微分几何教学设计

【教学难点】
第一基本形式的推导和灵活运用．
【重难点处理】
老师提供思路，学生推导，引导学生完成证明，本次课堂教学中，曲面曲线的弧长和两个方向的夹角问题应用第一基本形式解决.培养学生严谨的逻辑推理能力.
【教学设计】
1. 这门课程是数学与应用数学专业的一门专业必修课，是解析几何、数学分析、高等代数、微分方程的后续课程，知识综合性较强。

所以课前，课中不时会穿插基础知识。

例如两向量夹角公式，弧长微元，两向量垂直的判定等，以便于学生对新知识的理解；
2. 由曲面曲线的弧长问题引入第一基本形式；
3. 学生解决问题，推导出第一基本形式；
4. 练习求曲面的第一基本形式；
5. 应用第一基本形式求两方向的夹角;
6. 总结教学要点．
【教学思想】
“以教师为主导、以学生为主体”，通过问题驱动，由表及里、层层递进、步步设问，引导学生主动学习和思考，激发学生的求知欲，活跃其思维，让学生在解决问题的探索中进一步领悟、掌握和升华对所学知识的理解，培养其运用数学知识解决实际问题、进行科学研究
曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长S:(,)r r u v =上的曲线或((),())r r u t v t =有()u v du dv r t r r dt dt
'=+或u v dr r du r dv =+，若以S 表示曲面上曲线的弧长，则有2222222()()2u v u u v v ds dr r du r dv r du r r dudv r dv ==+=++。

,,u u u v v v r r F r r G r r ==，则222ds Edu Fdudv Gdv =++形式决定曲面上曲线(C)的弧长，曲线(C)上两点102()2t t du du dv E F dt dt =+⎰的第一基本形,,u u u v r r F r r =
v v r r 叫做曲面的第一类基本量。

0,0u u v v r r G r r =>=> ，2222()()0u v u v u v r r r r r r =-=⨯> 因此第一基本形式是正定的。

z = z(x,y)的第一基本形式。

表示的曲面即(,){(,)}r r x y z x y ==，{1,0,}x r p =，{0,1,}y r q =z y
∂∂，211E q ∴=+=+所以第一基本形式是2(1pqdxdy +例2 求球面{cos cos ,cos sin r R R θϕθ=解 22cos d θϕ求正螺面{cos r u v =22()u a ++曲面上两方向的夹角
曲面(,)r r u v =上一点00(u 0000(,)(,)u v dr r u v du r u v dv =+，其中0000(,),(,)u v r u v r u v 是过的坐标曲线的切向量。

任给一组du;dv ，由上式就确定曲面的一个方向，以后常用du;dv 或(d)或dr 表示曲面上的一个方向。

两方向的夹角：给出两个方向(:)du dv 与(:)u v δδ我们把向量
u v dr r du r dv =+与u v r r u r v δδδ=+间的夹角称为方向 间的角。

(:)du dv 与(:)u v δδ总代表过0(,u v 方向的夹角也叫做两曲线的夹角。

dr 与r δ的夹角为dr r dr r
δδ⋅，22dr Edu =+222r E u F u v G δδδδ=++(dr r Edu u F du v dv δδδ⋅=++ 故222)cos 22Edu v dv u Gdv v
Edu Fdudv Gdv E u F u v G v δδδδθδδδδ++=++++ 推论dr 与r δ垂直的充分必要条件是
()F du v dv u Gdv δδ+++设坐标曲线的切向量u r 与v r 的夹角为=u v u v r r F r r EG ⋅= 。

坐标网是正交网的充分必要条件是证明旋转曲面{()cos r t ϕ=F = 0,所以坐标网是正交的。

同理可证：圆柱面、球面、正螺面的坐标网也是正交的。

. 2, 3, 4, 6。