数学新课标高考一轮复习训练手册(理科) 第28讲《等比数列》人教A版必修5B

课时作业(二十八)B [第28讲 等比数列]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．[2012·厦门外国语月考] 已知数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和．若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 10的值是( )
A ．511
B ．1023
C ．1533
D ．3069
2．[2011·大连模拟] 在等比数列{a n }中，若a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 29a 12
的值为( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4
3．[2011·抚州二模] 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则数列{a n }的公比等于( )
A ．1 B.12 C ．－12 D.1＋52
4．[2011·汕头期末] 在△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，4为第七项的等差数列
的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tan C ＝________.
能力提升
5．[2011·新余二模] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2011＝3S 2010＋2012，a 2010＝3S 2009＋2012，则公比q 等于( ) A ．3 B.13 C ．4 D.14
6．[2011·巢湖一检] 在等比数列{a n }中，a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q 等于( )
A ．2
B ．－2
C ．3
D ．－3
7．[2011·丰台一模] 设等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝4d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k ＝( )
A ．3或－1
B ．3或1
C ．3
D ．1
8．[2011·琼海一模] 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 为( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．2
9．[2011·东莞调研] 在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2依次成等差数列，则{a n }的前6项和等于________．
10．[2011·盐城二模] 已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 9成等比数列，
{S n }为数列{a n }的前n 项和，则S 11－S 9S 7－S 6
的值是________． 11．等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.
12．(13分)[2011·烟台二诊] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(λ＋1)－λa n ，其中λ是不等于－1和0的常数．
(1)证明：{a n }是等比数列；
(2)设数列{a n }的公比q ＝f (λ)，数列{b n }满足b 1＝13，b n ＝f (b n －1)(n ∈N ，n ≥2)，求数列
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n 的前n 项和T n .
难点突破
13．(12分)[2011·汕头一模] 设数列{a n}为等比数列，数列{b n}满足：b n＝na1＋(n－
1)a2＋…＋2a n－1＋a n，n∈N*，已知b1＝m，b2＝3m
2，其中m≠0.
(1)求数列{a n}的首项和公比；
(2)当m＝1时，求b n；
(3)设S n为数列{a n}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有S n∈[1,3]，求实数m的取值范围．
课时作业(二十八)B
【基础热身】
1．D [解析] 由已知a 2a 4＝144，得a 1q ·a 1q 3＝144，则q 4＝14432＝16，即q ＝2，
∴S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝3(1－210)1－2
＝3069，故选D. 2．B [解析] 根据等比数列的性质，有a 2a 10＝a 3a 9＝a 26，又已知a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则
a 56＝32，即a 6＝2，a 1q 5＝2，
∴a 29a 12＝(a 1q 8)2a 1q 11＝a 1q 5＝2，故选B. 3．C [解析] 由已知S 1，S 3，S 2成等差数列，得
2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ，
化简，得2a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(2＋q )，即2q 2＋q ＝0，
解得q ＝－12，故选C.
4．1 [解析] 由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧ －4＋4tan A ＝4，13tan 3B ＝9，解得⎩⎨⎧
tan A ＝2，tan B ＝3， ∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B
＝1. 【能力提升】
5．C [解析] 由已知，有a 2011＝3S 2010＋2012，a 2010＝3S 2009＋2012， 两式相减，得a 2011－a 2010＝3a 2010，即a 2011＝4a 2010，
则公比q ＝4，故选C.
6．C [解析] 由已知，有S 1＝a 1＝4，S 2＝a 1＋a 2＝4(1＋q )，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝4(1＋q ＋q 2)，
因为数列{S n ＋2}是等比数列，
所以(S 2＋2)2＝(S 1＋2)(S 3＋2)，
即(4q ＋6)2＝6(6＋4q ＋4q 2)，解得q ＝3，故选C.
7．C [解析] 由数列{a n }是等差数列，得a k ＝a 1＋(k －1)d ，a 2k ＝a 1＋(2k －1)d . ∵a k 是a 1与a 2k 的等比中项，
∴a 2k ＝a 1a 2k ，即[a 1＋(k －1)d ]2＝a 1[a 1＋(2k －1)d ]，
化简，得(k －1)2d 2－a 1d ＝0.
