学案8：2.1.1 合情推理

2.1.1 合情推理
自学引导
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.
课前热身
1. 归纳推理．
由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这种特征的推理，称为________．概括为由________到________的推理．
2. 类比推理．
由两类对象具有某些________和其中一类对象的某些________，推出另一类对象也具有________的推理称为类比推理，其特征是由________到特殊的推理．
3. 合情推理．
根据已有的________，经过观察、分析、________、________，再进行________、________，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.
名师讲解
1. 归纳推理
(1) 归纳推理的分类
①完全归纳推理：由某类事物的全部对象推出结论，显然该结论一定正确．
②不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．该结论不一定正确．
(2) 归纳推理的一般步骤
第一步：观察、分析所有特殊情况的共性，如图形中的点、线的个数、位置关系，数列中项的变化规律，一系列式子的运算特点等．
第二步：把第一步观察到的共性进行推广，形成一般化的结论．
如数列的通项公式，式子的运算结果等等．
2. 类比推理
(1) 特点
①类比推理是由特殊到特殊的推理．
②类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
③类比推理以旧的知识作基础，推出新的结果，具有发现功能．
(2) 类比推理的一般步骤
第一步：找出两类事物之间的相似性或一般性；
第二步：用一类事物的性质推测出另一类事物的性质，得出一个明确的结论．
3. 合情推理
(1) 合情推理过程可用下图表示为：
(2) 特点
由合情推理的过程知，合情推理的结论往往超越前提所包容的范围，带有猜想的成份，所以推理所得的结论未必正确，但是合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方 向的作用.
典例剖析
题型一 归纳推理的应用
例1 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n
(n ∈N *)，试猜想这个数列的通项公式．
变式训练1 由数列的前四项32，1，58，38
，…，归纳出通项公式．
题型二 类比推理的应用
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
规律技巧 利用直角三角形的有关性质，通过观察四面体的结构分析面的关系，比较二者的
内在联系，从中类比出四面体的相似命题提出猜想.结论中S 2＝S 21＋S 22＋S 23
为真命题. 变式训练2 通过计算可得下列等式：
22－12＝2×1＋1，
32－22＝2×2＋1，
42－32＝2×3＋1，
……
(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，
将以上各等式两边分别相加得
(n ＋1)2－12＝2(1＋2＋…＋n )＋n ，
即1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2
. 类比上述求法，请你写出12＋22＋32＋…＋n 2的结果．
题型三 合情推理的应用
例3 设f (n )＝n 2＋n ＋41(n ∈N *)，计算f (1)，f (2)，f (3)，…，f (10)的值，同时作出归纳推理，
并判断是否对所有n∈N*都成立．
变式训练3观察下列等式
13＋23＝9，
13＋23＋33＝36，
13＋23＋33＋43＝100，
13＋23＋33＋43＋53＝225，……
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜有什么规律，并把这些规律用等式表示出来．
参考答案
课前热身
1.归纳推理特殊一般
2.类似特征 已知特征 这些特征 特殊
3.事实 比较 联想 归纳 类比
例1 解：在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n
(n ∈N *)， ∴a 2＝2a 12＋a 1＝23
， a 3＝2a 22＋a 2＝2×232＋23
＝12＝24， a 4＝2a 32＋a 3＝2×242＋24
＝25， ……
由此可以猜想a n ＝2n ＋1
. 变式训练1 解：32＝1＋22，1＝2＋222，58＝3＋223，38＝616＝4＋224… 故通项公式为a n ＝n ＋22n . 例2 解：如图①所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.
类似地，在四面体P ­DEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积(图②)，相应于图①中直角三角形的两条直角边a ，b 和1条斜边c ，图②中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是，类比勾股定理的结
构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．
变式训练2 解：∵23－13＝3×12＋3×1＋1，
33－23＝3×22＋3×2＋1，
43－33＝3×32＋3×3＋1，
……
(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3n ＋1.
将以上各等式两边分别相加得
(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，
∴12＋22＋32＋…＋n 2＝13[(n ＋1)3－1－n －32
n (n ＋1)] ＝16
n (n ＋1)(2n ＋1)． 例3 解：f (1)＝12＋1＋41＝43，
f (2)＝22＋2＋41＝47，
f (3)＝32＋3＋41＝53，
f (4)＝42＋4＋41＝61，
f (5)＝52＋5＋41＝71，
f (6)＝62＋6＋41＝83，
f (7)＝72＋7＋41＝97，
f (8)＝82＋8＋41＝113，
f (9)＝92＋9＋41＝131，
f (10)＝102＋10＋41＝151.
从中知f (1)，f (2)，f (3)，…，f (10)的值都为质数， 所以归纳得出猜想：f (n )＝n 2＋n ＋41的值为质数． 因为f (40)＝402＋40＋41＝41×41为合数，
所以猜想f (n )＝n 2＋n ＋41的值为质数是错误的． 变式训练3 解：13＋23＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，
13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，
13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2， ……
由此可以猜想的结论是
13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2(n ＝1,2,3…)．。