新世纪(版)数学(九年级上册)教材编写说明

新世纪（版）数学（九年级上册）教材编写说明
数学（7~9年级）教材编写组
几何部分：
第一章证明（二）
一、教学目标
1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展学生的推理论证能力。

2．进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义。

3．了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形、线段垂直平分线、角平分线等有关的性质及判定的定理。

4．结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并了解其真假关系。

5．能够利用尺规作线段垂直平分线和角平分线，已知底边及底边上的高，能作出等腰三角形。

二、设计思路
本章是八年级下册中第六章证明（一）的继续，首先给出作为继续进行证明的基础的四条公理，并与证明（一）中给出的两条公理一起展开这一章对命题的逻辑证明。

在前几册中，学生们已经在对图形性质及其相互之间的关系进行探索的过程中同时经历了推理的过程，一方面，初步地树立了推理的意识，也进行了简单的推理训练，具备了一定的推理能力，虽然没有要求学生进行严格的证明，但却为严格的推理证明打下了基础。

从上一册的证明（一）开始，教材从几个有关图形性质的基本事实（公理）出发，展开了对平行线等图形性质的严格证明。

本章将继续对其他一些图形的性质进行证明。

与证明（一）类似，本章中所涉及的很多命题（如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件、勾股定理及其逆定理、线段的垂直平分线等等）在前几册中已由学生们通过一些直观的方法进行了探索，所以学生们对这些结论已经有所了解。

对于这些命题，教材力争将证明的思路展现出来。

教材中首先利用提问题的方式使学生们联想回忆这些结论，并回忆原来用来探索结论的方法和过程，因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发，然后再利用公理和已有的定理去证明。

上述过程将抽象的证明与直观的探索联系起来。

如在证明等腰三角形的两个底角相等时，教材先给出了证明的思路，即由当时利用折纸来探索此结论的方法，而想到通过连接底边的中线构造全等三角形，从而证明两个角相等。

本章中还涉及到一些以前没有探索过的命题，这些命题的获得有些是直接通过证明得到的，而对于有些命题，教材则尽可能地创设一些问题的情景，为学生提供自主探索发现的空间，然后再进行证明，从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用。

如对于命题“直角三角形中，300所对的边等于斜边的一半”，教材引导学生拼摆三角板，去发现其边之间的关系，同时探索的过程也为证明时辅助线的添加提供了思路，为证明奠定了基础。

教材的设计还考虑了对学生学习方法和思维能力、水平的指导和培养。

一方面为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间，将探索发现和证明有机的结合起来。

另一方面教材还注意引导学生探索证明不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，开阔学生的视野，培养学生的思维能力，如在一种证明结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗？与同伴交流”。

此外，教材还注意渗透数学的思想方法，如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化的思想方法等。

如在证明等腰梯形的两个底角相等时，教材在分析证明思路时指出将等
腰梯形的两个底角转化为等腰三角形的两个底角，从而证明其相等。

本章虽然以逻辑证明为主，但在素材和背景的选取上还希望尽可能地与实际联系，增强论证的趣味性，从而激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心，同时也使学生体会到逻辑证明在实际中的意义和作用。

三、课时安排建议
1．你能证明它们吗3课时
2．直角三角形2课时
3．线段的垂直平分线2课时
4．角平分线2课时
回顾与思考2课时
四、教学建议
1．使学生经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性。

在前几册的学习中，学生们已经经历了探索图形性质的过程，并且发现了图形的很多性质，但没有给予严格的证明。

从上一册的证明（一）开始，逐渐的证明已探索过的图形的性质，同时也证明一些新的结论。

在教学中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明，这将有利于学生全面地理解证明。

在具体教学时，一方面，教师可引导学生回忆探索的过程及其得出的结论，并强调证明的必要性。

另一方面，学生经过探索，还会得到以往没有探索过的新的结论，然后再去证明，教师应充分利用这样的机会，启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系，即合情推理与论证推理的相互依赖和相互补充的辨证关系。

2．注重对证明思路的启发，提倡证明方法的多样性。

学生在掌握了基本的证明步骤和要求的基础上，探索证明的思路与方法是学习本部分内容的重点和难点，教师在教学中应注意在证明思路和方法上对学生的引导，帮助学生分析辅助线的添加、辅助图形的构作，在这个过程中，原来在进行图形的折叠、拼摆等探索图形性质时所使用的方法对证明的思路也是很重要的，教师应注意引导启发。

很多图形性质及结论的证明的方法和途径是不唯一的，辅助线的添加方法也是多样的，因此，教师在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同，提高逻辑思维水平。

