(小复习)九年级数学上册 第23单元 一元二次方程课件 华东师大版

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第23章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点三 例3 一元二次方程根的判别式的应用
已知关于 x 的一元二次方程 (m － 1)x2 ＋ x＋ 1 ＝ 0 有实 5 数根，则m的取值范围是______________ m≤ 且 m≠1 ． 4
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第23章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点二 例2 一元二次方程的解法
解方程：x2－4x－1＝0.
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[解析] 二次项系数是 1， 一次项系数是偶数的一元二次方程， 宜用配方法解． 解：移项，得 x2－4x＝1，两边都加上 4，得 x2－4x＋4＝1 ＋4，即(x－2)2＝5，两边开平方，得 x－2＝± 5，即 x＝2± 5， 所以 x1＝2－ 5，x2＝2＋ 5.
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方法技巧 如果方程具备 (x＋ a)2＝ b(b≥0)型，用直接开平方法解较简 单，如果不具备，应考虑因式分解法．用因式分解法解方程时， 应先把右边化为 0，再把左边因式分解，因式分解法简单，但有 局限性．因式分解法不能用时，观察如果二次项系数是 1，一次 项系数是偶数，用配方法解较简单．如果都不行，就用公式法， 公式法是解一元二次方程的万能方法， 但要先化成一般式确定 a、 b、c，计算 b2－4ac.
2．一元二次方程的解法
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第23章复习 ┃ 知识归类 (1) 直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未 知数的 一次式 的平方，而另一边是一个 非负实数 时，可以 根据 平方根 的定义，通过开平方法求出这个方程的解． (2) 配方法：用配方法解一元二次方程的步骤：①化二次 项系数为 1 ，即方程两边同除以二次项系数；②移项，使方 一次项 程的左边为 二次项 和 ，右边为 常数项 ；③配方， 即方程两边都加上 一次项系数一半 的平方；④化原方程为 (x ＋m)2＝n 的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来解出方
0
，得到两个一元一次方程；④解这两
个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
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3．一元二次方程根的判别式 由于一元二次方程的根的个数由代数式
2 定，因此把 b －4ac
b2－4ac 的符号决
叫做一元二次方程根的判别式．
(1)当 b2－4ac＞0 时， 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个
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┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程根的定义
例1 已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一 0或4 ． 个根，则m的值是________
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[解析] 利用方程根的定义，将 2代入方程 (m－ 2)x2＋4x－ m2＝0，得4(m－2)＋4×2－m2＝0，整理，得m(m－4)＝0，所 以m＝0或4.
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第23章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点四 例4 利用一元二次方程根与系数的关系解决问题
如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别
为x1＝2，x2＝1，那么p、q的值分别为( A )
A．－3,2 C．2，－3 D．2,3 B．3，－2
[解析] A 由根与系数的关系式，得x1＋x2＝－p，即p＝ －3，x1x2＝q，即q＝2.
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方法技巧
2 若 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ，则 x ＝ x 是一元二次方程 ax ＋bx＋c＝ 0 0 0
0(a≠0)的一个根；反之，若 x＝x0 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的一个根，则可得 ax2 0＋bx0＋c＝0，这就是一元二次方程 根的定义．
[解析] 一元二次方程 ax2＋bx＋ c＝0 有实数根，则有 b2－ 4ac≥0，且 a≠0. 由 题 意 ， 得 不 等 式 组 m－1≠0，
m≠1，

2
－4m－1≥0， 即
5 ≤ . 4
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易错警示 根据一元二次方程根的情况确定方程中所含字母的取值范 围时， 易忽略了二次项系数不为零这一条件， 从而导致结果错误．
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方法技巧 如果 x2＋px＋q＝0 的两个根为 x1，x2，那么 x1＋ x2＝－p， x1x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1x2.所以 x1，x2 是方程 x2－(x1＋ x2)· x＋x1x2＝0 的两根． 利用一元二次方程根与系数的关系的前提是：关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 中，a≠0，b2－4ac≥0.另外，在运用根与系数的关 系前，应将方程化为一般形式．
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┃知识归纳┃
1．一元二次方程的定义
方程的两边都是 整式 ，且只含有 一个 未知数，未知数 的最高次数是 2 ，这样的方程叫做一元二次方程．任何一 ax2＋bx＋c＝0 个一元二次方程经过整理都可以化为 (a、b、c 为常数，a≠0)的形式，称为一元二次方程的一般形式．
程的根；如果n＜0，则原方程无解．
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(3)公式法：一般地，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)， 2 － b± b －4ac 2 b － 4ac≥0 当 时，它的根是 x＝ ，这个式子叫 2a 做一元二次方程的求根公式． 用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法． (4)因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： ①将方程右边化为 0 ；②将方程左边分解为两个 一次因式 的积－4ac 不相等的实数根，即 x1＝ b 有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝ －2a
(2)当
2 ，x2＝－b－ b －4ac .
2
b2－4ac＝0
2a
时， 一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0) .
2a
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(3)当 b2－4ac＜0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没 有实数根． 4．一元二次方程根与系数的关系 设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为 x1、 x2， 则 c b x1＋x2＝－a ，x1x2＝ a .