常州市中天实验中学数学三角形解答题单元测试卷附答案

常州市中天实验中学数学三角形解答题单元测试卷附答案 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究一：如图1．在△ABC 中，已知O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过
分析发现1902
BOC A ︒
∠=+∠．理由如下： ∵BO 和CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线，
∴112ABC ∠=∠，122
ACB ∠=∠； ∴()0011112()18090222ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠=-∠=-∠， ∴11180(12)180909022BOC A A ︒︒︒︒⎛
⎫∠=-∠+∠=--∠=+∠ ⎪⎝⎭
（1）探究二：如图2中，已知O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？并说明理由．
（2）探究二：如图3中，已知O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？
【答案】（1）12BOC A ∠=
∠，理由见解析；（2）1902BOC A ︒∠=-∠． 【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠OBC =12∠ABC ，∠OCD =12
∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得
∠OCD =12∠ACD =12
∠A +∠OBD ，∠BOC =∠OCD -∠OBC ，然后整理即可得解；
（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB ，再根据三角形的内角和定理解答；
【详解】
（1）12
BOC A ∠=∠，理由如下： ∵BO 和CO 分别是ABC ∠与ACD ∠的平分线， ∴12OBD ABC ∠=∠，12
OCD ACD ∠=∠， 又∵ACD ∠是ABC 的一个外角， ∴1122
OCD ACD A OBD ∠=∠=∠+∠， ∵OCD ∠是BOC 的一个外角， ∴1122BOC OCD OBD A OBD OBD A ∠=∠-∠=
∠+∠-∠=∠ 即12
BOC A ∠=∠ （2）∵BO 与CO 分别是∠CBD 与∠BCE 的平分线，
∴∠OBC =12∠CBD ，∠OCB =12
∠BCE 又∵∠CBD 与∠BCE 都是△ABC 的外角，
∴∠CBD =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，
∴∠OBC =12∠CBD =12（∠A +∠ACB ），∠OCB =12∠BCE =12
（∠A +∠ABC ）， ∴∠BOC =180°-（∠OBC +∠OCB ） ∴1902
BOC A ︒∠=-
∠ 【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．
2．已知在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°．
（1）∠ABC ＋∠ADC ＝ °；
（2）如图①，若DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC 的外角，请写出DE 与BF 的位置关系，并证明；
（3）如图②，若BE ，DE 分别四等分∠ABC 、∠ADC 的外角（即∠CDE ＝
14∠CDN ，∠CBE ＝14
∠CBM ），试求∠E 的度数．
【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450
【解析】
【分析】
（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；
（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=1
2
∠ADC，∠CBF=
1
2
∠CBM，
然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；
（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】
（1）解：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；
故答案为180°；
（2）解：延长DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=1
2
∠ADC，∠CBF=
1
2
∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF，
即DE⊥BF；
（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，
∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE=1
4
×180°=45°，
延长DC交BE于H，
由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E=90°-45°=45°
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．
3．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；
（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．
【答案】（1）15°；（2）DCE 2αβ-∠=
；（3）75°． 【解析】
【分析】
（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数；
（2）∠DCE ＝2αβ
- ．
（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出
∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=
12∠ACB+12∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】
解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，
又因为CE 是∠ACB 的平分线，
所以1352
ACE ACB ∠=∠=︒．
因为CD 是高线， 所以∠ADC ＝90°，
所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，
所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°．
（2）DCE 2αβ
-∠=．
（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′，
则152DCE αβ
-'==︒∠．
因为CE 是∠ACB 的外角平分线，
所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝
1(+)2
ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°．
即∠DCE 的度数为75°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．
4．如图，在△ABC 中，已知AD BC ⊥于点D ，AE 平分()BAC C B ∠∠>∠
（1）试探究EAD ∠与C B ∠∠、的关系；
（2）若F 是AE 上一动点，当F 移动到AE 之间的位置时，FD BD ⊥,如图2所示，此时EFD C B ∠∠∠与、的关系如何？
（3）若F 是AE 上一动点，当F 继续移动到AE 的延长线上时，如图3，FD BC ⊥，①中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.
