高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》专项训练答案

【最新】数学《平面向量》专题解析(1)
一、选择题
1．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v
（ ）
A ．43
AD BE +u u u
v u u u v
B ．53
AD BE +u u u
v u u u v
C ．4132A
D B
E +u u u
v u u u v
D ．5132
AD BE +u u u
v u u u v
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的加减运算求解即可 【详解】 据题意，
2533
AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
．
故选B ． 【点睛】
本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题
2．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r
，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，则实数λ=( )
A 3
B 3
C 6
D 6【答案】D 【解析】 【分析】
将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
中计算即可. 【详解】
由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，知O 为ABC ∆的重心，
所以211()323
AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，
所以23
EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u
r u u u r
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC
=u u u r u u u r ，||2||
AB AC λ===u u u r
u u u r . 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
3．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r
的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为
()
2
11a -+，由二次函数性质可得结果.
【详解】
由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r
，
,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r
， ()2
111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.
故选：B . 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.
4．已知向量(sin ,cos )a αα=r
，(1,2)b =r
， 则以下说法不正确的是（ ） A ．若//a b r
r
，则1tan 2
α=
B ．若a b ⊥r
r
，则1tan 2
α=
C ．若()f a b α=⋅r
r 取得最大值，则1tan 2
α= D ．||a b -r
r 1 【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量平行、垂直、模以及向量的数量积的坐标运算即可判断.
【详解】
A 选项，若//a b r r
，则2sin cos αα=，即1
tan 2
α=
，A 正确. B 选项，若a b ⊥r r
，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.
C 选项，若()f a b α=⋅r r
取得最大值时，则())f ααϕ=+，取得最大值时，
()sin 1αϕ+=，2,2
k k Z π
αϕπ+=
+∈，又tan 2ϕ=，则1
tan 2
α=
，则C 正确.
D 选项，||a b -=
=r r
的最大值为
1=，选项D 正确.
故选：B . 【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及模的求法，掌握向量平行、垂直、数量积的坐标运算是解题的关键，是基础题.
5．在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交
AC 所在的直线于点F ，则向量AF u u u r
在向量BC uuu r 方向上的投影为（ ）
A ．2
B ．3
2
C ．1
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】 由1()2
AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， EF BC ⊥，得12AF BC ⋅=u u u r u u u r
，然后套用公式
向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影||
AF BC
BC ⋅=u u u r u u u r
u u u r ，即可得到本题答案. 【详解】
因为点E 为BC 的中点，所以1()2
AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
又因为EF BC ⊥，
所以()
22111()()()12222
AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=
-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ， 所以向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为2||
AF BC
BC ⋅=u u u r u u u r
u u u r . 故选：A. 【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.
6．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r
，则AE BF ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．24
B ．7-
C ．10-
D ．12-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r
用基底,AB AD u u u r u u u r 表达,再根据平面向量的数量积公式求
解即可. 【详解】
由已知得13AF AD =u u u r u u
u r ,12
BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r
,所以
1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13
BF AF AB AD AB =-=-u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r .
因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所
以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫
⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以
1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
221111
||||16(8)16126666
AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .
故选：D 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想.
7．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =u u u v u u u v ，则•EC ED u u u v u u u v
的值是（ ）
A ．4
5
-
B ．1516
-
C ．14
-
D ．58
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量表示化简数量积，即得结果. 【详解】
()()()()
•••EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC =++=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
222115
1416EO OC ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ,选B.
【点睛】
本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>
，过右焦点F 且斜率为()0k k >的
直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =uu u r uu r
，则k =（ ）
A ．2 B
C
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
由e =
a =
，b =，可设椭圆的方程为222
334x y c +=，()()1122,,,A x y B x y ，并不妨设B 在x 轴上方，由3AF FB =uu u r uu r
得到12123430x x c y y +=⎧⎨+=⎩，再由
22211334x y c +=，22
222334x y c +=得到A 、B 两点的坐标，利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】
因为c e a ===，所以2a b =，
所以a =
，b =，则椭圆方程22221x y a b
+=变为222
334x y c +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设B 在x 轴上方，则210,0y y ><， 又3AF FB =uu u r uu r
，所以()()1122,3,c x y x c y --=-，
所以()121
233c x x c y y ⎧-=-⎨-=⎩，12123430x x c
y y +=⎧⎨+=⎩
因为A ，B 在椭圆上，所以
2
2211334
x y c +=，①
22222334
x y c +=②. 由①—9×②，得2
121212123(3)(3)3(3)(3)84
x x x x y y y y c +-++-=-，
所以
21234(3)84c x x c ⨯-=-，所以12833
x x c -=-， 所以123x c =
，2109x c =
，从而1y =
，2y =
所以2(,)33A c -
，10(,)99B c c
，故9
102393
k c c +==- 故选：C. 【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，当然本题也可以利用根与系数的关系来解决，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
9．在ABC V 中，AD AB ⊥，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r
的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，利用数量积的分配律即得解. 【详解】
AD AB ⊥Q ，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r
， ()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2
333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：C 【点睛】
本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共
线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r
，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过
O 点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006
C ．2010
D ．2012
【答案】A
【解析】 【分析】
根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r
，及三点A ，
B ，
C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】
由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；
由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，
所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()
12010201020101
10052
2
a a +⨯=
=
=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
11．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且．2BP PA =，则
CP CB ⋅=u u u v u u u v
（ ） A ．13
B ．
12
C ．
23
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量的加减法及数乘运算用,CA CB u u u r u u u r 表示CP u u u v
，再利用数量积的定义得解．
【详解】
依据已知作出图形如下：
()
11213333
CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v .