例如，在证明等腰三角形的两个底角相等时，辅助线的添加可以有三种不同的方法，从而导致三种证明的方法，教师应鼓励学生通过交流探索发现这几种不同的证明方法。

3．要求学生掌握证明的基本要求和方法。

在本章中，结合图形的性质进行推理证明是学习的重点，因此教学中要注意培养学生掌握推理证明的基本要求，如明确前提和结论，能够用数学的符号语言正确表达；明确每一步推理的依据并能准确地表达推理的过程。

教师在教学时应引导学生着重分析证明的思路和方法，通过一定数量的推理证明的训练，逐步使学生掌握证明方法和思路。

与图形性质的探索一样，在命题的证明的教学中，教师也要注意为学生对证明思路和方法的思考留有充分空间，同时还要注意学生的个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导。

对反证法的学习，教学中可以通过生活实例和简单的数学例子使学生体会反证法的思想，但对于利用反证法进行证明的格式不对学生作要求。

4．注意数学思想方法在教学中的渗透以及对学生学习方法的启发。

在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方法，如由特殊到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法、反证法的思想方法等，教学中应注重这些思想方法的强化和渗透，有意识的引导学生去领会这些思想方法并运用在问题的解决过程中。

5．依据《义务教育数学课程标准》和教材的基本要求，把握好证明的难易程度。

对证明的基本方法掌握和过程的体验，需要对一定数量的命题的证明来实现，但是教学中要注意避免一味的追求所证命题的数量、证明的技巧，应依据教材中的基本要求，控制好所证命题的难度。

五、评价建议
1．关注对学生探索结论和证明思路、方法等过程的评价。

在本章中，无论是一些新结论的获得，还是命题证明的思路和方法的获得，都需要学生进行探索，因此对学生在这些探索活动中的表现是我们评价的重要方面。

一是要关注学生是否积极主动参与探索活动以与同伴之间的交流情况。

二是能否通过独立思考获得证明的思路，能否使用规范的数学语言表达思考的过程，能否尝试用不同的方法去证明同一个命题。

2．关注评价学生对证明的思路和方法的掌握和推理论证能力的提高。

在本章的命题证明中，相对于证明的技巧来说，证明的思路和方法是很重要的。

所以，要关注学生证明思路、方法的掌握，如能否借助直观操作等较为顺利地构作辅助线或辅助图形，能否将要证明的结论转化为已证的结论。

3．关注学生能否运用规范的数学语言表述论证过程。

本章及上一册的证明（一）和本册的证明（三）是本学段推理证明学习的严格论证阶段，要求学生能用规范的数学语言来表达整个的推理论证过程，包括对命题的条件、结论的明确和准确表达，因此教师在评价时应注意学生在这些方面的表现，及时指出学生在推理过程中出现的表述方面的问题，从而使学生养成用规范的数学语言进行表达的习惯和能力。

各节内容与目标：
1．你能证明它们吗
教学目标：
1．了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的相关的性质定理和判定定理。

3．结合实例体会反证法的含义。

2．直角三角形
教学目标：
1．进一步掌握推理证明的方法，发展推理论证的能力。

2．了解勾股定理及其逆定理的证明方法，能够证明直角三角形全等的条件。

3．结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

本节对勾股定理处理的说明：
（1）前面我们已经利用图形割补的方法验证了勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行。

虽然证明的方法有几种，但对于学生来说，这些证明都有一定难度，因此教材在正文中将此略去，将其中的一种放在本节的“读一读”中，以供有兴趣的学生阅读，而不作为对所有学生的要求。

（2）勾股定理的逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的，因此，只要学生能接受证明的方法和过程即可，不必作更多要求。

3．线段的垂直平分线
教学目标：
1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明的意识和能力。

2．能够证明线段垂直平分线的性质和判定定理及其相关结论。

3．能够利用尺规作线段垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。

4．角平分线
教学目标：
1．发展学生的推理证明的意识和能力。

2．能够证明角平分线的性质和判定定理及其相关结论。

2．能够利用尺规作角平分线。

对于角平分线上定理的处理建议：
（1）学生已经探索过了角平分线上的点的性质，此处可先让学生回顾其性质和探索过程，并尝试证明它。

（2）在前面的学习中，学生已经了解了如何构造一个
命题的逆命题。

学习线段垂直平分线时，也经历
了构造其逆命题的过程，因此，学生会类比着来
构造角平分线性质定理的逆命题。

在叙述其逆命题时，可不加什么条件，但验证其真假时，教师应引导学生注意到角平分线是在角的内部的射线，所以，就要附加“在角的内部”这个条件了。

事实上，从同一个点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于1800的角的内部，剩余部分为角的外部。

不难知道，到角的两边距离相等的点的集合应是过角的顶点的两条互补的射线，但其中只有一条射线即在角的内部的射线才是角平分线，因此，逆命题中需添加“在角的内部”的条件时才是真命题。

