金台区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

金台区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知x ＞0，y ＞0， +=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，]
C ．（﹣∞，
] D ．（﹣∞，
]
2． 如果过点M （﹣2，0）的直线l 与椭圆有公共点，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则的取值范围是（ ）
A ．[﹣1，﹣]
B ．[﹣，﹣]
C ．[﹣1，0]
D ．[﹣，0]
4． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ） A ．2bsinA
B ．2bcosA
C ．2bsinB
D ．2bcosB
5． 若复数z 满足=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）
A ．1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1﹣i
D ．﹣1+i
6． 设函数
，则有（ ）
A ．f （x ）是奇函数，
B ．f （x ）是奇函数， y=b x
C ．f （x ）是偶函数
D ．f （x ）是偶函数，
7． 执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0，1，则输出的
（ ）
A ．4
B ．16
C ．27
D ．36
8． 已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),3
1(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ）
A ．c a b >>
B ．a c b >>
C ．a b c >>
D ．b a c >>
【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．
9． 集合{}1,2,3的真子集共有（ ）
A ．个
B ．个
C ．个
D ．个
10．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（ ） A ．1372 B ．2024 C ．3136 D ．4495
11．抛物线y=﹣8x 2的准线方程是（ ） A ．y=
B ．y=2
C ．x=
D ．y=﹣2
12．已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ） A ．（0，4） B ．[0，4） C ．（0，5] D ．[0，5]
二、填空题
13．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值等于_________. 14．把函数y=sin2x 的图象向左平移
2倍（纵15．如图，在棱长为的正方体D ABC 1,BC CC 的中点,P 是侧
面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面
AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.
16．正六棱台的两底面边长分别为1cm ，2cm ，高是1cm ，它的侧面积为 ．
17．定积分
sintcostdt= ．
18．（﹣）0+[（﹣2）3]
= ．
三、解答题
19．已知不等式ax 2﹣3x+6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，
（1）求a ，b ；
（2）解不等式ax 2
﹣（ac+b ）x+bc ＜0．
20．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n （单位：台，n ∈N ）的函数解析式f （n ）；
周需求量n
18 19 20 21 22 频数
1
2
3
3
1
（单位：元），求X 的分布列及数学期望．
21．（14分）已知函数1
()ln ,()e x x f x mx a x m g x -=--=，其中m ，a 均为实数．
（1）求()g x 的极值； 3分
（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-
恒成立，求a 的最小值； 5分
（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围． 6分
22．如图，正方形ABCD 中，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E ． （Ⅰ）求证：AE=EB ；
（Ⅱ）若EF •
FC=，求正方形ABCD 的面积．
23．数列{a n}满足a1=，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{tan2a n}是等差数列，并求数列{tan2a n}的前n项和；
（Ⅱ）求正整数m，使得11sina1•sina2•…•sina m=1．
24．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=﹣1．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（2）求函数f（x）的解析式．
金台区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，
所以（x+y）（+）=10+≥10=16，
当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；
故m的取值范围是（﹣]；
故选D．
2．【答案】D
【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），
联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，
∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，
∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，
整理，得k2，
解得﹣≤k≤．
∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣，]．
故选：D．
【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．3．【答案】D
【解析】解：如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系．
则点A（1，0，0），C1（0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1．
∴=（1﹣x，﹣y，﹣1），=（﹣x，1﹣y，0），
∴
=﹣x （1﹣x ）﹣y （1﹣y ）+0=x 2﹣x+y 2﹣y=+
﹣，
由二次函数的性质可得，当x=y=时，取得最小值为﹣；
故当x=0或1，且y=0或1时，取得最大值为0，
则的取值范围是[﹣，0]，
故选D ．
【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．
4． 【答案】D 【解析】解：∵A=2B ，
∴sinA=sin2B ，又sin2B=2sinBcosB ， ∴sinA=2sinBcosB ，
根据正弦定理==2R 得：
sinA=
，sinB=
，
代入sinA=2sinBcosB 得：a=2bcosB ． 故选D
5． 【答案】A
【解析】解：
=i ，则=i （1﹣i ）=1+i ，
可得z=1﹣i．
故选：A．
6．【答案】C
【解析】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．
而f（）===﹣=﹣f（x），
故选C．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．
7．【答案】D
【解析】【知识点】算法和程序框图
【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是，则输出的36。

故答案为：D
8．【答案】D
9．【答案】C
【解析】
考点：真子集的概念.
