4，0），且tan∠ACO=2．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
根据抛物线顶点式的性质进行求解即可得答案．
【详解】
解：∵抛物线解析式为2(1)4y x =-+-，
∴抛物线顶点坐标为为(1,4)--
故选A ．
【点睛】
本题考查了已知二次函数顶点式求顶点坐标，熟知二次函数()2()0h y a x k a =+≠+的顶点坐标为（-
k ，h ）是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0对各选项分别列式计算即可得解．
【详解】
解：A ．y =x ≥1，此选项不符合题意；
B ．
y 中x ＞1，此选项符合题意；
C．y=x≥1
2
，此选项不符合题意；
D．y=x≥2，此选项不符合题意；
故答案选：B．
【点睛】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3、A
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质作答．
【详解】
解：∵＝5＞0
k，
∴反比例函数y＝5
x
的图像分布在第一、三象限．
故选A．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟记反比例函数图像得性质．
4、B
【解析】
【分析】
求出抛物线的对称轴，分别对①当抛物线的对称轴-m≤1时，②当抛物线的对称轴1≤-m≤2时，③当抛物线的对称轴-m≥2时，进行分析得出m的取值范围即可．
【详解】
解：()222211y x mx m x m =++-=+-，
∴对称轴为直线x =-m ，开口向上，
当-m ≤1时，在1≤x ≤2上，y 随x 的增大而增大，
则()2
110y m =+-≥，
∴11m +≥或11m +≤-，
∴0m ≥或2m ≤-（舍）；
当1≤-m ≤2时，此时若x =-m ，则y 取最小值-1，且-1＜0，
故不符合；
当-m ≥2时，在1≤x ≤2上，y 随x 的增大而减小，
则()2210y m =+-≥， ∴21m +≥或21m +≤-，
∴1m ≥-（舍）或3m ≤-；
综上：0m ≥或3m ≤-，
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象上点的坐标特征和二次函数图象与系数的关系，利用对称轴取值范围进行分析是解决问题的关键．
5、D
【解析】
【分析】
根据二次函数解析式1a =-，0b =，0c ，可知函数图像的开口，以及增减性，顶点坐标，选出不正确的选项即可．
【详解】
解：由函数解析式2y x =-，可知，1a =-，0b =，0c ，
∴图像的开口向下，顶点坐标为原点即（0，0），对称轴为直线x=0，函数在对称轴右边图像是递减的，在对称轴左边是递增的，故D 选项错误，
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数解析式与图像的关系，能够根据解析式分析出图像的特征是解决本题的关键．
6、C
【解析】
【分析】
根据二次根式及分式有意义的条件进行求解即可得．
【详解】
解：∵分子为二次根式，
∴20x +≥，
解得：2x ≥-，
∵x 在分母上，
∴0x ≠，
∴2x ≥-且0x ≠，
故选：C ．
【点睛】
题目主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题关键．
7、B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】
解：A ．正方体集装箱的体积y m 3，棱长x m ，则y =x 3，故不是二次函数；
B ．高为14m 的圆柱形储油罐的体积y m 3，底面圆半径x m ，则y =14πx 2，故是二次函数；
C ．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y 斤，单价为x 元/斤，则86y x
=，故不是二次函数； D ．小莉驾车以108km/h 的速度从南京出发到上海，行驶x h ，距上海y km ，则y ＝南京与上海之间的距离-108x ，故不是二次函数．
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的定义去判断．
8、C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质求出顶点坐标判断A ；列方程组求出二次函数与一次函数的交点坐标判断B ；根据二次函数的性质判断C ，根据坡度的定义判断D ．
【详解】 解：22114(4)822
y x x x =-+=--+， ∴顶点坐标为()4,8，
把4x =代入12
y x =得，2y =， 当小球达到最高处时，它离斜坡的竖直距离()826m =-=，故A 正确，不符合题意；
214212y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 解得，1100x y =⎧⎨=⎩，2
2772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
， ∴当小球落在斜坡上时，它离O 点的水平距离是7m ，故B 正确，不符合题意； 小球在运行过程中，它离斜坡的竖直距离221117494()22228
x x x x =-+-=--+， 则小球在运行过程中，它离斜坡的最大竖直距离为
4968>，C 错误，符合题意； 斜坡可以用一次函数12y x =
刻画， ∴该斜坡的坡度是1：2，D 正确，不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题、二次函数与一次函数的交点坐标，掌握坡度的概念、正确求出二次函数与一次函数的交点坐标是解题的关键．
9、C
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，建立不等式求解即可．
【详解】
解：由题意得：﹣2x +4≥0，
解得：x ≤2，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10、A
