一道习题在不同视角下的多彩解答

一道习题在不同视角下的多彩解答
东阳花园外国语学校 李坚强 东阳花园外国语学校 九（3）班 傅霖凯
笔者一直坚持以生为本的教学理念，在日常上课过程中给足学生思考时间，精心选择习题，启发学生思维.在坚持了一段时间后，发现学生的思维活跃，经常能给笔者以惊喜！以下是笔者在试卷讲评课上，学生在不同的视角下给出的多种解答，现整理如下.
题目：已知四边形ABCD 内接于圆O ，∠DAB =90°如图，连接AC ,若AD =5,AB =3,对角线AC 平分∠DAB ,求AC 的长.
视角1:圆内接四边形.
方法1：根据圆内接四边形的性质易知∠DCB =90°,再结合∠DAC =∠BAC 可知BC =CD ,进而得出△BCD 为等腰直角三角形，可构造K 型全等求解
解答过程：
过点C 作CE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AF 于点E ∵AC 平分∠DAB ∴∠DAC =∠BAC
∵BC =CD
∵四边形ABCD 内接于圆O ∴∠DCB =180－90=90°
∵∠DEC =90°，∠DCB =90°
∴∠EDC +∠DCE =90°，∠DCE +∠BCF =90°
∴∠EDC =∠BCF
∴ΔCDE ≌ΔCBF
设DE =a ，所以BF =a ，CF =AE =5-a ，5-a =3+a ，a =1
∴AC =24
视角2:角平分线. 方法2：根据角平分线想到角平分线定理.
解答过程：过点C 做CE ⊥AD 于点E ,CF ⊥AB 交AB 的延长线于点F
∵AC 平分∠DAB ∴CE =CF ，∠DAC =∠BAC=45° ∵BC =CD
∴R t ∆DCE ≌R t ∆CBF
∴DE =BF
设DE =BF =a ，则5-a =3+a ，解得a =1
∴AF =4
∴AC =24
D
C
B
A
E
D C
B A 方法3:根据角平分线，选择构造全等三角形.
解答过程:延长AB 两个单位到点E ,连CE ,并过点C 作CF ⊥AE
∵AC 平分∠DAB ，∠DAB =90°
∴∠DAC =∠CAE=45°
∴BC =CD
∵AC =AC
∵AD =AE
∴△DAC ≌△CAE
∴DC =CE =BC
∴BF =(5-3)÷2=1，AF =4
又∵△ACF 为等腰直角三角形
∴AC =24
视角3:线段BC =CD ，且一个端点重合.
方法4：可将一边所在的三角形旋转，将条件转化到同一个三角形中
解答过程： ∵AC 平分∠DAB ，∠DAB =90°
∴∠DAC =∠BAC=45° ∵BC =CD
将△ACD 绕点C 逆时针旋转90°
∵四边形ABCD 内接于圆O ∴ ∠CDA +∠CBA =180°
∴ ∠CBA +∠CBE =180°，∠E =∠DAC =45°
∴ 点A ，B ，E 在一条直线上，且△ABC 为等腰直角三角形
∴ AE =3+5=8
∴ AC =24 视角4:求弦长，思垂径定理.
方法5:结合45°角构造等腰直角三角形
解答过程:过点O 作OE ⊥AC 于点E ，OH ⊥AB 于点H ,交AC 于点F ,连结BD
∵∠DAB =90°， ∴BD 为直径
∵OH ⊥AB ∴AH=HB=2
3 ∵O 为BD 的中点，
∴HO 为△ABD 中位线
∵HO=2
5 ∵AC 平分∠DAB ，∠DAB =90°
∴ ∠CAB =45°=∠AFH =∠OFE
∴HF =2
3，FO =1 ， ∴AF=22
3，EF =22
∴AE =22 ∴AC =24
视角5:求线段长，用解析法.
方法6:建立直角坐标系.求点C 的坐标.
解答过程：以点A 为原点，AB 为X 轴，AD 为Y 轴建立直角坐标系 过点O 作OE ⊥y 轴于点E ，过点C 作CF ⊥EF 于点E .
∵AC 为角平分线
∴∠DAC =45°
∴∠DOC =90°
∴∠EDO +∠DOE =90°
∴∠DOE +∠COF =90°
∴∠EDO =∠COF
∴ΔDOE ≌ΔCOF
∵∠DAB =90°
∴BD 为直径
∵OE ⊥AD ∴AE=DE=2
5=OF ∵O 为BD 的中点， ∴EO 为△ABD 中位线
∴OE=21AB=2
3=CF ∴C （4，4） ∴AC =24
方法7:建立直角坐标系.
解答过程：以点A 为原点，AB 为X 轴，AD 为Y 轴建立直角坐标系,连接BD ，过点B 作BE ⊥BD 交DC 的延长线于点E ,过点E 作EF ⊥x 轴于点F . 由题易知ΔDBA ≌ΔBEF
∴E （8，3）,BD =BE
∵∠DAB =90°
∴BD 是直径
∴∠DCB =90°
∴C 为DE 中点
∴C （4，4）
∴AC =24
视角5:求线段长，解斜三角形.
方法8解答过程:过点B 做BE ⊥AC 于点E.
∵∠ADB 与∠ACB 均为弧BC 所对的圆周角
∴∠ADB =∠ACB
∵AC 平分∠DAB ，∠DAB =90°
∴∠DAC =∠CAB =45°
∴tan ∠ACB =53
∴AE =223,CE =2
25 ∴AC =24
视角6：用面积法求线段长.
方法9解答过程：过点B 做BE ⊥AC 于点E ，过点D 做DF ⊥AC
于点F .
由题易知，△ABE ，△ADF ，△BCD 均为等腰直角三角形.
且BD =34，CD =BC =17 . 根据面积相等，可得
DF AC BE AC CD BC AD AB ⋅+⋅=⋅+⋅21212121 代入解得AC =24
视角6：弧中点，想到母子型相似，结合X 型相似求解.
方法10解答过程：设CA =a ，由题易知，弧BC =弧CD ，则∠BDC =∠CAD ， 结合∠ACD =∠ACD ，可得△CDE ∽△CAD ，CD =BC =17. ∴CA
CD CD CE =，解得CE =a 17，A E =a a 17- ∴
CA CD AD DE =，解得DE =a 175 又∵△CDE ∽△ABE ∴AB
CD AE DE =，解得AC =a =24 课堂是学生的舞台，作为教师，我们要做站在路边鼓掌的人，激励着他们去采撷人生最美的花朵.。