高等数学上册习题答案

高等数学上册习题答案
高等数学上册习题答案
在学习高等数学的过程中，习题的解答是加深对知识点理解和应用的重要途径。

然而，由于高等数学上册的习题较多且难度较高，很多同学在解答习题时会遇
到困难。

为了帮助同学们更好地掌握高等数学上册的知识，本文将给出一些典
型习题的解答。

一、极限与连续
1. 计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$。

解答：根据极限的定义，我们可以将该极限转化为 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin
2x}{2x} \cdot 2$。

由于 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，所以原极限等于 $2$。

2. 设函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ 2x, & x < 0 \end{cases}$，判
断函数 $f(x)$ 在点 $x = 0$ 处是否连续。

解答：要判断函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处是否连续，我们需要分别计算左极限和
右极限，并判断它们是否相等。

左极限为 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 2x = 0$，右极限为 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$。

由于左极限等于右极限，且 $f(0) = 0$，所以函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

二、一元函数微分学
1. 求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ 的极值点和极值。

解答：首先，我们需要求出函数的导数。

对函数 $f(x)$ 求导得到 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$。

然后，令导数等于零，解方程 $3x^2 - 6x + 2 = 0$，得到 $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。

再求出对应的函数值，得到 $f\left(1 \pm
\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{4}{3} \pm \frac{2\sqrt{3}}{9}$。

所以，函数
$f(x)$ 的极值点为 $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$，极小值为 $\frac{4}{3} -
\frac{2\sqrt{3}}{9}$，极大值为 $\frac{4}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{9}$。

2. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5)$ 的单调区间。

解答：首先，我们需要求出函数的导数。

对函数 $f(x)$ 求导得到 $f'(x) =
\frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5}$。

然后，我们需要求出导数的定义域，即 $x^2 - 4x
+ 5 > 0$。

解这个不等式得到 $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$。

接下来，我们
需要求出导数的符号。

当 $x \in (-\infty, 2)$ 时，$f'(x) < 0$；当 $x \in (2,
\infty)$ 时，$f'(x) > 0$。

所以，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 2)$ 上是递减的，在区间 $(2, \infty)$ 上是递增的。

三、一元函数积分学
1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x^2} dx$。

解答：我们可以进行变量代换，令 $u = 1 + x^2$，则 $du = 2x dx$。

将积分的
上下限代入变量代换中，得到 $u(0) = 1$，$u(1) = 2$。

将被积函数用 $u$ 表示，得到 $\int_{1}^{2} \frac{1}{u} du = \ln|u| \Big|_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$。

所以，定积分的值为 $\ln 2$。

2. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi} x \sin x dx$。

解答：我们可以使用分部积分法来计算该定积分。

令 $u = x$，$dv = \sin x dx$，则 $du = dx$，$v = -\cos x$。

将上述结果代入分部积分公式，得到
$\int_{0}^{\pi} x \sin x dx = -x \cos x \Big|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos x dx$。

计算得到 $-x \cos x \Big|_{0}^{\pi} = \pi$，$\int_{0}^{\pi} \cos x dx = \sin x
\Big|_{0}^{\pi} = 0$。

所以，定积分的值为 $\pi$。

通过以上习题的解答，我们可以加深对高等数学上册的知识理解和应用。

希望
同学们在学习高等数学时能够善于解答习题，提高数学水平。