【解析】
【分析】
根据抛物线y ＝x 2+bx +4经过（﹣1，n ）和（3，n ）两点，可得抛物线的对称轴为直线1x =，即可求解．
【详解】
解：∵抛物线y ＝x 2+bx +4经过（﹣1，n ）和（3，n ）两点， ∴抛物线的对称轴为直线1312
x -+=
=， ∴12b -=，即2b =-． 故选：A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题
1、18
k < 【解析】
【分析】
二次函数22y x x k =-+的图象与x 轴有两个交点即相当于一元二次方程220x x k -+=有两个不同的实数根，由此利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】
解：∵ 二次函数22y x x k =-+的图象与x 轴有两个交点，
∴一元二次方程220x x k -+=有两个不同的实数根，
∴2=4180b ac k ∆-=->， ∴18
k < 故答案为：18
k <． 【点睛】
本题考查了二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点个数的问题，得出Δ=b 2-4ac ＞0是解题关键．
2、 8 【解析】
【分析】
设点A （a ，18
a 2），则点B 坐标为（a ，0），通过求证△AOB ∽△BCO 可得CO 长度，由AC 2＝（xc ﹣xA ）2+（yC ﹣yA ）2可得AC 2与a 的函数关系式，将函数关系式化为顶点式求解．
【详解】
解：设点A （a ，18
a 2），则点B 坐标为（a ，0）， ∴OB ＝|a |，AB ＝18
a 2， ∵∠ABO ＝∠BOC ＝90°，
∴∠AOB +∠OBC ＝90°，∠OBC +∠BCO ＝90°，
∴∠AOB＝∠BCO，∴△AOB∽△BCO，
∴OB AB CO BO
，
∴OB2＝CO•AB，即a2＝1
8
a2•CO，
解得CO＝8，∴C（0，8），
∵AC2＝（xc﹣xA）2+（yC﹣yA）2＝a2+1
64
a4﹣2a2+64＝
1
64
（a4﹣64a2）+64＝
1
64
（a2﹣32）2+48，
∴当a2＝32时，AC2＝48为最小值，即AC＝
故答案为：8，
【点睛】
本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质，掌握求二次函数最值的方法．
3、-4
【解析】
【分析】
连接AC交OB于D，如图，根据菱形的性质得AC⊥OB，S△OCD=1
4
S菱形ABCO=2，再利用反比例函数比例
系数k的几何意义得到1
2
|k|=2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【详解】
解：连接AC交OB于D，如图，
∵四边形ABCO 为菱形，
∴AC ⊥OB ，S △OCD =14S 菱形ABCO =14
×8=2， ∵CD ⊥y 轴，
∴S △OCD =12
|k |， 即12
|k |=2， 而k ＜0，
∴k =-4．
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12
|k |，且保持不变．也考查了菱形的性质． 4、01x ≤≤或3x ≥
【解析】
【分析】
写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】 解：∵函数()160y x x
=＞与函数y 2=-2x +8的图象的交点为（1，6），（3，2），
由函数图象可知，不等式628x x
≥-+的解集是01x ≤≤或3x ≥， 故答案为01x ≤≤或3x ≥．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
5、①③④
【解析】
【分析】
由图象可知，a ＜0，c ＞0，-2b a
=1＞0，b ＞0，因此abc ＜0，故①正确；-b =2a ，2a -b =4a ≠0，故②错误；当x =-1时，a -b +c =0，3a +c =0，c =-3a ＞2，a ＜-23
，故③正确；由对称轴直线x =1，抛物线与x 轴左侧交点（-1，0），可知抛物线与x 轴另一个交点（3，0），由图象可知，y =2时，x 1＞-1，x 2＜3，所以x 1+1＞0，x 2-3＜0，因此（x 1+1）（x 2-3）＜0．
【详解】
解：由图象可知，a ＜0，c ＞0， -2b a
=1＞0， ∴b ＞0，
∴abc ＜0，故①正确；
∵-b =2a ，
∴2a -b =4a ≠0，故②错误；
x =-1时，a -b +c =0，
即3a +c =0，
c =-3a ＞2，
∴a ＜-23
，故③正确； 由对称轴直线x =1，抛物线与x 轴左侧交点（-1，0），可知抛物线与x 轴另一个交点（3，0）， 由图象可知，y =2时，x 1＞-1，x 2＜3，
∴x 1+1＞0，x 2-3＜0，
∴（x 1+1）（x 2-3）＜0．故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)(1)(3)=--y x x
(2)-(1)(3)y x x =--
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数图像与x 轴的交点坐标，设抛物线的解析式为y =a (x -1)(x -3)，再将（0，3）代入关系式，求出a 的值即可；
（2）由题意可知新抛物线与x 轴的交点坐标，可设交点式，再将点（0，-3）代入求出m 的值即可.
(1)
设该二次函数解析式为(1)(3)y a x x =--
把（0，3）代入解析式得1a =
∴该二次函数解析式为(1)(3)=--y x x
(2)
由题意可知，抛物线与x 轴的交点是（1，0）和（3，0），且经过点（0，-3）.
设新二次函数解析式为()()13y m x x =--，
再代入（0，-3），得到m =-1
∴轴对称变换后二次函数解析式为()()13y x x =---
【点睛】
本题主要考查了求二次函数关系式，掌握交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)是解题的关键.
