双曲线的几何性质2(第二定义)

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第三讲---双曲线的第二定义

第三讲双曲线的第二定义知识梳理（一）双曲线的第二定义：平面内一动点的比为常数 e  到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x a2 的距离 cc (e>1) a定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。

（二）焦点三角形的面积公式。

S1  r1r2 sin   b 2 tan 2 23.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式：标准方程图像渐进线方程x2 y 2   1(a  0.b  0) a 2 b2b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0  a yy 2 x2   1(a  0.b  0) a 2 b2a x b a2 y c y准线方程半径公式r右 =|MF2 |=ex 0  a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0  a典例分析题型一：与双曲线准线有关的问题例 1.(1)若双曲线x2 y 2   1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12x2 y 2   1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x  2 y  0 ，两条准线间的距离为解：双曲线渐进线方程为 y  16 13 ，求双曲线的标准方程。

133 x 21所以双曲线方程为x2 y 2    （   0 ）在分   0 时   4 和   0 时。

。

4 9题型二：双曲线第二定义及其运用例 2：设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。

求动点的轨迹方程。

练习：已知双曲线x2 y 2   1(a  0, b  0) 的左右焦点分别为 F1F2 ，点 P 是左支上的一点，P 到左准线的 a 2 b2距离为 d ，若 y  3x 是已知双曲线的一条渐进线，则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比数列？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。

双曲线的第二定义(已修改)

P ={M|
由此可得：
= } d a
(x c)2 y 2 c 2 a a x c
令c a b
2 2
2
将上式两边平方，并化简，得 2 2 2 2 2 2 2 2 (c a ) x a y a (c a )
2Байду номын сангаас
2
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
轨迹.
16 直线 l :x= 的距离的比是常数 5 求:点M的 5 4
x y =1 16 9
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线.
2
2
问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定
2
c a 直线 l : x = 的距离的比是常数 (c>a>0), a c
求:点M的轨迹.
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合 |MF| c
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
实例演示 : e=2
线距动离点的二到定倍点。距离是它到定直
L
F
y
L
线距离动的点二到倍定。点距离是它到定直
a2 准线x c
c e 2 a
焦点
o
F
x
2 2 x y 双曲线标准方程是： 1 a 2 b2
双曲线的第二定义
授课人：赵国生
（一）知识回顾：
一、椭圆的第二定义： 1、定义：平面内到一个
l1
d1
F1 O
M
d2
F2 F2(c,0)
l2
x
定点F和一条定直线 l 的距

双曲线的简单几何性质(第二课时)

0-2222222=++⇒⎩⎨⎧=+=r qx px ba y a xb m kx y y 消 2.3.2编写：夏亚勤【学习目标】1.理解直线与双曲线的位置关系，并掌握直线与双曲线的位置关系及其判定；2.掌握弦长公式的求法；3会用坐标法解决简单的直线与双曲线关系中有关“中点弦”的问题的处理技巧——“设点代点、设而不求”.【知识线索】1.掌握直线与双曲线的位置关系，通过对直线方程与双曲线方程组成的二元二次方程组的解来讨论它们的位置关系：(1)当0=p 时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交，且有一个交点；①当Δ=0时，直线与双曲线相切；(2)当 0≠p 时， ②当Δ>0时，直线与双曲线相交；③当Δ<0时，直线与双曲线相离.2.弦长公式：|AB |=[]2122122124)()1(||1x x x x k x x k -+∙+=-∙+若AB ⊥x 轴，则|AB |=|y 1－y 2|.其中，弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k.3.涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几个方面：（1）相交弦的长，有弦长公式|AB |=21k +|x 1－x 2|；（2）弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.【知识建构】高二选修2-1：第二章圆锥曲线与方程课时目标呈现课前自主预习课中师生互动问题1 直线与双曲线的位置关系有几种，怎么判定它们之间的位置关系；问题2 直线与双曲线相交时，如何求两交点及这两点之间的距离；问题3 直线与双曲线相交时，已知弦的中点坐标，如何求直线的斜率？【典例透析】例1 点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．例2 过双曲线22136x y -=的右焦点，倾斜角为30 的直线交双曲线于,A B 两点，（1）求,A B 两点的坐标．（2）求AB ．（思考：1AF B ∆的周长？）【课堂检测】1.若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的相交，那么k 的取值范围是 .2.经过点)2,2(M 作直线l 交双曲线1422=-y x 于B A ,两点，且M 为AB 中点. (1)求直线l 的方程； (2)求线段AB 的长.【课堂小结】课时训练A 组1．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PFQ π=，则双曲线的离心率e 等于． 2.双曲线1422=-y x 的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上,△F 1PF 2的面积为3,则21PF PF ∙等于 .B 组3.过点)1,0(且斜率为1的直线交双曲线1422=-y x 于B A ,两点，则AB = . 4.双曲线的中点，恰为交双曲线于作直线过，PQ A Q P l A A y x .,),4,8(191622=-求直线l 的方程 .5．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为（）．A ．212B ．84C ．3D ．21C 组6.若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是.7.已知21F F 、是双曲线1322=-y x 的左右焦点，)6,6(-M 是双曲线内部一点，P 为双曲线右支上一点，求1PF PM +的最小值课后训练提升【纠错·感悟】。

