2010全国初中数学联赛总决赛集训题

2010全国初中数学联赛总决赛集训题（十四）
1．设圆内接四边形的两组对边分别相交于点两对角线相交于点，试证：圆心恰为的垂心。

2．在△ABC 中，∠C=90°，点E 1、E 2在边BC 上，且∠BAE 1=∠CAE 2，AE 1、AE 2分别与BA 边上的高CH 交于D 1、D 2，过D 1、D 2分别作AB 的平行线交BC 于F 1、F 2。

求证：2
2221111BF BE CF CE CF CE BF BE ⋅⋅=⋅⋅。

3．已知x 、y 、z 非负，求证：
222222))(())(())((y x xy yz zx x z x zx xy yz y z y yz zx xy x +-++++-++++-++ ≤))()()((x z z y y x z y x +++++。

4．已知AA '、BB '、CC '是锐角△ABC 的三条高，过A 作直线1l ⊥B C ''，过B 作直线2l ⊥C A ''，过C 作直线3l ⊥A C ''。

试证明：1l 、2l 、3l 相交于一点。

5．从1，2，3，…，1994这1994个数中任意选取k 个，使得所选的k 个数中以任意两个数为边长都唯一确定一个等腰三角形，试求k 的最大值。

6．试证明：对任意的自然数n ，方程221993n x y +=恒有自然数解。

7．如图，PAB 是⊙O 的割线，PC 是切线，CD 为的⊙O 直径，DB ，OP 相交于E ，求证：AC ⊥CE 。

8．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1，2，…，800。

它们将圆周分成800个间隙。

今选定某一点染成红色，然后，按如下规则，逐次染红其余的一些点： 如果第号点已被染红，则可按顺时针转过个间隙，再将所达到的那个端点染红，如此继续下去。

试问圆周上最多可得到几个红点？证明你的结论。

9．如图，设D 是锐角△ABC 内部一点，使得∠ADB -∠ADB=α，并有AC •BD=AD •BC ，求证2
sin 2α=⋅⋅BD AC CD AB 。

10．△ABC 中，∠BAC=045，AD 、BE 、CF 是三条高，试证：DE+DF ≤BC 。

11．已知CD 为Rt △ABC 斜边上的高，⊙O 1和⊙O 2分别为△ADC 、△BDC 的内切圆，AC 切⊙O 1于点P ，BC 切⊙O 2于点Q 。

AO 1、BO 2交于点O ，OM ⊥O 1O 2于点M 。

求证：∠O 1PM+∠O 2QN=0
45。

12．如图，P 为△ABC 内部任意一点，设AP 、BP 、CP 分别交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则有 S △DEF = ABC S PC
PF PB PE PA PD ∆⋅⋅⋅⋅
2。

2010全国初中数学联赛总决赛集训题（十五）
1．在正方形ABCD 的AB 、BC （或其延长线上）各取一点M 、N ，使∠MDN=0
45，作MP ⊥DN 。

求证：∠BPN=2∠ADN 。

2．求出所有形如0307030y x 且能被37整除的自然数。

3． 已知直线m 过⊙O 的圆心，直线l ⊥m ，M 是垂足，过l 上两点A 、B 作⊙O 的切线AC 、BD ，
C 、
D 是切点。

（1）若A 、B 在点M 的同侧，且AM>BM, 当AC -BD=AB 时，l 与⊙O 相切；
（2）若A 、B 在点M 的两侧，且AC+BD=AB 时，l 与⊙O 相切。

4．试证：存在无限多个有序自然数对（a 、b ），使对于自然数t ，数at b +是某两个连续自然数之积的充要条件是t 为某两个连续自然数之积。

5．P 在△ABC 的边AC 或其延长线上，且
k AC AP =，D 、E 在BC 上，且BD=DE=EC ，AE 、AD 分别交BP 于E 、G 。

求证：
)
2)(12(3++=k k k BP FG 。

E D
F C B A
6．已知H 是锐角△ABC 内一点，AH 、BH 、CH 分别交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F 。

