新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测题(含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知函数()2
ln f x x ax x =-+有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．0,1
B ．(),1-∞
C ．0,
D ．11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2．已知函数()()1
1332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛
⎫ ⎪⎝⎭、、的
大小关系（ ） A ．()()0.5
231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝
⎭
B ．0.5
321(log )(0.5)(log 9)2
f f f ->>
C ．0.5
321
(0.5
)(log )(log 9)2
f f f ->>
D ．0.5
231
(log 9)(0.5
)(log )2
f f f ->>
3．已知函数()3
2
2f x x ax x =--+,则“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知函数23,0
()3,0
xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的
对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )
A ．1(,1)2
B ．1
(2
，2)
C ．(1,2)-
D ．(1,3)-
5．若函数()2
2ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞
D ．()8,+∞
6．已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ）
A ．(1)(1,)-∞-⋃+∞，
B ．(1,+)∞
C ．1
(,)(1,+)3
-∞-⋃∞
D ．(,2)
(1,)-∞-+∞
7．当01x <<时，()ln x
f x x
=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()()2
2f
x f x f x <<
B ．()
()()2
2
f x f
x f x <<
C ．()()
()2
2
f x f x f
x << D ．()
()()2
2
f x f x f
x <<
8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若函数
()()
3
222113
f x x bx a c ac x =
+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 9．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－∞，＋∞)
D ．(1，＋∞)
10．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()2
f x f x x +-=，且
在[)0,+∞上有()f x x '>.若()()222f k f k k --≥-，则k 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞ B ．(],1-∞
C ．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．50,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
11．已知()3
21233
y x bx b x =
++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ） A ． 1b <-或2b > B ．
1,
b ≤-或b 2≥
C ．12b -<<
D ．12b -≤≤
12．设函数()'f x 是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，3()
()0f x f x x
'+<，则函数31
()()g x f x x
=-的零点个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1
D ．0
二、填空题
13．若关于x 的方程()2
ln ln x ax x x -=有且只有三个不相等的实根，则实数a 的取值范围是__________.
14．已知||()cos x f x e x =+，则不等式(21)(1)f x f x -≥-的解集为__________. 15．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '->，其中()'f x 是函数()f x 的导函数.若2(2020)(2020)(2)f k k f ⋅-<-⋅，则实数k 的范围为________ 16．若函数()()2
212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是
______.
17．设()22,0
ln ,0
x mx x f x x mx x ⎧-+<=⎨->⎩，若方程()f x x =恰有三个零点，则实数m 的取值范
围为______.
18．已知函数()3
21213f x x x ax =+-+，若函数()f x 在()2,2-上有极值，则实数a 的取值范围为______.
19．已知函数()1ln 2f x x x ax ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________. 20．已知函数()ln f x x x =．存在k Z ∈，使()2f x kx k >--在1x >时恒成立，则整数k 的最大值为________．
三、解答题
21．已知：函数()sin cos =-f x x x x . （1）求()f π'； （2）求证：当(0,
)2
x π
∈时，31()3
f x x <；
（3）若()cos f x kx x x >-对(0,)2
x π
∈恒成立，求实数k 的最大值.
22．已知函数()1
ln x
x f x x -=
-. （1）求()f x 的单调区间；
（2）求函数()f x 在1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值（其中e 是自然对数的底数）.
23．已知函数321
()13
f x x ax =-+.
（1）若函数()1y f x =-是奇函数，直接写出a 的值； （2）求函数()f x 的单调递减区间；
（3）若()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，求a 的最大值.
