1.2.4平面与平面的位置关系

①若a⊥b，a∥α，则b⊥α；
②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β；
④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。
其中不正确的命题的个数是（ D ）．
A．1 B．2
C．3 D．4
六、两个平面垂直课堂练习
3．在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB， 若AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为 30°，则此二面角的大小是（ D ） A.30°，B.30°或150°，C.45°，D.45°或135°
A′
A α
在Rt△BA′A中 BA AB 2 2a
2
B′ 在Rt△BB′A′中，
AB BA2 BB2 2a2 a2 a
布置作业
P46
第 8、 9 题。
三、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD
证AB垂直于β内的两条相交直线就行。 而我们已经有AB⊥CD，只需寻求另一
条就够了。 而我们还有α⊥β这个条件没使用，由
α⊥β定义，则∠ABE为直角，即有 AB⊥BE，也就有 AB⊥β，
问题也就得到解决．
四、两个平面垂直的性质
[两个平面垂直的性质定理1] 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于
它们交线的直线垂直于另一个平面．
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的 一条垂线，那么这两个平面互相垂 直.
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那 么这两个平面互相垂直。
已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
∪
求证：α⊥β.
α
A
证明：设α∩β=CD,则B∈CD.
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
一、判断：
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条 直线，则α⊥β.（ ×）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条 直线，则α⊥β.（ ×）
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.（ √ ）
4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( )√
∪
二、填空题： 1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面
六、两个平面垂直课堂练习
1．给出下列四个命题：
①垂直于同一个平面的两个平面平行；
②垂直于同一条直线的两个平面平行；
③垂直于同一个平面的两条直线平行；
④垂直于同一条直线的两条直线平行．
其中正确的命题的个数是（ B ）．
A．1 B．2
C．3
D．4
2．给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α，β，γ表平面）
角的两个面内，且AB与两个面所成的角分别为30°
和45°，设A，B两点在棱上的射影分别为A′，B′，
则 A′B′长等于（ ）． C
A. a 2
B. 2 a 2
C. a
D. 2a .
提示：利用直线与平面所成用
的定义和垂直关系得：
β
∠BAB′=30° ，∠ABA′=45° ∴
B
在Rt△BB′A中，BB′=AB/2=a，
归纳小结：
(1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理
(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互 相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另 一个平面的依据；
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面面垂直 的问题可以转化为线面垂直的问题来解决.
(4) 已知面面垂直易找面的垂线
两个平面垂直的判定和性质
回顾旧知 （1）二面角的定义 （2）二面角的平面角的定义
（3）两个平面垂直的定义
[情境问题] （1）竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面
应满足怎样的位置呢？ （2）为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，
墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关 系呢？
容易得出结论：电线杆与地面应该垂直，否则容易 倾倒；如果墙面发生倾斜，墙就容易倒塌，所以砌 墙时，不能让墙面倾斜．
与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作__一__个平
面与α垂直.
三、两个平面垂直的性质定理
如图2，α⊥β，AB⊂α，AB⊥CD， α∩β=CD，求证：AB⊥β。
[分析] 在β内作BE⊥CD。要证AB⊥β，只需
[两个平面垂直的性质定理2] 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一
点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
五、两个平面垂直应用举例
例题 如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动 点注，意过：动本点题C的也直可线以V先C垂推直出于AC⊙垂O直所于在平平面面VB，C，D、再E由分
别D是E∥VAA、C，VC推的出中上点面，的直结线论D。E与平面VBC有什么关系？
C
B
D 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则
β
E
∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，
∪
∵AB⊥β，BE β，
∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是
直二面角，∴α⊥β.
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
课堂练习：
如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱 于C，连OB、OC，则∠ABC=45° ， ∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角的平面角。
α A
B
βO
C1a 2
则sin∠ACO=
AO AC

2 2
∴∠ACO=45°
4．线段AB长为2a，两端点A，B分别在一个直二面
试说明理由．
解：由VC垂直于⊙O所在平面，知 VC⊥AC，VC⊥BC，即 ∠ACB是二面角 A-VC-B的平面角．由∠ACB是直径上的 圆周角，知 ∠ACB =90°。
因此，平面 VAC⊥平面VBC．由DE是 △VAC两边中点连线，知 DE∥AC，故 DE⊥VC．由两个平面垂直的性质定理， 知直线DE与平面VBC垂直。
A
B
C
E
D