把a 1＝4d 代入，得k ＝3，故选C.
8．C [解析] 解法一：由S n ＝3n ＋k ，得a 1＝S 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝(32＋k )－(3＋k )＝6，
a 3＝S 3－S 2＝(33＋k )－(32＋k )＝18.
由a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，知数列{a n }是等比数列，则
a 22＝a 1a 3，即62＝18(3＋k )，解得k ＝－1，故选C.
解法二：由题意知，数列{a n }是公比为c 的等比数列，且c ≠0，c ≠1.
设a 11－q
＝t ，则 S n ＝a 1(1－q n )1－q
＝－tq n ＋t ＝3n ＋k ， ∴k ＝t ＝－1，故选C.
9．63 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，
则a 2＝q ，a 3＝q 2，
由a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2依次成等差数列，得
2(a 2＋2)＝(a 1＋1)＋(a 3＋2)，
即2(q ＋2)＝(1＋1)＋(q 2＋2)，
化简，得q 2－2q ＝0，解得q ＝2.
则数列{a n }的前6项和为S 6＝1－26
1－2
＝63. 10．3 [解析] 设等差数列的公差为d (d ≠0)，
由a 1，a 3，a 9成等比数列，得
a 23＝a 1a 9，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，
化简，得a 1＝d .
S 11－S 9S 7－S 6＝a 11＋a 10a 7
＝2a 1＋19d a 1＋6d ＝3. 11.152 [解析] ∵{a n }是等比数列，
∴a n ＋2＋a n ＋1＝6a n 可化为a 1q n ＋1＋a 1q n ＝6a 1q n －1，
∴q 2＋q －6＝0.
∵q ＞0，∴q ＝2.又a 2＝a 1q ＝1，∴a 1＝12.
∴S 4＝a 1(1－q 4
)1－q ＝12(1－24)1－2＝152. 12．[解答] (1)∵S n ＝(λ＋1)－λa n ，
∴S n －1＝(λ＋1)－λa n －1(n ≥2)，
∴a n ＝－λa n ＋λa n －1，即(1＋λ)a n ＝λa n －1.
又λ≠－1且λ≠0，∴a n a n －1＝λ1＋λ
. 又a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，λ1＋λ
为公比的等比数列． (2)由(1)知q ＝f (λ)＝λ1＋λ
， ∴b n ＝f (b n －1)＝b n －11＋b n －1
(n ≥2)， 故有1b n ＝1＋b n －1b n －1＝1b n －1＋1，∴1b n
－1b n －1＝1(n ≥2)， ∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n 是以3为首项，1为公差的等差数列．
∴T n ＝3n ＋n (n －1)2＝n 2＋5n 2.
【难点突破】
13．[解答] (1)由已知b 1＝a 1，所以a 1＝m ；
b 2＝2a 1＋a 2，所以2a 1＋a 2＝32m ，解得a 2＝－m 2；
所以数列{a n }的公比q ＝－12.
(2)当m ＝1时，a n ＝⎝⎛⎭
⎫－12n －1， b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，①
－12
b n ＝na 2＋(n －1)a 3＋…＋2a n ＋a n ＋1，② ②－①得－32b n ＝－n ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1，
所以－32b n ＝－n ＋－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭
⎫－12 ＝－n －13⎣⎡⎦
⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ， b n ＝2n 3＋29－29⎝⎛⎭⎫－12n ＝6n ＋2＋(－2)1－
n 9. (3)S n ＝m ⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭
⎫－12＝2m 3·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ， 因为1－⎝⎛⎭
⎫－12n >0， 所以由S n ∈[1,3]得11－⎝⎛⎭⎫－12n ≤2m 3≤31－⎝⎛⎭
⎫－12n ， 注意到，当n 为奇数时，1－⎝⎛⎭⎫－12n ∈⎝⎛⎦
⎤1，32； 当n 为偶数时，1－⎝⎛⎭⎫－12n ∈⎣⎡⎭
⎫34，1， 所以1－⎝⎛⎭
⎫－12n 的最大值为32，最小值为34. 对于任意的正整数n 都有11－⎝⎛⎭⎫－12n ≤2m 3≤31－⎝⎛⎭
⎫－12n ， 所以43≤2m 3≤2，解得2≤m ≤3.。