24．已知函数432()f x ax x bx =++(),a b ∈R ，()()()g x f x f x '=+是偶函数． （1）求函数()g x 的极值以及对应的极值点． （2）若函数4
3221()()(1)4
h x f x x c x x cx c =++--++，且()h x 在[]2,5上单调递增，求实数c 的取值范围． 25．
已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：
1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈， 2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．
其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的
[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．
（Ⅰ）若()cos f x x =，[0,]x π∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；
（Ⅱ）已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由；
（Ⅲ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围. 26．已知函数32()4f x x ax =-+-. （I ）若4
()3
f x x =
在处取得极值，求实数a 的值； （II ）在（I ）的条件下，若关于x 的方程()[1,1]f x m =-在上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解. 【详解】 由题意得2
ln x x
a x
+=
有两个零点 243
1
(1)(ln (2)
12ln x x x x x x x a x x +-+-='-=
） 令()12ln (0)g x x x x =--> ,
则
2
()10g x x
'=--<且(1)0g = 所以(0,1),()0,0x g x a ∈>'>，2
ln x x
a x
+=在(0,1)上为增函数， 可得),(1a ∈-∞，
当(1,),()0,0x g x a ∈+∞<<'，2
ln x x
a x
+=在(1,)+∞上单调递减， 可得(0,1)∈a ， 即要2
ln x x
a x +=有两个零点有两个零点，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：A
方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
2．A
解析：A 【分析】
首先设函数()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数()y f x =的对称性和单调性，再将2log 9，0.50.5-，以及31
log 2
转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小. 【详解】
令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，
()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数； ()ln3(33)2sin x x g x x -'=-+，
当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数， 将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增. ∵
23log 94<<，0.50.5-=()331
2log 2log 22,32
-=+∈， ∴0.523
1
4log 92log 0.512
->>->>， ∴()()0.5
23
1log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝
⎭
， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭，
∴()()0.5
231log 9log 0.52f f f -⎛
⎫>> ⎪⎝
⎭
. 故选：A 【点睛】
思路点睛：本题是一道函数单调性，奇偶性，对称性，判断大小的习题，本题所给函数
()()11332cos 1x x x f x --+=+--，看似很复杂，但仔细观察就会发现，通过换元后可判
断函数()1y f x =+是偶函数，本题的难点是判断函数的单调性，关键点是能利用对称性，转化3
311log 2log 22f f ⎛⎫⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
3．A
【分析】
由()f x 在()2,4上单调递增，等价于23131
222x a x x x
-≤=-
在()2,4上恒成立， 再求得114a ≤，再判断“2a ≤”与“11
4
a ≤
”的充分必要性即可. 【详解】
解：若()f x 在()2,4上单调递增，则()2
3210f x x ax '=--≥,即2
3131
222x a x x x
-≤=-
在()2,4上恒成立. 又31()22h x x x =
-在()2,4上单调递增,则3111224x x ->，所以11
4
a ≤. 故“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的充分不必要条件. 故选A. 【点睛】
本题考查了由函数的单调性研究参数的范围，重点考查了充分必要条件，属中档题.
4．C
解析：C 【分析】
先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】
设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则0
0,
12
y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，
（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点
(,ln 3)C x x x x -，
()ln 31
ln 13ln 2x x x f x x x x k x
-+'=+-=-=-=
，
整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()2
3f x x x =+，
设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，
()231
23x x f x x k x
++'=+=-=
，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，
所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，
在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点； 在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，
故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
5．B
解析：B 【分析】
对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】
因为函数()2
2ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+
所以()2
8f x x b x
'=
++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()2
80f x x b x
'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以2
8b x x
>-
-， 设()2
8g x x x
=-
-，则()max b g x >
()2
28g x x '=
- 令()0g x '=，得到1
2
x =
，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max 182g x g ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
， 所以8b >-，
故选B. 【点睛】
本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.
6．D
解析：D 【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围. 【详解】
由210x ->解得1x <-或1x >，故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >，且
()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当1x >时，令22x x y -=+，
'
1412ln 2ln 2022x x x x y -⎛⎫
=-=⨯> ⎪⎝
⎭，所以22x x y -=+在1x >时递增，根据复合函数
单调性可知()
2
ln 1y x =-在1x >时递增，所以函数()f x 在1x >时递增，故在1x <-时
递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪
+>⎨⎪>⎩
，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.