10．【答案】
C
【解析】
【专题】排列组合．
【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边，根据分类计数原理可得．
【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有4种方法，
再在选出的三条边上各选一点，有73种方法．这类三角形共有4×73=1372个．
另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法，
再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有4×21×21=1764个．
综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136．
故选：C．
【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题．
11．【答案】A
【解析】解：整理抛物线方程得x2=﹣y，∴p=
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=，
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
12．【答案】B
【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
∴f（x1）=f（f（x1））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m=0，
故m=0；
故f（x）=x2+nx，
f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，
当n=0时，成立；
当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根，
故△=n2﹣4n＜0，
故0＜n＜4；
综上所述，0≤n+m＜4；
故选B．
【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】6
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．第1次运行后，9,2,2,S T n S T ===>；第2次运行后，
13,4,3,S T n S T ===>；第3次运行后，17,8,4,S T n S T ===>；第4次运行后，21,16,5,S T n S T ===>；第5次运行后，25,32,6,S T n S T ===<，此时跳出循环，输出结果6n =程
序结束．
14．【答案】 y=cosx ．
【解析】解：把函数y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，得
，即y=cos2x 的图象，把y=cos2x
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx 的图象；
故答案为：y=cosx ．
15．【答案】⎣⎦ 【解析】
考点：点、线、面的距离问题.
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.
16．【答案】cm2．
【解析】解：如图所示，是正六棱台的一部分，
侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．
取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1，
则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形．
根据正六棱台的性质得OC=，O
C1==，
1
∴CC1==．
又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A1B1=12cm．
∴正六棱台的侧面积：
S=．
=
=（cm2）．
故答案为：cm2．
【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
17．【答案】．
【解析】解：0sintcostdt=0sin2td（2t）=（﹣cos2t）|=×（1+1）=．
故答案为：
18．【答案】．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]
=1+（﹣2）﹣2
=1+=．
故答案为：．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，
且b＞1．由根与系的关系得，解得，所以得．
（2）由于a=1且b=2，所以不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，
即x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．
①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．
综上所述：当c＞2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c=2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．
20．【答案】
【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000，
当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000，
∴．
（II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，
∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1，
X的分布列为
21．【答案】解：（1）e(1)
()e x
x g x -'=，令()0g x '=，得x = 1．
列表如下：
∵g （1） = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． 3
分
（2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．
∵()0x a
f x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． 设1e ()()e x h x
g x x ==，∵12
e (1)()x x h x x
--'=> 0在[3,4]恒成立，
∴()h x 在[3,4]上为增函数． 设21x x >，则212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-
等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-， 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．
设1e ()()()ln 1e x
u x f x h x x a x x
=-=---⋅，则u （x ）在[3,4]为减函数．
∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． ∴11
e e x x a x x
---+
≥恒成立． 设11e ()e x x v x x x --=-+，∵11
2
e (1)()1e x x x v x x
---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]， ∴1221133
e [()]e 1244
x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．
∴()v x 在[3，4]上的最大值为v （3） = 3 -22
e 3
．
∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22
e 3
． 8分
（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]．
∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，
当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意．
当0m ≠时，2()
()m x m f x x
-'=
，由题意知()f x 在(0,e]不单调，
所以20e m <
<，即2
e
m >．① 此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2
(,e)m
上递增，
∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3
e 1
m -≥．②
由①②，得3
e 1
m -≥．
∵1(0,e]∈，∴2
()(1)0f f m =≤成立．
下证存在2
(0,]t m
∈，使得()f t ≥1．
取e m t -=，先证e 2
m m
-<，即证2e 0m m ->．③
设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3
[,)e 1
+∞-时恒成立．
∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3
e ))01
((w x w ->≥，∴③成立．
再证()e m f -≥1．
∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥，∴3
e 1
m -≥
时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3
[,)e 1
+∞-． 14分
22．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径半圆交于点F ， 且四边形ABCD 为正方形，
∴EA 为圆D 的切线，且EB 是圆O 的切线，
由切割线定理得EA 2
=EF •EC ，
故AE=EB ．
（Ⅱ）设正方形的边长为a ，连结BF ， ∵BC 为圆O 的直径，∴BF ⊥EC ，
在Rt △BCE 中，由射影定理得EF •FC=BF 2
=，
∴BF==，解得a=2，
∴正方形ABCD 的面积为4．
【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．
故tan2a n+1==1+tan2a n，
∴数列{tan2a n}是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差．
∴=．
∴数列{tan2a n}的前n项和=+=．
（Ⅱ）解：∵cosa n＞0，∴tana n+1＞0，．
∴tana n=，，
∴sina1•sina2•…•sina m=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tana m•cosa m）
=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tana m•cosa m﹣1）•（tana1•cosa m）
=（tana1•cosa m）==，
由，得m=40．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
24．【答案】
【解析】（1）证明：设x2＞x1＞0，∵f（x1）﹣f（x2）=（﹣1）﹣（﹣1）=，
由题设可得x2﹣x1＞0，且x2•x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣1=﹣f（x），∴f（x）=+1．
又f（0）=0，故函数f（x）的解析式为f（x）=．。