且∠EDH=∠FDH ，求证AD ⊥BC 。

7．⊙O 1是等腰三角形ABC 的外接圆，⊙O 是以底边BC 为弦的一圆，⊙O 2内切于⊙O ，且与AB 、AC 分别切于点P 、Q 。

点I 为△ABC 的内心。

求证：∠PIQ+∠OBO 1= 。

8．如图，在五边形ABCDE 中，∠BAC=∠CAD=∠DAE ，∠ACB=∠ADC=∠AED=090，F 为CD
的中点，求证：AF 、BD 、CE 三线共点。

9．如图，不等边△ABC 的三边满足关系式)(2
1AC AB BC +=
，O 、I 分别为△ABC 的外心、内心，∠BAC 的外角平分线交⊙O 于点E 。

求证：AE IO 21=。

10．在实数范围内解方程：1)17)(15()16)(14(55=-++-+x x x x 。

11．4个互不相同且末位数字不是1的质数，其平方和等于4pq （p 、q 为质数，p ≠q ），A=2n pq
（n 为大于6的整数）是一个6位数，分别由A 的前3位数字，末3位数字组成的两个百位数之和等于10pq ，且前3位数字组成的百位数是2r （r 为质数）的形式，求这4个质数之积。

12．a 、b 、c 依次为△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 所对的边，且3990=+ctgA ctgC ctgB 。

求2
22a c b +的值。

2010全国初中数学联赛总决赛集训题（十六）
1．A 、B 、C 、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，问这个公路系统应该如何修建？
2．如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，过A 作⊙O 1、⊙O 2的直径AB 、AC ，P 是⊙O 1与⊙O 2的一条外公切线MN 的中点，过B 、P 、C 三点的⊙O 分别交⊙O 1、⊙O 2于B 1、C 1，直线BB 1、CC 1交于点Q ，求证：
（1）PQ = 16
MN ； （2）M 、N 、C 1、B 1四点共圆。

3．已知a 、b 、c 为非负实数，且1ab bc ca ++=，求证：
1115.2
a b b c c a ++≥+++
4．设N 为全体自然数的集合，给定k ∈N ，且k 是奇数。

证明：存在函数f ：N →N ，使得对每一个n ∈N ，都有(())f f n k n =*，且f 是严格递增的。

5． 对任意自然数n ，连结原点O 和点A n (n ，n +3)，用()f n 表示线段OA n 上除端点外的整点的个数，试求：(1)(2)f f ++…(1996)f 。

6．在△ABC 中，AB=37，AC=58，以A 为圆心、AB 长为半径作弧交BC 于点D ，且D 在B 、C 之间，若BD 与DC 长均为整数，求BC 的长。

7．k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(1175)540k k x k x ----+=的解都是整数。

8．在△ABC 的外侧作△BCP 、△CAQ 和△ABR ，使∠PBC=∠QAC=030，∠PCB=∠QCA=0
45，∠RAB=∠RBA=015。

求证△PQR 是等边三角形。

9．设ΔABC 的三边a 、b 、c 上的高分别为a h 、b h 、c h ，求证： 111111()(
)()()a b c a b c h h h a b c h h h a b c
++++=++++。

10．已知ab 为两位数，abcde 为五位数，若3()ab abcde =，试求abcde 。

11． 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点，且BM 1=CM 2，任作一条直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2。

试证：
1212AM AM AB AC AP AQ AN AN +=+。

12．锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，面积为S 。

△A 1B 1C 1与△ABC 相似，且顶点A 1、 B 1、C 1依次在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上，求△A 1B 1C 1面积S 1的最小值。

2010全国初中数学联赛总决赛集训题（十七）
1．半径为1、2、3的三圆两两外切。

（1）求与这三个圆都相外切的圆的半径长；
（2）求与这三个圆都相内切的圆的半径长。

2．已知△ABC ，I 为它的内心，∠A 、∠B 、∠C 的内角平分线分别与其对边交于'A 、'B 、'C 。

求证：
5342427
AI BI BI CI CI AI IA IB IC AA BB BB CC CC AA AA BB CC '''•••••<++-•≤'''''''''•••••。

3．1995个整数的和与积都等于1996，那么，这1995个整数的绝对值之和应是多少？请证明你的结论。

4．已知实数a 、b 、x 、y 对任何自然数n ，均满足：112n n n ax by ++=+。

求：n n x y +的值。

5．是否存在一个正整数a ，使得a 的各位数字之和为1997，2a 的各位数字之和19972？
6．已知点在△ABC 的内部，满足∠BPC -∠BAC=∠CPA -∠CBA=∠APB -∠ACB 。