所以2
21213333CP CB CA CB CB CA CB CB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v
2212
11cos 13333π=
⨯⨯⨯+⨯= 故选C 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题．
12．已知向量()()
75751515a b ︒︒︒︒
==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
因为1
1,1,cos75cos15sin 75sin15cos602
a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r ，所以
||1a b -===r r ，故选B.
点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r
，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合
数量积的运算法则即可求出.
13．已知平面直角坐标系xOy 中有一凸四边形ABCD ，且AB 不平行于,CD AD 不平行
于BC ．设AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，且2
2
2a b +=，求||||AB DC +u u u r u u u r
的取
值范围（ ） A ．(4,)+∞ B ．[4,)+∞
C ．(0,4)
D ．(2,4)
【答案】A 【解析】 【分析】
根据AD 中点(,),
E a b BC 中点(,)
F b a -，通过向量运算得到2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r
，从而有
2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r ，用两点间距离公式得到EF u u u r
，再根据AB 不平行于CD ，由||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r
求解.
【详解】
因为,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
所以2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，
又因为
2EF ===u u u r ，
所以24AB DC EF +==u u u r u u ，
因为AB 不平行于CD ，
所以||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以||||4AB DC +>u u u r u u u r
.
故选：A 【点睛】
本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
14．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点
C 在AB 边上的射影为
D ，则CD =（ ）
A ．4
B ．
C
．2
D
【答案】A 【解析】 【分析】
画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可求2
2
1
216y y -=，结合22
1244
y y CD =-即可求解 【详解】
如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12y y >， 由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，22221212
1212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r ，
()2
22221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016
y y y y ---= 解得2
2
1
216y y -=（0舍去），所以2222
12124444
y y y y CD -=-==
故选：A 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题
15．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r
，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值
范围是( ) A ．[0,2] B ．[0,2]
C ．[0,4]
D ．[0,8]
【答案】D 【解析】 【分析】
以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r
分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，
得到点C 在圆2
2
(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】
设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，
以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r
分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则
(2,0),(0,2)A B ，
依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，
设点(,)C x y ，则2
2
(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r
，
由圆心到直线22x y t +=的距离2
2
22222
t d +-=≤+，可得[0,8]t ∈.
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．
16．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r
，
则ABC ∆的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】 利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.
【详解】 由()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()
0CB AC CB CB AB ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，CB AB ⊥，即2B π∠=
，故ABC ∆为直角三角形.
故选：A.
【点睛】 本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.
17．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）
A ．714-
B ．24-
C ．514-
D ．30-
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求
出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，
()
0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D
因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q
()22
2001x x +=-解得01x =-
(
E ∴-
(
C Q ，()5,0D
CD ∴所在直线的方程为353y x =-+ 因为点M 在边CD 所在直线上，故设(),353M x x -+
(),353AM x x ∴=-+u u u u r
()1,343E x M x -=--u u u r
()()()3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r
242660x x =-+-
242660x x =-+-
2371
4144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝
当134x =时()max 71
4AM ME ⋅=-u u u u r u u u r
故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
18．在四边形ABCD 中,若12DC AB =u u u r u
u u r ,且|AD u u u r |=|BC uuu r |,则这个四边形是(
)
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．等腰梯形
D ．菱形
【答案】C
【解析】
由
1
2
DC AB
=
u u u r u u u r
知DC∥AB,且|DC|=
1
2
|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为|AD
u u u r
|=|BC
uuu r
|,所以四边形ABCD是等腰梯形.
选C
19．在OAB
∆中，已知2
OB=
u u u v
，1
AB
u u u v
=，45
AOB
∠=︒，点P满足
()
,
OP OA OB
λμλμ
=+∈R
u u u v u u u v u u u v
，其中λ，μ满足23
λμ
+=，则OP
u u u v
的最小值为（）A．
35
B．
25
C．
6
D．
6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据2
OB=
u u u r
,1
AB=
uu u r
,45
AOB
∠=︒,由正弦定理可得OAB
∆为等腰直角三角形,进而求得点A坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP
u u u r
.再由23
λμ
+=,将OP
u u u r
化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP
u u u r
的最小值.
【详解】
在OAB
∆中,已知2
OB=
u u u r
,1
AB=
uu u r
,45
AOB
∠=︒
由正弦定理可得
sin sin
AB OB
AOB OAB
=
∠∠
u u u r u u u r
代入
2
sin
2
2
OAB
=
∠,解得sin1
OAB
∠=
即
2
OAB
π
∠=
所以OAB
∆为等腰直角三角形
以O为原点,OB所在直线为x轴,以OB的垂线为y轴建立平面直角坐标系如下图所示:
则点A
坐标为⎝⎭
所以22OA ⎛= ⎝⎭u u u r
,)
OB =u u u r 因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r
则)22OP λμ
⎛ =+ ⎝⎭u u u
r ,22λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=
则OP =u u u r
=
因为23λμ+=,则32μλ=-
代入上式可得
=
=所以当95λ=时
, min 5
OP
==u u u r 故选:A
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.
20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r
，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）
A
B
C
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.
【详解】 因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
，
所以||4
EB =u u u r ， 故选：A
【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。