但教师不必给学生作更多的解释，只要学生能从直观上对角的内部加以理解，同时掌握角平分线的概念，并在此基础上知道“在角的内部”条件的意义即可。

回顾与思考
本“回顾与思考”中设立了几个问题，希望学生通过对这几个问题的思考，梳理本章的知
识内容，总结相关的数学思想方法。

教学时，应鼓励学生带着这些问题，回顾所学内容。

在对问题进行回答时，教师应关注学生对问题的理解，并能开展小组交流和讨论，使学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系。

教师可将本章的内容总结如下：
与等腰、等边三角形有关的结论通过探索、猜测、计算和证明获得结论（新定理）与直角三角形有关的结论
与一般三角形有关的结论命题的逆命题及其真假
线段的垂平分线
尺规作图
角的平分线
本“回顾与思考”教师可以安排2个课时。

在第一课时中，教师可与学生一起回顾一下本章的主要内容，包括对与特殊三角形和一般三角形的性质等结论的探索和证明；证明的思路和方法；利用尺规作线段的垂直平分线和角的平分线等的方法、步骤和理由；如何写出一个命题的逆命题，了解互逆命题的真假关系。

第二课时，教师可安排一些相关的题目供学生对所学知识进行复习巩固。

回顾与思考也为学生的自评提供了机会。

课后，教师可以要求学生独立完成一份小结，用自己的语言梳理本章内容，并回顾学习本章的收获、存在的问题和需要改进的地方，教师也可以据此了解每一个学生的学习状况，并适时调整教学。

第三章证明（三）
一、教学目标
1．经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力。

2．进一步掌握综合法的证明方法，能够证明与平行四边形、等腰梯形、矩形、菱形以及正方形等有关的性质及判定的定理，并能够证明其他相关的结论。

3．体会在证明过程中所运用的归纳、转化等数学思想方法。

二、设计思路
本章的设计思路与第一章类似，从内容上讲它是证明（一）和证明（二）的继续。

在本章中可作为论证前提的结论更加丰富，因此，证明的方法和过程会对学生更具挑战性。

与证明（一）、证明（二）类似，本章中所涉及的很多命题在前几册中已由学生们通过一些直观的方法进行了探索，所以学生们了解这些结论，对于这些命题，教材中利用提问题的方式使学生们联想回忆起它们，然后利用公理和已有的定理证明它们。

在证明的过程中，教材力争将证明的思路展现出来，而原来结论的探索方法，往往会对证明的思路有所提示，所以也建立了直观与抽象的结合。

此外，教材还注意渗透数学思想方法，如特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化的思想方法等。

在证明等腰梯形的两个底角相等时，教材在分析证明思路时指出将等腰三角形的两个底角转化为等腰三角形的两个底角，从而证明其相等。

同样，本章中还涉及到一些以前没有探索过的命题，如“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”等，对于这些命题，教材尽可能地创设一些问题的情景，为学生提供自主探索发现的空间，然后再进行证明，从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用。

教材还注意引导学生探索证明不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，开阔学生的视野，培养学生的思维能力，如在一种证明结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗？
与同伴交流”
本章虽然以逻辑证明为主，但在素材和背景的选取上还希望尽可能地与实际联系，增强论证的趣味性，从而激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心，同时也使学生体会到逻辑证明在实际中的意义和作用。

三、课时安排建议
1．平行四边形3课时
2．特殊平行四边形3课时
回顾与思考2课时
四、教学建议
1、使学生经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性。

在本章中，虽然涉及到的要证明的定理中很多是学生以前探索或是他们较为熟悉的，但是仍然有一些命题是需要学生经过探索、猜想得到后再去证明的，例如三角形的中位线的性质、四边形的各边中点的连线所成的四边形的形状等结论。

教师应充分利用这样的机会，启发引导学生积极探索、发现结论，同时体会探索结论的方法，并体会获得猜想后还应予以证明的意义，感受合情推理与论证推理的相互依赖和相互补充的辨证关系。

2、注重对证明思路的启发，提倡证明方法的多样性。

探索证明的思路与方法仍是学习本章内容的重点之一。

教师在教学中应注意在证明思路和方法上对学生的引导，帮助学生分析辅助线的添加、辅助图形的构作。

很多图形性质及结论的证明的方法和途径是不唯一的，辅助线的添加方法也是多样的，因此，教师在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中
比较证明方法的异同，提高逻辑思维水平。

3．注意提高学生的逻辑证明的能力
在前面的学习中，学生对推理证明的基本要求、步骤和基本方法等已经有所掌握，因此在本章的学习中，教师应注意通过一定的练习进一步提高学生的推理证明的能力，这其中包括对证明的思路和方法的分析和推理证明过程的完成。