求证：PA ·BC=PB ·CA=PC ·AB 。

7．1996年9月4日，科学家利用矩形计算机找到了第33个麦森质（素）数，这是人类迄今为止所知道的最大质数，它是：2-1（378632位）。

试求该质数的末两位数字。

8．已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A=020，D 在AC 上，而E 在AB 上。

若∠ABD=010，∠BDE=020，
求∠ACE 的度数。

9．11996S =++S 最接近的整数。

10．已知α、β、γ为△ABC 的三内角，且sin cos sin cos sin cos sin sin sin βγγααβαβγ
==。

求证△ABC 是正三角形。

11．设a 、b 、c 是△ABC 的三边长，求证：222()()()b c a c a b a b c +-+-+-≥
222222222()()()b c a c a b a b c +-+-+-。

12．设n =1997，1a 、2a ，…，n a 是1，2，…，n 的任一排列，令'19181917191619i i i i i a a a a a ---=-+-+，
961,2,
,19i =；"''''19181917191619j j j j j a a a a a ---=-+-+，961,2,,19j =；最后得到一个数971a A = ，求证：A 是偶数。

2010全国初中数学联赛总决赛集训题（十八）
1．设a 、b 、c 是非负实数，且满足a ≥b ≥c ，a b c ++=3，求证：222
ab bc ca ++≤3.375。

2．△ABC 的面积为1，DE ∥AB ，连结BD ，设△DCE 、△ABD 、△BDE 中面积最大者的值为y ，求y 的最小值。

3．不解方程，求作一个关于y 的一元二次方程，使它的两根分别是方程2
10x x --=的两根的7次方。

4．平面上有103个点，其中既无三点共线，又无四点共圆的情况，那么，至少存在一个圆，经过其中三点，且使得50个点在圆内，50个点在圆外。

5．已知实系数多项式函数2y ax bx c =++，对任何x ≤1，均有y ≤1。

试求a b c ++的最大
值。

6．设六位数n abcdef =，'n cdefab =，"n efabcd =。

（1）求n 使2111111n n '-=；
（2）求n 使3222222n n ''-=。

7．平面上有六个点，其中有三个点A 、B 、C 组成一个三角形，另外两点D 、E 组成一条线段，它们全在△ABC 内（包括边界），余下一点F 在线段DE 内。

求证：在这些点之间的最大距离和最小距离之比不小于3。

8．a 、b 、c 为三角形三边的长，求证： 222a b c a b c b c c a a b ++>+++++≥1()2
a b c ++。

9．已知m 为奇数，试证：(2)m m k k ++…(1998)m k +是2k k ++…1998k +的倍数。

10．如图，已知P 是⊙O 的直径AB 的延长线上的一点，且AB=2PB ，过P 作⊙O 的切线，切点为P ，过A 作AC ⊥PD 于C 交⊙O 于E ，连结PE 交⊙O 于F ，连结AF 并延长交PC 于G ，过C 作CH ⊥AP 于H ，连结EH 和GH 。

求证EH ⊥GH 。

11．⊙O 1、⊙O 2半径均为r ，⊙O 1过平行四边形ABCD 的二顶点A 、B ，⊙O 2过顶点B 、C 。

M 是⊙O 1、⊙O 2的另一个交点。

求证：△AMD 的外接圆半径也是r 。

12．对常数p ∈N ，如果不定方程22(1)x y p xy +=-有正整数解，试证必有p =5成立。

2010全国初中数学联赛总决赛集训题（十九）
1．△ABC 为⊙O 内接三角形，AB ＞AC ＞BC ，点D 在弧BC 上，从O 点分别作AB 、AC 的垂线交AD 于E 、F ，射线BE 、CF 交于P 点。

当PB=PC+PO 时，试求∠BAC 的值。

2．已知等腰△ABC 的顶角为0108，D 为AC 延长线上一点，且AD=BC ，M 为BD 中点，求
∠CMA 的度数。

3．有一个奇妙的正整数A ，A 的各位数字中只有两个不同的数码组成，A 2中却恰好有0，1，2，…，9这10个数码。

试求正整数A 。

4．在正方形ABCD 的边BC 、CD 上各有一点M 、N ，满足∠MAN=045，求证：
DN AD BM AB AN AM ++=。

5．已知a 、b 、c 都是[]0,1中的实数，求证：()(1)a b c abc ++-≤2。

6．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶4，∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c ，求证：a
c b 111=+，ab b c =-22。