故选D. 【点睛】
本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.
7．D
解析：D 【分析】
由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()
2
f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函
数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()
2
f x 的大
小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2
f x 的大
小，从而求得最后的结果. 【详解】
根据01x <<得到201x x <<<，而()2
1ln 'x
f x x -=
， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，
从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()
()()2
10f x f x f <<=， 而()2
22ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，所以有()()()22f x f x f x <<.
故选D. 【点睛】
本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
8．C
解析：C 【解析】 函数()()
3
222113
f x x bx a c ac x =
+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2
22
2f x x bx a c ac +++'=- ，222222
1
0cos 22
a c
b b a
c ac B ac +-=--+≤⇒=≥
()0,(0,].3B B ππ∈∴∈故最大值为：3
π
．
故答案为C ．
9．C
解析：C 【解析】
y ′＝3x 2＋1>0对于任何实数都恒成立．
10．B
解析：B 【分析】
构造函数()()2
12
g x f x x =-
，可得()g x 在[)0,+∞上单调递增，利用奇偶性的定义知()g x 是奇函数，进而求解不等式即可.
【详解】
由题意当0x ≥时，()f x x '>，构造函数()()2
12
g x f x x =-
，
则()()'0g x f x x '=->，得()g x 在[)0,+∞上单调递增， 又由条件()()2
f x f x x +-=得()()0
g x g x +-=.
所以()g x 是奇函数，又()g x 在[)0,+∞上单调递增且()00g =，所以()g x 在R 上单调递增，
由()()222f k f k k --≥-，得()()20k g k g --≥，即()()2g k g k -≥， 根据函数()g x 在R 上单调递增，可得2k k -≥，解得1k ≤. 故选：B 【点睛】
本题考查导数在函数单调性中的应用，考查函数的奇偶性，属于中档题．
11．D
解析：D 【分析】
利用三次函数()3
21233
y x bx b x =++++的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题． 【详解】
∵()3
21233
y x bx b x =
++++，∴222y x bx b '=+++， ∵函数是R 上的单调增函数，∴2220x bx b +++≥在R 上恒成立， ∴0∆≤，即244(2)0b b -+≤.∴12b -≤≤ 故选：D. 【点睛】
本题考查根据导函数研究函数的单调性，属于中档题.可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上()0f x '≥（或()0f x '≤）（()'f x 在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式0∆≤来进行求解.
12．D
解析：D 【分析】
构造函数3()()1F x x f x =-，可得出3()
()F x g x x
=
，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数
3
()
()F x g x x =
的零点个数. 【详解】
设3()()1F x x f x =-，则323
3()()()3()()f x F x x f x x f x x f x x '''
⎡⎤
=+=+⎢⎥⎣
⎦
. 当0x ≠时，3()
()0f x f x x
'+
<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在(0,)+∞上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(,0)-∞上单调递增. 所以max ()(0)10F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故331()
()()F x g x f x x x
=-=也没有零点. 故选：D . 【点睛】
本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】由参变量分离法得出令（且）作出函数的图象由题意可知关于的方程的两根满足数形结合可得出实数的取值范围【详解】显然不满足方程；当且时由得令对函数求导得令得列表如下： 单调
解析：1,e e ⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
【分析】
由参变量分离法得出ln ln x x a x x
=-，令ln x t x =（0x >且1x ≠），1
y t t =-，作出函
数ln x t x =
的图象，由题意可知，关于t 的方程1a t t
=-的两根1t 、2t 满足11
0t e <<，20t <，数形结合可得出实数a 的取值范围.