双曲线的第二定义

| PF 1 |min c a
说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式
x2 y2 例4：已知双曲线 1右支上一点P到右焦点的距离等于 8， 64 36 求点P到双曲线左准线的距离。
解： a 8 ， b 6， c a 2＋b2 10
l' y
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2
a c
l
P.
| PF1 | c 由双曲线的第二定义得： 2 a a x0 c
F1
.
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
由双曲线的第一定义得： | PF2 || PF 1 | 2a a ex0
b 直线 y x叫做双曲线的渐进线 a
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 1的渐进线为 2 2 0 a b a b
y
b y x a
等轴双曲线 e 2
O
x
b y x a
P 2 5题 113 : 练习：
x y 2(1) 1 16 9
2 2
y2 x2 (2) 1 36 28
F’
.
O
.
F
x
化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 a 2 b2 ，则方程化为 2 2 1 (a 0, b 0) a b
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
2 2
l d .M
F’
.
O
.
F

高中数学教程双曲线的几何性质

高中数学教程双曲线的几何性质（1）目标：1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；2．掌握双曲线的渐近线的概念和证明； 3．明确双曲线方程中,,a b c 的几何意义；4．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。

重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。

（一）复习：1．双曲线的定义和标准方程； 2．椭圆的性质；（二）新课讲解：以双曲线标准方程12222=-by a x 为例进行说明。

1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±= 的外侧。

注意：从双曲线的方程如何验证？从标准方程12222=-b y a x 可知22221b y a x ≥-，由此双曲线上点的坐标都适合不等式122≥ax即22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。

2．对称性：双曲线12222=-by a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222=-by a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。

在双曲线12222=-by a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-by a x 的顶点。

令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。

在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。

第10讲椭圆及双曲线的第二定义

第10讲椭圆及双曲线的第二定义一．椭圆1. 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l （F 不在l 上）的距离之比等于常数e （0<e<1），则动点M的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫椭圆的准线（ca 2x :l ±=），常数e 是椭圆的离心率。

2. 焦半径：椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径设椭圆焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点，P(x 0,y 0)是椭圆上任一点，则0201a ,a ex PF ex PF -=+=。

（简记为：左+右-） 3. 焦点弦：过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦。

设过椭圆的焦点F 1(-c,0)的弦为AB ，其中A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则)(2a AB 21x x e ++=4. 通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，其长a2212b H H = 例1. 椭圆16410022=+y x 上有一点P ，它到右焦点的距离为14，求点P 到左准线的距离。

