13.2.1双曲线的定义及其标准方程1

推导方程
两边再平方得:
(cx
a2 )2
a2
x
பைடு நூலகம்
c2
y2
.
c2 x2 2a2cx a4 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
c2x2 a2x2 a2 y2 a2c2 a4
(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
化简整理得：
(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
迹叫做双曲线， 两个定点F1，F2 叫做双曲线的焦点，
焦距: F1F2 2c
思考：为什么要满足2a<2c呢？
（1）若2a=2c=|F1F2|, 又||MF1|–|MF2||=2a(a是常数)
F1
F2
则M的轨迹是两条射线.
（2）若2a>2c呢？
由三角形知识有这样的点M不存在
推导方程
请同学们自己建立坐标系，推导方程
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a.
推导方程
移项得,
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a.
两边平方得,
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2.
移项得,
4cx 4a2 4a (x c)2 y2 .
cx a2 a (x c)2 y2 .
小结作业
1.椭圆是圆的遗传，双曲线是椭圆的 变异，尽管双曲线与椭圆的定义和标准 方程有一些相似之处，但它们的图形却 大不相同，二者有着本质的区别.
2.在椭圆中，c2＝a2－b2，a是老大，
b、c的大小关系不定；
在双曲线中，c2＝a2＋b2，c是老大， a、b的大小关系不定.
3.求标准方程的方法： 定义法、待定系数法
焦点： F1(0, c)， F2(0, –c)
思考：a, b, c有何关系？ c2=a2+b2
c最大，a与b的大小无规定
定义 MF1 MF2 2a，0 2a F1F2
图象
方程 焦点
x2 y2 1 a2 b2
F c,0
焦
点
跟
y2 a2
x2 b2
1
着 正
的
F 0, c 跑
a.b.c的 关系
如何建系？M(x,y)
y
几何条件：
M
||MF1|–|MF2||=2a
F1 o F2
x
代数化：
F1(–c,0)， F2(c,0)
| x c2 y2 x c2 y2 | 2a
推导方程
y
M (x，y)
F1
(-c，0) O
F2
(c，0)
x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a.
作业： P55练习：1，3
同除以a2(c2-a2)得：x2 y2 1 a2 c2 a2
令c2–a2=b2得：x2 y2 1 (a>0,b>0) a2 b2
称为双曲线的标准方程
焦点： F1(–c,0)， F2(c,0)
思考：换为如右图建系呢？ y
标准方程：
y2 x2 1 (a>0,b>0)
a2 b2
F1•
O
x
•M • F2
x2 y2 1
9 16
课堂练习
2、若双曲线
x2 25
y2 9
1
上的一点P到
一个焦点的距离为12，则它到另一个焦
点的距离是＿2＿或＿2＿2 ＿.
yP
F1 O
F2 x
例2 若方程 x2 y2 1表示的曲线
k 5 k 2
是双曲线，求k的取值范围.
k (2,5)
练习1. 若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲 线是焦点在y轴上的双曲线，则k (-1, 1) .
第二章 圆锥曲线与方程
13.2.1双曲线及其标准方程
复习引入
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点 F1, F2的距离的和
等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹 叫做椭圆。
||MF1|–|MF2||=2a(a是常数)
双曲线的定义: 平面内到两定点的距离差
的绝对值等于常数（小于 F1F2 ）的点的轨
c2 a2 b2
谁正谁是a
练习1.根据方程，写出焦点坐标及
a, b的值:
(1).x2 15y2 15
焦点(4, 0), a 15,b 1
(2). y2 x2 1 34
焦点(0, 7), a 3, b 2
例1 已知双曲线两个焦点分别为F1(－5， 0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到点F1， F2的距离之差的绝对值等于6，求双曲线 的标准方程.