上海市九校2020学年度第一学期高三数学联考试卷

上海市九校2020学年度第一学期高三数学联考试卷
2020年12月
一． 填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1． 抛物线y x 42
=的焦点坐标为___________
2． 角α的终边过点)3,4(a a P -)0(>a ，则=+ααCos Sin 2_____________
3． 设集合{}
R x x x A ∈≥-=,914，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈>+=R x x x
x
B ,03，则B A ⋂＝_____________
4． 若z 与()i z 822
-+都是纯虚数，则z ＝_________ 5． 函数)0(12
)(>+=-x x f x
的反函数是_____________
6． 7位同学中需选派4位按一定的顺序参加某演讲比赛，要求甲，乙两人必须参加，且甲必须在
乙之前出场，那么不同的安排方法有____________种。

7． ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量),(b c a +=,),(a c a b --= ,
若//,则角C 的大小为_________
8． 定义域为R 的函数)(x f y =的值域为[]b a ,,则函数)(a x f y +=的值域为___________ 9． 若数列}{n a 满足: 3
1
1=
a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+, 则=++++∞
→)......(lim 21n n a a a ___________
10．
若直线022=+-by ax ),(R b a ∈始终平分圆01422
2
=+-++y x y x 的周长，则
ab 的最大值是___________
11．
已知函数)1(log )(2
1x
a
x x f -
+=在区间[)+∞,1上单调递减，则实数a 的取值范围是___________ 12． 观察下列数表，问此表最后一个数是___________ 1 2 3 4......97 98 99 100 3 5 7 ...... 195 197 199 8 12 ...... 392 396 20 (788)
二．选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．直线0=++b y xCosa ),(R b a ∈的倾斜角的取值范围是（ ）
A 、[)π,0
B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,
0 C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππ D 、⎥⎦
⎤
⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,22,4ππππ 14．命题甲：x
)4
1(、x -2、42-x 成等比数列；命题乙：x lg 、)2lg(+x 、)12lg(+x 成等差数列，
则甲是乙的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 15．若函数)(x f y =)(R x ∈满足)()2(x f x f =+，且(]1,1-∈x 时，x x f =)(，则函数
)(x f y = 的图象与函数x y 4log =的图象的交点的个数为（ ）
A 、3
B 、4
C 、6
D 、8 16．某地一年的气温Q （t ）（单位：ºc ）与时间t （月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc ，令G （t ）表示时间段〔0,t 〕的平均气温，G （t ）与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）
三．简答题：（本大题共6
17．（本题满分12分）
已知函数2
()22cos f x x x a =-+ （a R ∈,a 为常数），
（Ⅰ）求()f x 的周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若[,]46
x ππ
∈-时，()f x 的最小值为4，求a 的值。

10ºc
B
18．（本题满分12分）
记函数()2
7
2++-
=
x x x f 的定义域为A ，()()()[]()R a b ax b x x g ∈>+-=,012lg 的定义域为B ，
（1）求A ； （2）若B A ⊆，求a 、b 的取值范围。

19．（本题满分14分）
设1F 为椭圆1C ：
112
16)1(2
2=+-y x 的左焦点，1C M 是上任意一点，M F P 1是线段的中点， （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）若直线2-=kx y 交轨迹C 于A 、B 两点，AB 中垂线交轴y 于点)3
1,0(Q ，求k 的值。

20．（本题满分14分）
某企业2020年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。

若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润
为1
500(1)2
n
+
万元（n 为正整数）。

（Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A 万元，进行技术改造后
的累计纯利润为n B 万元（须扣除技术改造资金），求n A 、n B 的表达式；
（Ⅱ）依上述预测一下：从长远效益来看，该企业有没有进行技术改造的必要？如有必要，则至少要经过多少年后，才能初见进行技术改造的成效？请说明理由。

21．（本题满分16分） 已知2()log ,f x x =当点(,)M x y 在()y f x =的图象上运动时，点(2,)N x ny -在函数
()n y g x =的图象上运动（n N ∈）.
1） 求()n y g x =的表达式；
2）
求集合A ＝｛a 关于x 的方程12()(2)g x g x a =-+有实根，a R ∈｝；
3）
设)
()2
1()(x g n n x H =，函数11()()()(0)F x H x g x a x b =-<≤≤
的值域为
22[log ,log ]22
b a ++，求实数,a b 的值。

22．（本题满分18分）
在杨辉三角形中，除“两腰”上的数字外，其余任意数都等于它上一行“左右两肩”上的数之
和。

将杨辉三角形中的每一个数r n
C 都换成分数1
(1)r n
n C +，得到莱布尼茨三角形
杨辉三角形 莱布尼茨三角形
（1） 类比杨辉三角形的上述性质，得真命题：莱布尼茨三角形中，每一个数都等于
______________(只须填上类比而得的结论，不必证明) （2）
在莱布尼茨三角形中，称“左腰”上的数字为“第1层”，紧靠“第1层”且与之平行的称为“第2层”，猜测“第2层”中各数按从上到下的顺序构成的数列{}n a 的一个通项公式（不必证明），并据此求该数列的前n 项和n S 。

（3）
设n n
n S a n b 2)1(+=)10(<<a ，若存在唯一的自然数k )2(≥k ，使得
1
12+<<-k k
a k k 成立，问数列{}n
b 中是否存在唯一的最大项，试证明你的结论。