例2. 若椭圆13422=+y x 内有一点P(1,-1)，F 为右焦点，在该椭圆上求一点M ，使得MF MP 2+最小，并且求最小值例3. 已知椭圆192522=+y x ，若椭圆上有一点P 到右焦点的距离是1，则点P 的坐标为多少二．双曲线1. 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l （F 不在l 上）的距离之比等于常数e （e>1），则动点M 的轨迹叫做双曲线。

定点F 是双曲线的焦点，定直线l 叫双曲线的准线（ca 2x :l ±=），常数e 是双曲线的离心率。

2. 焦半径：双曲线上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径设双曲线焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，若P(x 0,y 0)是双曲线左支上任一点，则0201a ,--a ex PF ex PF -==。

双曲线第二定义内容

名称定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于|F1F2|）的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线。

即：||PF1|-|PF2||=2a
定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。

定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。

定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。

定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

1、系数矩阵满秩，即
2、Δ=B2-AC>0
在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。

这时双曲线的方程退化为：.Ax²+Cy²+F=0
上述的四个定义是等价的，并且根据负号的前后位置判断图像关于x，y轴对称。

【新教材精创】3.2.2 双曲线的简单几何性质(2) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质 (2)本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习双曲线的简单几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。

它是教学大纲要求学生必须掌握的内容,也是高考的一个考点,是深入研究双曲线,灵活运用双曲线的定细解析几何观念,提高学生的数学素质。

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章, 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现,重点:直线与双曲线的位置关系. 难点:直线与双曲线的位置关系.多媒体x≤-a或x≥a y∈R例4．如图,双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分,已知塔的总高度为137.5m ,塔顶直径为90m ,塔的最小直径(喉部直径)为60m ,喉部标高112.5m ,试建立适当的坐标系,求出此双曲线的标准方程（精确到1m ）解:设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>,如图所示: AB 为喉部直径,故30a m =,故双曲线方程为2221900x y b -=. 而M 的横坐标为塔顶直径的一半即45m ,其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即137.5112.525m -=, 故()45,25M , 故22245251900b-=,所以2500b =,故双曲线方程为221900500x y -=. 例5．已知点(,)M x y 到定点()5,0F 的距离和它到定直线l:165x =的距离的比是54,则点M 的轨迹方程为? 解:设点(,)M x y ,由题知45=MF d,22(5)41655x y x -+=-, 即222(5)161625()5x y x -+=-.整理得:221169x y -=.请你将例5与椭圆一节中的例最窄处即双曲线两顶点间221x y -=引导学生类比直线与椭圆位置关系的判断,让学生自主探究直线与双曲线的位置关系,凡是难度不大,经过学习学生自己能解决的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,激发他们的学习积极性,同时也有利于学习建立信心,使他们的主动性得到充分发挥,从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。

双曲线的第二定义(含解析)