【答案】（1）∠EAD=
12（∠C-∠B ），理由见解析； （2）∠EFD=12
（∠C-∠B ），理由见解析；
（3）∠AFD=1
2
（∠C-∠B）成立，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由图不难发现∠EAD=∠EAC-∠DAC，再根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC和∠DAC；
（2）作AG BC
⊥于G转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决；
（3）作AH BC
于H转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决．
【详解】
解：（1）∠EAD=1
2
（∠C-∠B）.理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=1
2
∠BAC
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠EAC=1
2
[180°-（∠B+∠C）]
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，∵∠EAD=∠EAC-∠DAC
∴∠EAD=1
2
[180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）=
1
2
（∠C-∠B）．
（2）∠EFD=1
2
（∠C-∠B）.理由如下：
作AG BC
⊥于G
由（1）可知∠EAG=
12
（∠C-∠B ） ∵FD BD ⊥，AG BC ⊥
∴FD ∥AG
∴∠EAG=∠EFD ∴∠EFD=12
（∠C-∠B ） （3）∠AFD=12
（∠C-∠B ）．理由如下：
作AH BC ⊥于H
由（1）可知∠EAH=
12
（∠C-∠B ） ∵FD BD ⊥，AH BC ⊥
∴FD ∥AH
∴∠EAH=∠AFD
∴∠AFD=12
（∠C-∠B ） 【点睛】 本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的定义和三角形内角和定理是解答此题的关键．
5．如图, A 为x 轴负半轴上一点, B 为x 轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2).
(1)求△BCD 的面积；
(2)若AC ⊥BC,作∠CBA 的平分线交CO 于P ,交CA 于Q,判断∠CPQ 与∠CQP 的大小关系, 并证明你的结论.
【答案】（1）3；（2）∠CPQ＝∠CQP，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；【详解】
解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2），
∴CD=3，且CD//x轴
∴△BCD面积=1
2
×3×2=3；
（2）∠CPQ＝∠CQP，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°
∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ
∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，
∴∠CQP＝∠CPQ
（2）∠CPQ＝∠CQP，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°
∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ
∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，
∴∠CQP＝∠CPQ
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键.
6．如图，将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上，直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点Ｅ、Ｄ，且AD为∠BAC的平分线，∠B=300，∠ADE=150.（1）求∠BDN的度数；
（2）求证：CD=CE.
【答案】（1）∠BDN=∠CDE=450（2）CD=CE
【解析】
试题分析：（1）根据直角三角形的性质，求出∠BAC=60°，然后根据角平分线的性质求出∠CAD=30°，进而根据三角形的内角和求出∠CDA=60°，最后根据角的和差求解即可；（2）结合（1）的关系，由“等角对等边”得出结论.
试题解析：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB=900，∠B=300,
∴∠BAC=600,又AD平分∠BAC，
∴∠CAD=300,又∠ACD=900,
∴∠CDA=600
又∠ADE=150，
∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=600-150=450
∴∠BDN=∠CDE=450
（2）在△CED中，∠ECD=900，∠CDE=450
∴∠CED=450
∴ CD=CE
点睛：此题主要考查了直角三角形、角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是利用三角形的外角和内角求解角之间的和差关系即可.
7．已知，如图甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC 于D．
（1）试说明：∠EFD=（∠C﹣∠B）；
（2）当F在AE的延长线上时，如图乙，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）成立，证明见详解.