但是教学中要注意避免一味的追求所证命题的数量、证明的技巧，应依据教材中的基本要求，控制好所证命题的难度。

4．注意数学思想方法在教学中的渗透以及对学生学习方法的启发。

在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方法，如由特殊到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法、反证法的思想方法等，教学中应注重这些思想方法的强化和渗透，有意识的引导学生去领会这些思想方法并运用在问题的解决过程中。

五、评价建议
1．关注对学生探索结论和证明思路、方法等过程的评价。

在本章中，无论是一些新结论的获得，还是命题证明的思路和方法的获得，都需要学生进行探索，因此对学生在这些探索活动中的表现是我们评价的重要方面。

一是要关注学生是否积极主动参与探索活动以与同伴之间的交流情况。

二是能否通过独立思考获得证明的思路，能否使用规范的数学语言表达思考的过程，能否尝试用不同的方法去证明同一个命题。

2．关注评价学生推理论证能力和水平的提高。

在本章的命题证明中，相对于证明的技巧来说，证明的思路和方法是很重要的。

所以，要关注学生对证明思路、方法的掌握，如能否借助直观操作等较为顺利地构作辅助线或辅助图形，能否顺利地完成对一个命题的证明的全过程。

教师在评价学生的证明能力和水平时，要注意到学生的个体差异，要关注学生个体的变化和自身的提高，及时对学生的逻辑推理能力的变化提高给予鼓励。

各节内容与目标：
1．平行四边形
教学目标：
1．经历探索、猜想、证明的过程，发展推理论证的能力。

2．能够用综合法证明平行四边形的性质定理和判定定理以及其它相关结论。

3．体会在证明过程中所运用的归纳、转化等数学思想方法。

平行四边形的性质及判定条件学的教学建议：
（1）平行四边形的性质及判定条件学生已经探索过，此处先让学生们尽可能地回忆出来，然后再考察哪些能够先证明出来，哪些结论的证明所需要的依据还不足，即考察它们之间的逻辑顺序如何。

教师可给学生一定的空间去讨论，不必按命题的逻辑顺序直接将要证明的命题交给学生。

因为学生通过思考命题间的逻辑顺序会使他们对证明的意义有更深刻的认识和理解。

三角形中位线的处理思路：
（1）教科书设计了一个问题情景，通过学生对所提问题的思考和解决,自然而然地引入了三角形中位线的概念,并在所讨论的图形中隐含着三角形中位线与底边的关系.教学时,教师应为学生的探索和讨论提供可能,尽可能地使学生在自主探索与合作交流的基础上发现结论并证明结论,让学生经历探索、猜测、证明的过程。

（2）验证四个小三角形全等的方法可以是直观的，也可以是逻辑证明。

此处，学生用逻辑证明的方法可能比较困难，因此，可以让学生用直观的方法（如剪切后使之重合）来验证。

待证明了三角形的中位线定理后再证明它们全等就容易了。

2．特殊平行四边形
教学目的：
1．经历探索、猜想、证明的过程，发展推理论证的能力。

2．能够用综合法证明矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理以及其它相关结论。

3．体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。

4．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。

矩形、菱形和正方形这三种特殊的平行四边形的处理思路：
1在第三册中已经讨论了矩形、菱形和正方形这三种特殊的平行四边形，并讨论它们之间的关系，教学时，应让学生们先回忆它们的定义，并进一步了解它们的关系。

2矩形等的性质学生们已有所了解，这里的重点是要严格的证明它们。

回顾与思考
本“回顾与思考”中设立了几个问题，分别说明了本章的几个重点要掌握和体会的内容及方法。

希望学生通过对这几个问题的思考，梳理本章的知识内容，总结相关的数学思想方法。

教学时，应鼓励学生带着这些问题，回顾所学内容。

在对问题进行回答时，教师应关注学生对问题的理解，并能开展小组交流和讨论，使学生在反思和交流的基础上对所学内容在思想方法上有一定的提升。

本“回顾与思考”教师可以安排2个课时。

第一课时，教师可与学生一起回顾一下本章的主要内容：认识特殊四边形之间的关系；证明它们的性质定理和判定条件；应用所得的结论进行通过计算和证明解决一些问题；通过证明使学生对证明的必要性有进一步的认识。

本章是证明部分的结束，因此，第二课时可对这三章的内容进行全面的回顾。

这三章可以看成为一个局部的公理化体系，即由给定的六条公理出发，通过逻辑推理证明，得到有关三角形和特殊四边形等基本图形的性质。

教师应利用回顾与思考为学生提供的自评的机会。

课后，教师可以要求学生独立完成一份小结，用自己的语言梳理本章的内容，并回顾学习本章的收获、存在的问题和需要改进的。