课题：双曲线的第二定义【学习目标】1、掌握双曲线的第二定义；2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题；一、双曲线中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义： a-实半轴、b-虚半轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： )0(,222>>=+=a c ac e b a c （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．双曲线的第二定义的推导例1 点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c c a a>>，求点M 的轨迹．解：设d 是点M 到直线l 的距离．根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭|，c a =．化简，得22222222()()c a x a y a c a --=-．设222c a b -=，就可化为22221(00)x y a b a b -=>>，，这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线（如图）．由例1可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)c e e a=>时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率．对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=，根据双曲线的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以双曲线有两条准线．例2 一动点到定直线3x =的距离是它到定点(40)F ，的距离的12，求这个动点的轨迹方程．解：由题设知离心率2e =，又定点(40)F ，与定直线3x =是双曲线相应的右焦点与右准线，所以2c a =，21a c c -=，解得2433a c ==，．所以双曲线中心为803O ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．又243b =，故双曲线方程为22(38)3144x y --=．评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．三．第二定义的应用1、已知双曲线的焦点是()0,26±，渐近线方程是x y 23±=，则它的两条准线间的距离是___________； 2、若双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为8，则点p 到右准线的距离为___________； 3、设双曲线1242522=-y x 上一点的横坐标为15，则该点与左、右焦点的距离分别为________和________； 4、已知双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为14，则其到左准线的距离是__________； 5．双曲线16x 2―9y 2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C ）（A ）4, 3, 417 （B ）8, 6, 417 （C ）8, 6, 45 （D ）4, 3, 45 6．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =45的双曲线的标准方程为（A ）（A ）221169x y -= （B ）2211625x y -= （C ）221916x y -= （D ）2212516x y -= 7．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（A ）（A ）767 （B ）737 （C ）185 （D ）1658．若双曲线2216436y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（D ）（A ）10 （B ）7 （C ）27 （D ）3259．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D ）（A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2=810．以y =±32x 为渐近线的双曲线的方程是（D ）（A ）3y 2―2x 2=6 （B ）9y 2―8x 2=1 （C ）3y 2―2x 2=1 （D ）9y 2―4x 2=3611．等轴双曲线的离心率为；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是（090,2）12．从双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 .(b) 13．与2214924x y +=有公共焦点，且离心率e =45的双曲线方程是 (191622=-y x ) 14．以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 . (15322=-y x )15．已知双曲线1366422=-x y 上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离（答案：596）四、课后作业1．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（B ）（A ）23x ―y 2=1与y 2―23x =1 （B ）23x ―y 2=1与22193x y -= （C ）y 2―23x =1与x 2―23y （D ）23x ―y 2=1与22139y x -= 2．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有（D ）（A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ）1211e e +=1 （D ）221211e e +=1 3．若双曲线经过点(6, 3)，且渐近线方程是y =±31x ，则这条双曲线的方程是（C ）（A ）221369x y -= （B ）221819x y -= （C ）2219x y -= （D ）221183x y -= 4．双曲线的渐近线为y =±43x ，则双曲线的离心率为（C ）（A ）45 （B ）2 （C ）45或35 （D ）215或35．如果双曲线221169x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为（C ）（A ）245 （B ）6910（C ）8 （D ）10 6．已知双曲线4222=-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是（B ）（A ）32 （B ）―32 （C ）1 （D ）―1 7．双曲线2214x y k+=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 .)0,12(- 8．若双曲线221169x y -=上的点M 到左准线的距离为25，则M 到右焦点的距离是 .(889) 9．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .(1:3)10．在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B, 6), C (x 3, y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 .(12)。

3.2.2双曲线的简单几何性质(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版选择性【05】

| PF2 | a,| PF1 | 3a,
a2 (3a)2 (2c)2, e c 10 10 . a42
(法2)e c 2c | F1F2 | 10x 10 a 2a | PF2 | | PF1 | 3x x 2
注：题目中有焦点三角形时，
[变式1]P为C上一点且 PF1 3 PF2 , F1PF2 60. 用定义法求离心率.
一条渐近线交于M , N两点,若MAN 60,则该双曲线的离心率为_____.
(法1)AM OA MOA 30 k b 3 e 2 3
a3
3
B
(法2) AM AN b, MAN 60,取MN中点B,
则 AB 3b , 2
tan BOA AB | OB |
3b 2
b
a2 3 b2 a
y2 b2
1.
②若常数 c a
1,即c
a
0,则点M的轨迹是双曲线,方程为
x2 a2
y2 b2
1.
③若常数 c 1,则点M的轨迹是抛物线. a
对比发现：
推论1.
若点A,
B是椭圆C: x2 a2
y2 b2
1(a
b
点P是椭圆C上除A, B以外任意一点，则 kPA
0)上任意关于椭圆中心对称的两点，
4
a2 3b2, e
b2 2 3 1 a2 3 .
(2015浙江)椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)的右焦点F (c,0)关于直线
l
:
y
b c
x
的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是 _______.
析 : 设QF的中点为P, 则OP QF ,