（2）如果用“+”、“-”号连接从1到1997这1997个数，则无论用多少个“-”都不能使运算结果恰为1998；
（3）如果用“+”、“-”号连接从1到1999这1999个数，则最少用多少个“-”克使运算结果恰为2000。

8．已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，O、O1、O2、O3分别是△ABC、△ACD、△CBD、△O1O2D 的内心，连接O3O1、O3O2，并延长分别交AC、BC于点E、F，求证：E、O、F三点共线。

30，AD、BE是两条高，H为垂心，G为△ABH的重心，直线CG交9．在锐角△ABC中，∠B=0
AB、AD于M、N。

求证：△AMN为正三角形。

10．证明：对于任意给定的一个三角形，均存在一条直线同时平分三角形的面积和周长。

11．已知函数2
()f x ax bx c =++，当x ∈[-1，1]时，()f x ≤1，求证：a b c ++≤3。

12．设t 是自然数，则不等式2
1
182178++<<--t x t 仅有唯一的正整数解。

2010全国初中数学联赛总决赛集训题（二十）
1．在△ABC 中，∠B=0
50，∠C=0
30，D 为△ABC 内一点，满足∠DBC=∠DCB=0
20。

求∠DAC
的度数。

2．AD ，BE ，CF 是锐角△ABC 的三条高，外心O 到BC 边的距离等于d ，已知BF+CE=BC ，求证：
1111
3．设n 为自然数，n α、)(n n n βαβ<是一元二次方程2
2(2)3(1)0x n n -+++=两根的整数部分，求
99
9922
11βαβαβα+++ 的植。

4．如图正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，1为半径的弧交以BC 为直径的半圆于P ，连结并延长BP 交CD 于F 。

求证：四边形CEPF 的面积等于四边形ABPD 面积的16。

5．已知a 、b 、c 为正数，求证：
2>+++++b
a c
a c
b
c b a 。

6．在△ABC 中，∠ABC=070，∠ACB=030，P ，Q 为形内两点，∠QBC=∠QCB=0
10，∠PBQ=∠PCB=0
20，求证：A 、P 、Q 三点共线。

7．在△ABC 中，∠B=2∠C ，P 是形内一点，满足AP=AB ，PB=PC 。

求证：∠PAC=
3
1
∠BAC 。

8．在中国象棋棋盘上，“马”在起始位置。

（1）证明无论“马”怎样走，必须经偶数步才能吃掉对方在起始位置的“将”；
（2）若去掉河界，问“马”能否从起始位置跳到棋盘的每一个位置仅一次, 且又回到最初的起始位置？证明你的结论。

9．如图，已知四边形ABCD 把各边四等分，连结对边相对应的点交成四边形EFGH 。

证明：ABCD S S 四边形四边形4
1
EFGH。

10．有甲、乙两名军官及2000名士兵，为执行任务，每名军官要从这2000名士兵中挑选若干名士兵组成一支部队，两名军官必须轮流挑选。

如果某名军官轮到挑选最后一名士兵，则认为是“不吉”。

（1）当两名军官每次可挑选1名，或2名，或3名，或4名士兵时，如果军官甲先挑选士兵，他为了吉利，应采取什么样的策略？
（2）当两名军官每次可挑选2名，或3名，或4名，或5名士兵时，如果军官甲先挑选士兵，他是否一定能出师“大吉”？为什么？
11．试求出所有的整数k ，使得x 的一元二次方程019)13(22
=-+--k x k kx 的某一个根是一个分母为1999的既约分数。

12．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且 DE=2
3
BC ，BE 与CD 相交于点O ，AO 与BC 、DE 分别交于M 、N ，CN 与BE 交于点F ，连结FM 。

求证FM =1
4
AB 。

2010全国初中数学联赛总决赛集训题（二十一）
1．已知正实数a ≥b ≥c ，求证：abc a
b
b c c a +++≥1a b c +++。

2．如图，在△ABC 中，BM 和CN 是中线，D 是边BC 上任一点，作DE ∥BM ，DF ∥CN 分别和AC 、AB 交于E 、F 两点，线段EF 和中线BM 、CN 分别相交于两P 、Q 点。