【详解】
显然1x =不满足方程()2
ln ln x ax x x -=；
当0x >且1x ≠时，由()2
ln ln x ax x x -=得ln ln x x
a x x
=
-， 令ln x t x =，1y t t =-，对函数ln x
t x
=求导得2
1ln x
t x ，令0t '=得x e =，列表如下：
t '
+
+
-
t
单调递增
单调递增
极大值
单调递减
所以，函数ln x
t x =
在x e =处取得极大值，即1t e
=极大值，如下图所示：
由于关于x 的方程()2
ln ln x ax x x -=有且只有三个不相等的实根，
则关于t 的方程1
a t t =-要有两个根1t 、2t ，且11
0t e
<<
，20t <，如下图所示：
所以，1
a e e
<
-. 综上所述，实数a 的取值范围是1,e e
⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
. 故答案为：1,e e
⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
. 【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查了利用导数研究函数的零点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
14．【分析】首先根据题意得到为偶函数利用导数求出的单调区间再根据单调区间解不等式即可【详解】又因为所以为偶函数当时因为所以故在为增函数又因为为偶函数所以在为减函数因为所以解得或故答案为：【点睛】本题主要
解析：2(,0],3⎡⎫
-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】
首先根据题意得到()f x 为偶函数，利用导数求出()f x 的单调区间，再根据单调区间解不等式即可. 【详解】
又因为x ∈R ，()()()||
||cos cos x x f x e x e x f x --=+-=+=，
所以()f x 为偶函数.
当0x >时，()cos x f x e x =+，()sin x f x e x '=-， 因为0x >，e 1x >，所以()sin 0x f x e x '=->， 故()f x 在()0,∞+为增函数.
又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0-∞为减函数. 因为(21)(1)f x f x -≥-，所以211x x -≥-，解得2
3
x ≥
或0x ≤. 故答案为：2(,0],3⎡⎫
-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，同时考查了函数的奇偶，属于中档题.
15．【分析】构造函数利用导数研究在区间的单调性由此求得实数的取值范围【详解】设函数在单调递增依题意的定义域为所以故故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式属于中档题 解析：()2020,2022
【分析】 构造函数()()
()0f x g x x x
=
>，利用导数研究()g x 在区间()0,∞+的单调性，由此求得实数k 的取值范围. 【详解】 设函数()()
()0f x g x x x
=
>，2
()()
()0xf x f x g x x =
'-'>，
()g x ∴在()0,∞+单调递增.
依题意，()f x 的定义域为()0,∞+，所以20200,2020k k ->>，
2(2020)(2020)(2)f k k f ⋅-<-⋅，
(2020)(2)
20202
f k f k -∴
<-，
故020202k <-<，20202022k ∴<<. 故答案为：()2020,2022 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究不等式，属于中档题.
16．或【分析】首先求出函数的导函数当时可得在定义域上单调递减再根据零点存在性定理可得在上存在唯一的零点当时由导数可得函数的单调性及最小值为令利用导数说明的单调性即可求出参数的值；【详解】解：因为定义域为
解析：0a ≤或1a = 【分析】
首先求出函数的导函数，当0a ≤时，可得()f x 在定义域上单调递减，再根据零点存在性定理可得()f x 在()0,1上存在唯一的零点，当0a >时，由导数可得函数()f x 的单调性及最小值为()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫
==+-
⎪⎝⎭
，令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞利用导数说明()g a 的单调性，即可求出参数a 的值； 【详解】
解：因为()()2
212ln 1f x ax a x x =+---，定义域为()0,∞+，
所以()()()()()2
22122112221ax a x ax x f x ax a x x x
+---+'=+--== 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，即()f x 在定义域上单调递减，()()1310f a =-<，当
0x +→时，20ax →，()210a x -→，2ln x -→+∞，所以()f x →+∞，所以()
f x 在()0,1上存在唯一的零点，满足条件； 当0a >时，令()()()2110ax x f x x -+'=>，解得1x a >即函数在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递
增，令()()()2110ax x f x x
-+'=<，解得10x a <<即函数在10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，
则()f x 在1x a =
取值极小值即最小值，()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫
==+- ⎪⎝⎭
，
令()112ln g a a a =+-
，()0,a ∈+∞，则()22
2121
0a g a a a a +'=+=
>恒成立，即()1
12ln g a a a
=+-
在定义域上单调递增，且()112ln110g =+-=， 所以要使函数()()2
212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则
()min 1112ln 0f x f a a a ⎛⎫
==+-= ⎪⎝⎭
，
解得1a =，
综上可得0a ≤或1a =； 故答案为：0a ≤或1a = 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于中档题.