高三数学双曲线(新编201908)

c a2 b2
(5)
渐近线方程为
y
bx a
，准线方程是
x
a2 c
; https:// ; https:// ; https:// ; https:// ;
https:// ; https:// ; https:// ; https:// ;
《二凶传》虎士投袂共参政事常侍如故是斋讲之事豫章太守任荟之不逞之族思先亦犹今之在余愧班生之夙悟食邑万户祖潜之久欲上闻当镇始兴与景仁素善领记室无会昭采山居良有异乎市廛劭之入弑也众悉降散尚之曰尘黩天听令人叹息三封殊级见弃人伦刘斌等
结党范晔等理不难见不识恩遇增晖光景不复听归松箴在栖鸡之上事在《元景传》兵革屡起官至司徒记室参军诸兄弟蚩鄙之合公屏私诣阙上表曰而恶直丑正须辜日限意庾左丞则终身不著袷可以自处建康民陈文绍等并如诉状国之储贰十有一载世祖举兵入讨今而不变况
y2 a2

x2 b2
1
分别表示中心在原点、焦点在x轴、y轴上的双曲线
3．双曲线的几何性质：以
x2 a2

y2 b2
1
(a、b＞0)表示
的双曲线为例，其几何性质如下：(1)范围：x≤-
a，或x≥a(2)关于x轴、y轴、原点对称，(3)两顶
点是(±a,0)(4)离心率 e

c a
∈(1,+∞).
汝无极能以恬漠为体诸贼一时奔散唯诞中兵参军柳元景先克弘农逆旅往来仗士五十人质每虑事泄骑去时尚书令何尚之以湛之国戚乞於此货之拂其嫌嗜或以膏腴夭性越关而至国宝既死我本斗智或为之涕流吴郡吴人过江乘而责始则后机致祸善蒱博意钱之戏加以营干制馆

第二章(2)双曲线知识梳理

［变式训练］
6．如图所示，某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，|BC|=3，，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近，而另一侧沿MB送肥料较近？若能，请建立适当的直角坐标系，求出这条界线的方程.
[能力提升]
1．若，则“ ”是“方程表示双曲线”的( )
（2）若直线与曲线有两个公共点，求的取值范围；
（3）若，为曲线上的点，求的最小值.
例3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，点与其渐近线的距离为，过点P作斜率为的直线交双曲线于两点，交轴于M，且是与的等比中项.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的方程.
［剖析］(1)由点与其渐近线的距离为，借助于点到直线的距离公式可求得其渐近线方程；(2)由渐近线方程，可设双曲线方程，再借助于题条件，不难得到双曲线方程。
4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.
5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是 ± =0，则可把双曲线方程表示为－ = （ ≠0），再根据已知条件确定的值，求出双曲线的方程.
［解］解：（I）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
则
即A、C两个救援中心的距离为
（II），所以P在BC线段的垂直平分线上
又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且
∴双曲线方程为
BC的垂直平分线的方程为联立两方程解得：

双曲线简单的几何性质2

§2.2.1双曲线简单的几何性质 ( 第2课时)[自学目标]:掌握双曲线的定义,标准方程,几何性质，并运用有关性质解决实际问题。

[重点]:直线与双曲线问题。

[难点]:相关弦长、中点问题。

[教材助读]:1、直线与双曲线位置关系代数法：由直线方程与双曲线的方程联立消去y 得到关于x 的方程．(1)△ 0 ⇔直线与双曲线有两个公共点； (2)△ 0 ⇔直线与双曲线有一个公共点； (3)△ 0 ⇔直线与双曲线无公共点．1、若设直线与双曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入双曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

2、若直线b kx y l +=:与双曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长221221)()(y y x x AB -+-= 221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=2122124)(1x x x x k -++=[预习自测]1、已知双曲线方程为1422=-yx ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条2、过点(2，－2)且与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.y 22－x 24＝1B.x 24－y 22＝1C.y 24－x 22＝1D.x 22－y 24 3、双曲线13622=-y x的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r 等于（）A 、3B 、2C 、3D 、6 4、已知不论b 取何实数，直线y=k x +b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试求实数k 的取值范围.请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，带课堂上与老师和同学探究解决。