求证：FP=PQ=QE 。

3．在△ABC 中，AB=AC ，CD 是高，DM ⊥BC ，DN ⊥AC ，M 、N 都是垂足，当CD=DM+DN 时，求
BC
AB 。

4．已知a 、b 、c 是勾股数，且a ＜b ＜c ，p 为奇素数，则勾股数组具有性质2
()a b c p =+的充要条件是b p c +=。

5．△ABC 中，a h 、b h 、c h 、a r 、b r 、c r 分别表示三条高和三个旁切圆半径的长，求证：a b c h h h ++≤a b c r r r ++。

6．如图五边形ABCDE中，AB∥DE，AE∥DC，BD与CE交于P，BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，求证：MN∥AP。

7．⊙O内接△ABC为正三角形，AD是⊙直径，在弧AB上任取一点P（P≠B，P≠C）取△PAB、
=-。

△PAC的内心E、F。

证明：PD PE PF
18，试求n的最大值。

8．一个凸n边形的任意相邻内角的差都是0
9．△ABC的重心G关于BC的对称点是G'，问：△ABC的三边应满足怎样的充要条件，才能使A、B、G'、C四点共圆？证明你的结论。

10．求证：方程0)(232
=+-+b a bx ax 在（0，1）内至少有一个实根。

11．设a 、b 、c ∈R +，试证：332
323243≥⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ b a c a c b c b a 。

12．ab 是两位整数，求方程2
0x abx ba ++=的整数解。

2010全国初中数学联赛总决赛集训题（二十二）
1．记11
(11)(1)(1)4
32
n p n =+++
-，求2000p 的最大整数部分。

2．圆周上5点可以连接成一个凸五边形及一个五角星，求证：此圆上任一点到凸五边形五条边距离之积，等于该点到五角星五条边距离之积。

3．设ABCD是单位正方形，P是BC边上的一点，直线PD交AB的延长线于点Q，若PD=BP+BQ，试求PD。

4．设I是△ABC的内心，D、E、F分别是△ABC的内切圆与其三边BC、CA、AB的切点，M、N 分别是过点A 的BC的平行线与DE、DF的交点。

P、Q分别是DM、DN的中点。

证明：A、E、F、I、P在同一个圆上。

5．如图，四边形ABCD是矩形，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），动点P、Q同时从点O出发，点P沿折线OACB的方向运动，点Q沿折线OBCA的方向运动，PQ交OC于R。

点P的运动速度是每秒3个单位长度，点Q的运动速度是每秒2个单位长度，运动到相遇时停止。

设运动时间为t秒，问t为何值时ΔARO与ΔRCB相似？
6．如图，已知正方形ABCD ，延长BC 、DC 分别至M 、N ，使CMN ABCD S S ∆=正方形，试确定∠MAN 的度数。

7．⊙O 1、⊙O 2交于P 、Q ，它们同时与⊙O 相内切，切点为M 、N ；直线PQ 交⊙O 于A 、B 。

求证：AM ·BN=AN ·BM 。

8．任意一个四位数（可以有相同的数字）改变其原有数字顺序后，总可以得到一个最小的四位数。

若这两个四位数的差为999，试求这样的四位数的个数。

9．求所有这样的整数k ，使得关于一元二次方程2
2(31)910kx k x k --+-=至少有一个整数根。

N M C
B A
10．在ΔABC 中，AP 平分∠A ，BQ 平分∠B ，P 、Q 分别在BC 、CA 上。

证明：AB+BP=AQ+BQ 的充分必要条件是∠ABC=0
120或∠ABC=2∠C 。

11．在ΔABC 中，M 、N 两点都在AB 上（不含两端点），满足∠MCN=0
30。

已知 ABC S ∆=200，
CMN S ∆=f ，当f 是一个整数时，求f 所有可能的值。

12．在平面直角坐标系xOy 中，⊙A 的方程为22
(2)(2)1x y -+-=，两个半径都是r 且互相外切的⊙O 1和⊙O 2均与⊙A 相外切，又⊙O 1、⊙O 2分别与x 轴、y 轴相切，求r 。