17．【分析】将问题转化为与图像交点个数有3个的问题利用导数研究函数单调性和最值数形结合即可求得结果【详解】当时等价于；当时等价于；令则方程恰有三个零点等价于与直线有三个交点当时则令解得故该函数在区间单调
解析：1m <-
【分析】
将问题转化为()2,0,0x x x
h x lnx x x
⎧
+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩与1y m =+图像交点个数有3个的问题，利用导数研
究函数单调性和最值，数形结合即可求得结果. 【详解】
当0x <时，22y x mx x =-+=，等价于2
1x m x
+=+； 当0x >时，y lnx mx x =-=，等价于
1lnx
m x
=+； 令()2,0,0x x x
h x lnx x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩
，
则方程()f x x =恰有三个零点，等价于()y h x =与直线1y m =+有三个交点. 当lnx y x =
时，则21lnx y x
-='，令0y '=，解得x e =， 故该函数在区间()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减. 且x e =时，1
y e
=；又x e >时，0y >； 而当2
y x x
=+
时，由对勾函数性质，容易知：
当x =
y =-. 故()h x 的图像如下所示：
数形结合可知，要满足题意，只需122m +<-， 解得221m <-. 故答案为：221m <-. 【点睛】
本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及利用导数研究函数单调性，对勾函数，属综合中档题.
18．【分析】求出函数的导数利用函数的极值点转化列出不等式求解即可【详解】解：可得导函数的对称轴为x ＝﹣1f （x ）在（﹣22）上有极值可得或可得或解得故答案为：【点睛】本题考查函数的导数的应用函数的极值的
解析：1,42⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【分析】
求出函数的导数，利用函数的极值点，转化列出不等式求解即可. 【详解】 解：()3
21213
f x x x ax =+-+， 可得()'
222f x x x a =+-，导函数的对称轴为x ＝﹣1，f （x ）在（﹣2，2）上有极值，
可得(2)0(1)0f f >⎧⎨
-<''⎩或(2)0
(1)0
f f ->⎧⎨-<''⎩，
可得44201220a a +->⎧⎨
--<⎩或4420
1220
a a -->⎧⎨--<⎩，
解得1,42a ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭. 故答案为：1,42⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力.
19．【分析】对函数进行求导得则方程在时有两个根利用导数研究函数的值域
即可得答案；【详解】在时有两个根令令当时当时在单调递增在单调递减且当时当时与要有两个交点故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的值 解析：01a <<
【分析】
对函数进行求导得()1f x lnx ax '=+-，则方程ln 1
x a x
+=在0x >时有两个根，利用导数研究函数ln 1
()x g x x
+=的值域，即可得答案； 【详解】
()1ln 2f x x x ax ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，()1f x lnx ax '=+-．
∴ln 1
x a x +=
在0x >时有两个根， 令ln 1
()x g x x
+=
， 令()1g x lnx ax =+-，'22
1
(ln 1)
ln ()x x x x g x x x ⋅-+==-
当01x <<时，'()0g x >，当1x >时，'()0g x <，
∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且(1)1g =，
当x →+∞时，()0g x →，当0x →时，()g x →-∞，
y a =与()y g x =要有两个交点，
∴01a <<
故答案为：01a <<. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.