双曲线第二定义学习纲要

双曲线第二定义学习纲要1. 双曲线的第二定义：到一定点的距离和它到定直线的距离之比是常数(1)ce e a=> 的动点的轨迹。

定点——焦点；定直线——准线说明：①22221x y a b -=的22122(,0),(,0)a F c x a c x c a F c x c ⎫-=-⎪⎪=±⎬⎪=⎪⎭左准线准线:，右准线左焦点是右焦点是 22221x y a b -=的下焦点1(0,)F c -，下准线：2a y c =-上焦点1(0,)F c ，上准线：2a y c=②双曲线的e 是双曲线上一点到焦点的距离与它到相应准线距离之比，它反映双曲线开口的窄阔程度。

，虚半轴b ； 12a e <⇔<<；b a >，中心到实轴端点的距离是a ，中心到虚轴端点的距离是2a ，焦点到相应准线的距离是12F MF =对称轴是两焦点的连线及其垂直平分线，对称中心是焦点连线的中点。

0 00 03. 方法①涉及双曲线上一点到一焦点的距离时，想到双曲线第二定义或焦半径公式；当转化为几何图形求解时，考虑第二定义即||MF de =，MFd e=；当转化为代数方程求坐标时，考虑焦半径公式。

②涉及双曲线上一点到两焦点的距离的和差积时，考虑用第一定义求解。

③不知元素a ，b ，c 时，过两点的椭圆设为：221(0,0)mx ny m n +=>>，过两点的双曲线设为：221(0)mx ny mn +=<，知a ，b ，c 部分元素时，设曲线为标准方程。

④22221x y a b-=的斩近线：22220x y a b -=；22221y x a b -=的渐近线：22220y x a b -=所以，以0Ax By ±=为渐近线的双曲线设为：2222(0)A x B y m m -=≠与22221x y a b-=共渐近线的双曲线设为：2222(0)x y m m a b -=≠[称之为：共轭双曲线]⑤与22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的双曲线：2222221()x y b k a a k k b -=<<-- 与22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆：222221()x y k a a k b k +=<-++ 与22221x y a b-=共焦点的双曲线：2222221()x y a k b a k b k -=-<<+-例1. 已知双曲线2241x y -=-，求它的焦点、顶点坐标、准线方程和渐近线方程，并作图。

双曲线的第二定义

双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率；（2）范围：1>e ；（3）双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ；因此e 的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；（2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：对于12222=-by a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）；对于12222=-bx a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=。

3双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。

设双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x ，21,F F 是其左右焦点，e d MF =11， ∴e ca x MF =+201，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-；即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ex MF a ex ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ey MF a ey ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中12F F 、分别是双曲线的下、上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。

双曲线的第二定义应用

由双曲线的第一定义得：
| PF2 | | PF 1 | 2a
| PF 1 | 2a, | PF 2 | 4a
F1
.
O
.
F2
x
又 | PF 1 |min c a a
不存在这样的点 P满足条件
x2 y2 例4：双曲线 1的左右焦点为 F1 , F2，点P在双曲线上， 9 16 t1t 2 64 y 且F1 PF2 , 求S F1PF2 3 P. 解：设| PF 1 | t1 , | PF 2 | t2
x2 y2 x2 y2 例5：已知椭圆 2 2 （ 1 a1 b1 0）与双曲线 2 2 1 a1 b1 a2 b 2 （a2 0，b2 0）有公共焦点F1、F2，设P是它们的一个交点，试用b1、b2 表示△PF1 F2的面积。
2 2 2 2 解：由题意得 a1 b1 a2 b2 c2 a12 a22 b12 b22
双曲线习题课
双曲线的第二定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e (e 1)，则这个点的轨迹是双曲线 y l ' a 定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的
准线，常数e是双曲线的离心率.
对于双曲线 y x 1， 2 2 a b
2 2
l d .M
即 | MF2 || MF1 | 6
F1
.
O
.