【解析】
【分析】
(1) 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到
∠BAE=1
2
∠BAC=
1
2
（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣1
2
（∠B+∠C），然后根据三角形的外角的
性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求得结论；
(2)根据(1)可以得到∠AEC=90°+1
2
（∠B﹣∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利
用直角三角形的两个锐角互余即可求解.【详解】
解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=1
2
∠BAC=
1
2
（180°﹣∠B﹣∠C）
=90°﹣1
2
（∠B+∠C），
∵∠FEC=∠B+∠BAE，
则∠FEC=∠B+90°﹣1
2
（∠B+∠C）
=90°+1
2
（∠B﹣∠C），
∵FD⊥EC，
∴∠EFD=90°﹣∠FEC，
则∠EFD=90°﹣[90°+1
2
（∠B﹣∠C）]
=1
2
（∠C﹣∠B）；
（2）成立．
证明：同（1）可证：∠AEC=90°+1
2
（∠B﹣∠C），
∴∠DEF=∠AEC=90°+1
2
（∠B﹣∠C），
∴∠EFD=90°﹣[90°+1
2
（∠B﹣∠C）]
=1
2
（∠C﹣∠B）．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．
8．（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
（简单应用）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，
求∠P的度数；
（问题探究）
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
（拓展延伸）
（4）在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=1
3∠CAB，∠CDP=1
3
∠CDB，试问∠P与
∠C、∠B之间的数量关系为： ______ （用α、β表示∠P,不必证明）
【答案】（1）证明见解析；（2）26°；（3）26°；（4）∠P=2
3
α+
1
3
β.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；
（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；
（4）列出方程组即可解决问题．
【详解】
（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；
(2) 如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠2+∠B=∠3+∠P，
∠1+∠P=∠4+∠D，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=1
2
（∠B+∠D）=
1
2
×（36°+16°）=26°；
(3)如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=1
2
（∠B+∠D）=
1
2
×（36°+16°）=26°；
(4)∠P=2
3
α+
1
3
β.
9．动手操作，探究：
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．
已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．并说明理由．
探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．
探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF如图（3）所示，请你直接写出∠P 与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系．
【答案】探究一： 90°+1
2
∠A；探究二：
1
2
（∠A+∠B）；探究三：
∠P=1
2
（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
【解析】试题分析：
探究一：根据角平分线的定义可得∠PDC=1
2
∠ADC，∠PCD=
1
2
∠ACD，然后根据三角
形内角和定理列式整理即可得解.
探究二：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.
探究三：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.试题解析：
探究一：∵DP、CP分别平分∠AD C和∠ACD，
∴∠PDC=1
2
∠ADC，∠PCD=
1
2
∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-1
2
∠ADC-
1
2
∠ACD，
= 180°-1
2
（∠ADC+∠ACD），
=180°-1
2
（180°-∠A），
=90°+1
2
∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=1
2
∠ADC，∠PCD=
1
2
∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-1
2
∠ADC-
1
2
∠BCD，
=180°-1
2
（∠ADC+∠BCD），
=180°-1
2
（360°-∠A-∠B），
=1
2
（∠A+∠B）；
探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）×180°=720°，∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=1
2
∠EDC，∠PCD=
1
2
∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-1
2
∠EDC-
1
2
∠BCD，
=180°-1
2
（∠EDC+∠BCD），
=180°-1
2
（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），
=1
2
（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=
1
2
（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．
点睛：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，在此类题目中根据同一个解答思路求解是解题的关键.
10．已知：如图，等边三角形ABD与等边三角形ACE具有公共顶点A，连接CD，BE，交于点P.
（1）观察度量，BPC
∠的度数为＿＿＿＿.（直接写出结果）
（2）若绕点A将△ACE旋转，使得180
BAC
∠=︒，请你画出变化后的图形.（示意图）（3）在（2）的条件下，求出BPC
∠的度数.
【答案】（1）120°;（2）作图见解析；（3）∠BPC =120°．
【解析】
分析：（1）∠BPC的度数为120°，理由为：由△ABD与△ACE都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形DAC与三角形BAE全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ADC=∠ABE，利用外角性质，等量代换即可得到所求；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）解法同（1），求出∠BPC的度数即可．
本题解析：
（1）∠BPC的度数为120°，理由为：
证明：∵△ABD与△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，
{
AD AB
DAC BAE
AC AE
=
∠=∠
=
，∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，∵∠ADC+∠CDB=60°，∴∠ABE+∠CDB=60°，
∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵△ABD与△ACE都是等边三角形，
∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，
{AD AB
DAC BAC AC AE
=
∠=∠
=
，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ABE+∠DBP=60°，
∴∠ADC+∠DBP=60°，∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．
点睛：本题考查了等边三角形的性质，外角性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.。