20．2【分析】由即则将问题转化为在上恒成立令利用导函数求出最小值即可【详解】解:因为由即对任意的恒成立得（）令（）则令得画出函数的图象如图示:与在有唯一的交点∴存在唯一的零点又∴零点属于∴在递减在递增而
解析：2 【分析】
由()2f x kx k >--,即ln 2x x kx k >--,则将问题转化为ln 2
1
x x k x +<-在1x >上恒成立,
令ln 2
()1
x x h x x +=-,利用导函数求出最小值即可． 【详解】
解:因为()ln f x x x =,
由()2f x kx k >--即()()12k x f x --<对任意的1x >恒成立, 得ln 2
1
x x k x +<
-（1x >）, 令ln 2()1
x x h x x +=
-（1x >）,则2
ln 3()(1)x x h x x '
--=-, 令()ln 30g x x x =--=,得3ln x x -=, 画出函数3y x =-,ln y x =的图象,如图示:
∴3y x =-与ln y x =在1x >有唯一的交点,
∴()g x 存在唯一的零点,
又()41ln40g =-<,()52ln50g =->, ∴零点0x 属于()4,5,
∴()h x 在()01,x 递减,在()0,x +∞递增, 而4ln 44
2(4)33h +<=
<,115ln 55(5)344
h +<=<, ∴()023h x <<,k Z ∈， ∴k 的最大值是2. 故答案为:2 【点睛】
本题考查不等式的恒成立问题,考查利用导函数求最值,考查零点存在性定理的应用,考查数形结合思想.
三、解答题
21．（1）0；（2）证明见解析；（3）2
π
.
【分析】
（1）首先求函数的导数，再代入求()f π'的值；（2）首先设函数()()3
13
g x f x x =-
，
求函数的导数，利用导数正负判断函数的单调性，求得函数()max 0g x <，（3）首先不等式等价于sin x kx >对(0)2x π∈，恒成立，参变分离后转化为sin x k x <对(0)2
x π
∈，恒成立，
利用导数求函数sin ()x
h x x
=的最小值，转化为求实数k 的最大值. 【详解】
()cos (cos sin )sin f x x x x x x x '=--=
（1）()0f π'=；
（2）令31()()3
g x f x x =-，则2
()sin (sin )g x x x x
x x x '=-=-，
当(0)2
x π∈，时，设()sin t x x x =-，则()cos 10t x x '=-<
所以()t x 在(0)2
x π∈，单调递减，()sin (0)0t x x x t =-<=
即sin x x <，所以()0g x '<
所以()g x 在(0)2
π，上单调递减，所以()(0)0g x g <=， 所以31()3
f x x <
. （3）原题等价于sin x kx >对(0)2
x π∈，恒成立， 即sin x k x <
对(0)2
x π
∈，恒成立， 令sin ()x
h x x
=
，则22cos sin ()()x x x f x h x x x -'=
=-. 易知()sin 0f x x x '=>，即()f x 在(0)2
π
，单调递增， 所以()(0)0f x f >=，所以()0h x '<， 故()h x 在(0)2π，单调递减，所以2()2k h π≤=π
. 综上所述，k 的最大值为2
π
.
【点睛】
方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：
1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；
2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.
22．（1）()f x 在()0,1上单调递增，在()1
+∞，上单调递减；（2）()f x 的最大值为
0，最小值为2e -. 【分析】
（1）求出()f x 的定义域和()2
1x
f x x -'=
，分别令()0f x '>，()0f x '<可得答案. （2）由（1）得()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在[]1,e 上单调递减，求出()f x 极值和函数的端点值可得答案. 【详解】 （1）()11
ln 1ln x x x
f x x x ---==-，()f x 的定义域为()0,∞+. ∵()22111x
f x x x x
-'=
-=，∴()001f x x '>⇒<<，()01f x x '<⇒>， ∴()1
1ln f x x x
=-
-在()0,1上单调递增，在()1+∞，上单调递减. （2）由（1）得()f x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在[]1,e 上单调递减，
∴()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为()1
11ln101f =--=.