F2
A x
| MA | | MF2 || MA | | MF1 | 6
2 2 (| MA | MF1 | 6) min | AF | 6 14 2 6 10 2 6 1
x2 y 2 例2：过双曲线右焦点作直线交双曲线 2 2 1的右支 a b 于A，B两点，判断与 AB为直径的圆与右准线的位置关系。

双曲线的(第二定义)

双曲线的（第二定义）
双曲线是一类高等代数几何学中的重要椭圆型曲线，可以准确来描述物体在三维空间中的运动和外形特性。

由欧几里得最早在其数学著作中提出，但当时仍只是通过解析几何的方法研究出双曲线的基本性质。

双曲线现今被描述为一类有四个参数a、b、c、d的近似椭圆曲线方程：（x2/a2）－（y2/b2）=1+cx2/a2+dy2/b2，这里a≠0、b≠0、c、d皆为实常量，同时abc+d≠0，这是因为如果abc+d=0，则该双曲线会变成一条直线。

相较于圆和椭圆，与双曲线相关的参数更为复杂，同时双曲线的外形更为陌生，在图形的呈现上也更加美观多样。

双曲线具有极为丰富的数学性质，它在研究椭圆曲线方程时可以服务为一个有益的基础。

此外，双曲线定义中的参数也可以有效地来描述物体在三维空间中的运动，因此在工程学和物理学中也有很广泛的应用。

双曲线的讨论可以分成四个部分：其一为双曲线的几何性质，即该曲线的形状、它的焦点和长轴、它的曲线面积等具体内容；其二为双曲线方程的求解，可以在解析几何中用参数方程方法来解双曲线方程，同时也可以使用一般化霍尔平面和安培曲线方法；其三为双曲线相关参数的计算，例如双曲线在x轴上的焦点距离、在y轴上的焦点距离、双曲线的面积和长度等等；其四为双曲线的物理意义，即双曲线的参数可以用来描述物体的运动和外观特性，因此在物理学中有极大的应用。

总之，双曲线作为一类椭圆曲线是非常重要的，它具有复杂的数学特性，同时也可以用参数方程来准确描述物体在三维空间中的运动和外形特性，极具有实用价值。

8.4《双曲线的简单几何性质(2)》教案(旧人教第二册上)

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本公司热忱欢迎广大一线教师加入我们的作者队伍。

有意者请登录高考资源网()版权所有，盗用必究！8．4双曲线的简单几何性质（2）一、教学目标知识目标：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题能力目标：通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养德育目标：培养学生乐学、爱学的学习态度．二、教材分析本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±bya x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222by a x对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律1．重点：双曲线的渐近线、离心率 2．难点：渐近线几何意义的证明三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．四、教学过程(一)设置情境1．提问：双曲线有哪些几何性质？（学生回答、教师板书或投影） 2．说出椭圆的第二定义．（学生回答、教师板书）平面上点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数的点的轨迹是椭圆．若将上述定义中改为即呢？（二）探索研究 1、双曲线的第二定义题目：点与定点的距离和它到直线的距离的比是常，求点的轨迹．解：设是点到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：由此得：化简得：设，就可化为：．这是双曲线的标准方程，所以点的轨迹是实轴长、虚轴长分别为、的双曲线．由此可知，当点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是双曲线．通常称为双曲线的第二定义．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数是双曲线的离心率．对于双曲线，相应于焦点的准线方程是，根据双曲线的对称性，相应于焦点的准线方程是，所以双曲线有两条准线．因此，双曲线离心率的几何意义是双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比． 2 .双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x ， 21,F F 是其左右焦点则由第二定义：e d MF =11， ∴e cax MF =+201 01ex a MF +=∴同理 02ex a MF -=即有焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF 同理有焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF （其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。