2、 (1)A （0，4），B （6，16）
(2)24
【解析】
【分析】
（1）把两个函数解析式联立方程组，解方程组即可；
（2）求出顶点坐标，再用面积和差求解即可．
(1)
解：∵直线24y x =+与抛物线244y x x =-+交于A ，B 两点，
联立方程组得，22444
y x y x x =+⎧⎨=-+⎩， 解得:1104x y =⎧⎨=⎩，22616
x y =⎧⎨=⎩， A ，B 两点的坐标为A （0，4），B （6，16）．
(2)
解：244y x x =-+化成顶点式为2(2)y x =-，则点P 坐标为（2，0）；
作BC ⊥OP 于C ，
梯形OABC面积为：1
(416)660
2
+⨯=；
△OAP面积为：1
424
2
⨯⨯=；
△BCP面积为：1
(62)1632
2
⨯-⨯=；
ABP
△的面积为：60-32-4=24；
．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合，解题关键是熟练利用函数解析式求交点坐标，利用坐标求面积．
3、 (1)y=-
1
16
x2+x+4，拱顶到地面的距离为8米
(2)至少是2.25米
(3)至少是8米
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件，用待定系数法求函数解析式，并用二次函数的性质求最值即可；
(2)先求出C点横坐标x=2，再代入(1)中解析式求出y=5.75，据此即可求得；
(3)先求出y=5.75+1.25=7，再代入解析式解方程，求值即可．
(1)
解：将点(0,4)，(16,4)分别代入y=-
1
16
x2+bx+c中，
得：
4
41616
c
b c
=
⎧
⎨
=-++
⎩
，
解得：
1
4
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y=-
1
16
x2+x+4=-
1
16
(x-8)2+8，
∵
1
<0 16
-，
∴当x=8时，y有最大值，最大值为8，
∴抛物线的函数关系式为y=-
1
16
x2+x+4，拱顶到地面的距离为8米；
(2)
解：由题意得：C点横坐标为16÷2-12÷2=2，
将x=2代入y=-
1
16
x2+x+4中，
解得：y=5.75，
8-5.75=2.25(米)，
∴加湿管与拱顶的距离至少是2.25米；
(3)
解：5.75+1.25=7(米)，
由题意得：y≤7，
当-116
x 2+x +4=7时， 解得：x 1=4，x 2=12，
∴12-4=8，
∴恒温管的长度至少是8米．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
4、 (1)见解析
(2)见解析，y 是x 的函数
(3)当1x =时，y 取最大值，最大值为2
【解析】
【分析】
（1）分别就0,1,4x =三种情形作出图形，并根据等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质求EM 的长即可，再根据x 的取值填表；
（2）根据题意画出图象，根据函数的定义即可判断变量y 是x 的函数
（3）根据图象找到y 的最大值即可
(1)
图，当0x =时，点,P C 重合，
连接,AF EF ，
,E F 分别为,AB CB 的中点，则12
EF AC = ABC 是等边三角形
4AB BC AC ∴===，60B ∠=︒
2BE EF BF ∴===
EM PF ⊥
EM BF ∴⊥，
60B ∠=︒
30BEM ∴∠=︒
112
BM BE ∴==
EM ∴
即当0x =时，y =
当1x =时，即1PC =，如图，
取AC 的中点D ，连接DF ，则112,222
DF AB DC AC =
=== F 为BC 的中点，12
2
FC BC == DFC ∴是等边三角形 则1CP PD ==
FP AC ∴⊥
EM FP ⊥
EM AC ∴∥
60BEM BAC ∴∠=∠=︒
60B ∠=︒
BEM ∴是等边三角形
则2EM EB ==
即当1x =时，2y =
当4x =，即4CP =，则点P 与点A 重合，如图
AF BC ⊥，则PF BC ⊥
ABC 是等边三角形
30BPF ∴∠=︒
又EM PF ⊥
112
EM AE == 即当4x =时，1y =
填表如下，
(2)
如图，
判断：y 是x 的函数
(3)
根据（2）中的图象可知当1x =时，y 取最大值，最大值为2.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，画函数图像，函数的判定，根据函
数图象获取信息，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
5、 (1)反比例函数表达式为y =
24x ，一次函数的表达式为y =2x +8 (2)B （-6，-4）
【解析】
【分析】
（1）过点A 作AD ⊥x 轴于D ，由题意可得AD =12，CD =n +4，则有
1224
AD CD n ==+，然后可得A （2，12），进而问题可求解；
（2）由（1）可得2428y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，进而问题可求解． (1)
解：过点A 作AD ⊥x 轴于D ，
∵C 的坐标为（-4，0），A 的坐标为（n ，12），
∴AD =12，CD =n +4，
∵tan ∠ACO =2， ∴1224
AD CD n ==+，解得n =2， ∴A （2，12），
把A （2，12）代入m y x
=，得m =2×12=24， ∴反比例函数表达式为y =
24x ， 又∵点A （2，12），C （-4，0）在直线y =kx +b 上，
∴2k +b =12，-4k +b =0，
解得k =2，b =8，
∴一次函数的表达式为y =2x +8；
(2)
解：由（1）得：2428
y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩， 解得1212
26,124x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩， ∵A （2，12），
∴B （-6，-4）．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．。