又111ln 2f e e e e ⎛⎫
=--=-
⎪⎝⎭，()111ln f e e e e =--=-，且()1f f e e ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
. ∴()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12f e e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭.
∴()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为0，最小值为2e -.
【点睛】
把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的，函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.
23．（1）0；（2）当0a =时，无递减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是
(0,2)a ；当0a <时，()f x 的单调递减区间是(2,0)a ；（3）1.
【分析】
（1）令()3
2(113
)x ax g x f x =
-=-，根据函数()1y f x =-是奇函数，由()()g x g x -=-求解.
（2）求导2()2f x x ax '=-，分0a =，0a >和0a <三种情况，由()0f x '<求解. （3）将()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，转化为1
3
a x ≤
在区间[3,)+∞上恒成立求解.
【详解】
（1）已知函数32
1()13
f x x ax =-+，
所以()3
2(113
)x ax g x f x =
-=-， 因为函数()1y f x =-是奇函数， 所以()()g x g x -=-，即32321133x ax x ax ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
-， 所以220ax =， 解得0a =.
（2）2()2f x x ax '=-.
当0a =时，()0f x '≥，()f x 在(,)-∞+∞内单调递增； 当0a >时，由()0f x '<得：02x a <<； 当0a <时，由()0f x '<得：20a x <<.
综上所述，当0a =时，无递减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(0,2)a ； 当0a <时，()f x 的单调递减区间是(2,0)a . （3）因为()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，即
3
2103
x ax -≥在区间[3,)+∞上恒成立. 所以1
3
a x ≤在区间[3,)+∞上恒成立. 因为3x ≥，
所以
1
13
x ≥. 所以1a ≤.
所以若()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，a 的最大值为1. 【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则
（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<；
24．（1）函数()g x 的一个极大值点为，对应的极大值为9，另一个极大值点为
9；函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为0；（2）
4,13⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
． 【分析】
(1)求出()g x 的表达式，结合函数的奇偶性即可求出140
a b ⎧
=-⎪
⎨⎪=⎩，从而可确定()g x 的解析
式，求出导数即可求出函数的极值点和极值.
(2)结合第一问可得()h x 的解析式，从而可求出2()32h x cx x c '=-+，由()h x 的单调性可得
2
13c x x
≥
+在[]2,5上恒成立，设()1
3m x x x
=+，利用导数求出()m x 在[]2,5上的最小值，从而可求出实数c 的取值范围. 【详解】
解：（1）∵432()f x ax x bx =++，∴32()432f x ax x bx '=++，
∴432()()()(41)(3)2g x f x f x ax a x b x bx '=+=+++++，因为()g x 为偶函数，
∴41020a b +=⎧⎨=⎩，解得140
a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴431()4f x x x =-+，则42
1()34g x x x =-+，
∴3()6(g x x x x x x '=-+=-， 由()0g x '>
，解得x <
或0x <<
()0g x '<
，解得>x
0x <<；
∴()g x
在(,-∞
，(
单调递增；在(
)
，
)+∞单调递减．
∴函数()g x
的一个极大值点为
(9g =，
9g =；
函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为()00g =. （2）由（1）知4