2
131613
14
1121301121415
120
1512016130
160
130
160
16
1 (1)
2
1112
1
1
3
6
3
1
141
4
1
5
10
5
10
1
(11)
[参考答案]
一． 填空题：
1．)1,0( 2．
5
2
3．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞⋃--∞,25)3,( 4．i 2-
5．)1(log 2--=x y )21(<<x 6．1202
4
25=⋅P P C
7．
3
π
8． []b a , 9．2
1
10． 41
11．[)2,1- 12．981012⨯ 二．选择题：
13．B 14．C 15．C 16．A 三．简答题：
17．解：（Ⅰ）∵()2sin(2)16
f x x a π
=-
+- --------2分
∴22T π
π=
=-------3分 由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，得6
3
k x k π
π
ππ-
≤≤+
---------5分
∴单调递增区间为 []6
3
, k k k Z π
π
ππ-+
∈---------6分
（Ⅱ）∵4
6
x π
π
-
≤≤
22366
x πππ
∴-
≤-≤---------8分 1
1sin(2)6
2
x π
∴-≤-≤
---------10分 当sin(2)16
x π
-
=-时，由max ()f x =214a -+-= 得，7a =---------12分
18．解：（1）⎭⎬⎫
⎩⎨⎧≥++-
=0272x x x A ---------2分 ()[)
+∞⋃-∞-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+-=,32,023x x x ---------5分
（2）()()012>+-ax b x ---------6分
由B A ⊆，得0>a ---------8分 则a orx b x 12-<>
，即⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-=,21,b a B ---------10分
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<-≤-<<01232
0a b ⎪⎩⎪⎨⎧<<≥⇒602
1b a ---------12分 19．解（1）设动点P 的坐标为),(y x ，椭圆1C 中，32,4==b a ，则2=c -----1分
中心为)0,1( 故1F 的坐标为)0,1(---------3分 设),(11y x M ，则y y x x 2,1211=+=-----4分
点M 在椭圆1C 上，坐标代入得轨迹C 的方程为13
42
2=+y x ----------6分
将2-=kx y 代入方程13
42
2=+y x ，得0416)43(22=+-+kx x k ---------7分
根据题意，0)43(1625622>+-=∆k k 解得4
1
2>k -----------8分
设AB 的中点为D ),(00y x ，则2
0438k
k
x +=，2004362k kx y +-=-=------------10分 ∵AB DQ ⊥，∴1-=⋅AB DQ k k ，即
143831
4362
2
-=⋅+-+-k k k k ------------12分 化简得342=k ，2
3
±=k ---------14分
20．（Ⅰ）依题意，
210490)20500(......)40500()20500(n n n A n -=-++-+-= ---------3分
2111500
500[(1)(1)(1)]6005001002222
n n n B n =++++++-=--L ---------6分
（Ⅱ）2500
(500100)(49010)2
n n n B A n n n -=----
2500
1010100
250
10[(1)10]
2
n n n n n n =+--=+-----------7分 因为函数50
(1)102
x y x x =+--在(0,)+∞上为增函数，---------9分
当 13n ≤≤ 时，5050
(1)101210028n n n +--≤--<；---------11分
当 4n ≥ 时，5050
(1)1020100216
n n n +--≥-->；---------13分
∴仅当4n ≥时，n n B A >
答：有进行技术改造得必要，且至少经过4年后，技术改造才能初见成效。

---------14分 21．解：1）由n y=f(x)
ny=g (2)
x ⎧⎨-⎩得2(2)()log ,n g x nf x n x -==
故2()log (2)n g x n x =+ （2,x n N >-∈）---------3分
2）
A 为方程22log (2)2log ()x x a +=+有实根的a 的取值范围，
x a =+ （20x +>）---------5分
分离有a x =-
(0)t t > ，
22192()24a t t t ∴=-++=--+
≤9
4
，---------8分 ∴a ≤
9
4
时，原方程总有实根 ∴9
(,]4
A =-∞---------9分
3）∵2log (2)
11()()
2
(2)n x n n
H x x +==
+，∴21
()log (2)2
F x x x =-++--------10-分 下面证明()F x 在(2,)-+∞上是减函数 令122x x -<<，则2111221222
()()log (2)(2)2
x x x F x F x x x x -+-=
-+++
∵
2112(2)(2)x x x x -++>0 , 1222
log 2
x x ++<0 ,
∴12()()F x F x >故()F x 在(2,)-+∞上是减函数---------13分 ∴()F x 在[,]a b 上是减函数
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22log )(22log )(5242b b F a a F 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-++=+-+22log )2(log 2
122log )2(log 21522422b b b a a a ---------14分
∴2
3
a b =⎧⎨
=⎩---------16分
22．1）在莱布尼茨三角形中，任意数都等于它下一行“左右两脚”上的数之和。

---------4分
2）1
)1(1n
n
C n a
+=
--------- 6分
))1(11(......)4131()3121()211()1(1.......6121001n
n n n C n nC C n S +-++-+-+-=++++=
1
111)1(110
+=+-=+-
=n n
n C n n ---------10分 3）n n n
na n n
a n
b 22)1
(
)1(=++=---------12分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<+=-+1
1
1)1(212
1a n n b b n a n b b n n n n 得2
22111a n a a -<<----------16分
Θ存在唯一的自然数k )2(≥k ，使得112
+<<-k k a k k ，即2
22
111a k a a -<
<-成立---------17分
∴k n =时，...............121>><<<+k k k b b b b b 且，即存在唯一的最大项k b 。

---------18分。