31()4
f x x x =-+，∴4
3221()()(1)4
h x f x x c x x cx c =+
+--++322cx x cx c =-++，∴2()32h x cx x c '=-+，因为函数()h x 在[]
2,5上单调递增， ∴2
320cx x c -+≥在[]
2,5上恒成立，即
222
1313x c x x x
≥
=
++在[]2,5上恒成立，
设()13m x x x =+，令()22213130x m x x x -'=-==
，解得[]2,53
x =±，
当[]2,5x ∈时，()0m x '
>，所以()1
3m x x x
=+
在[]2,5上单调递增，
则()()1322
m x m ≥=，所以
24
=
13132
c ≥. 【点睛】 方法点睛：
已知奇偶性求函数解析式时，常用方法有：一、结合奇偶性的定义，若已知偶函数，则
()()f x f x -=，若已知奇函数，则()()f x f x -=-，从而可求出函数解析式；二、由奇
偶性的性质，即偶函数加偶函数结果也是偶函数，奇函数加奇函数结果也是奇函数. 25．（1）1()cos ,[0,]f x x x π=∈，2()1,[0,]f x x π=∈． （2）存在4k =，使得()f x 是[-1,4]上的“4阶收缩函数”．
（3
1b <≤ 【解析】
试题分析：（1）根据()f x 的最大值可求出1()f x ，2()f x 的解析式；（2）根据函数
2()f x x =，[14]x ∈-，
上的值域，先求出1()f x ，2()f x 的解析式，再根据21()()()f x f x k x a -≤-求出k 的取值范围得到答案.(3)先对函数()f x 求导判断函数的单调
性，进而写出1()f x ，2()f x 的解析式，然后再由21()()()f x f x k x a -≤-求出k 的取值范围. 试题
（1）由题意可得：()1cos f x x =，[]0x π∈，
，()21f x =，[]
0x π∈，. （2）()[)[]2110004x x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩
，，，，，()[)[]2211114x f x x x ⎧∈-⎪
=⎨∈⎪⎩，，，，，
()()[)
[)[]221211010114x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪
-=∈⎨⎪∈⎩
，，，，，，
当[]
10x ，
∈-时，()211x k x -≤+，∴1k x ≥-，2k ≥； 当()01x ∈，
时，()11k x ≤+，∴1
1
k x ≥+，∴1k ≥； 当[]14x ∈，时，()2
1x k x ≤+，∴2
1
x k x ≥+，165k ≥
综上所述，16
5
k ≥
.即存在4k =，使得()f x 是[]14-，
上的“4阶收缩函数”. （3）()()2
3632f x x x x x =-+'=--，令()0f x '=得0x =或2x =.函数()f x 的变化
情况如下：
令0f x =得0x =或3x =.
（1）当2b ≤时，()f x 在[]
0b ，
上单调递增，因此，()()3
2
23f x f x x x ==-+，()()100f x f ==.因为()323f x x x =-+是[]0b ，上的“二阶收缩函数”，所以，
①()()()2120f x f x x -≤-，对[
]
0x b ，
∈恒成立； ②存在[]0x b ，
∈，使得()()()210f x f x x ->-成立. ①即：3232x x x -+≤对[]0x b ，
∈恒成立，由3232x x x -+≤解得01x ≤≤或2x ≥. 要使3232x x x -+≤对[]0x b ，
∈恒成立，需且只需01b <≤. ②即：存在[]0x b ，
∈，使得()2310x x x -+<成立.
由()
2
310x x x -+<解得0x <x <<
.所以，只需b >.
综合①②1b <≤ （2）当23b <≤时，()f x 在[]
02，
上单调递增，在[]
2b ，上单调递减，因此，()()224f x f ==，()()100f x f ==，()()214f x f x -=，0x x -=，显然当0x =时，()()()2120f x f x x -≤-不成立，
（3）当3b >时，()f x 在[]02，
上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，()()224f x f ==，()()10f x f b =<，()()()2144f x f x f b -=->，0x x -=，显然当0x =时，()()()2120f x f x x -≤-不成立.
综合（1）（2）（31b <≤. 26．（I ）2a =；（II ）(4,3]--．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求导数，把4
3
x =
代入导函数为零可得关于a 的方程，解之可得实数a 的值，检验是否有极值即可；（Ⅱ）求()'f x ，利用导数研究函数的单调性，结合其变化规律可得函数的极值，数形结合可得答案. 试题
（I）
由题意得，经检验满足条件
（II）由（I）知
令（舍去）
当x变化时，的变化情况如下表：
x－1(－1,0)0（0，1）1
－0+
－1↘－4↗－3
∴实数m的取值范围是。