高中三角函数练习题附答案

高中三角函数练习题附答案
一、填空题
1．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PB 与平面ABC 所成角的大小为30，
AB =60ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．
2．若函数()sin
12
x
f x x π=+，则(1)(2)(3)(2021)f f f f +++⋯⋯+=__________
3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上的一点，若
6c =，b =sin BAD ∠=
，cos 4
BAC ∠=，则AD =__________. 4．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为
(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值
,,r r x
x y y
分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot
14
π
=； ②sin csc 1αα⋅=；
③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+；
⑤2cot 1
cot22cot ααα-=.
5．
在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则a
c
的取值范围
是______．
6．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了
这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为()e e cos 2
x x
h x -+=，并称其为双曲余弦函
数．若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-对0,2πθ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，则实数m 的取值范
围为______．
7．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在
3,164ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调，则ω的最大值是______． 8．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==
，12
n n n a b
c ++=，则n A ∠的最大值是________________. 9．已知当()0,x π∈时，不等式
2cos 23sin 2
0cos 4sin 1
x x x x +-≤--的解集为A ，若函数
()()()sin 0f x x =+<
<
在x A ∈上只有一个极值点，则ϕ的取值范围为______．
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点
P 在圆22
()2x a y -+=上运动.若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是________.
二、单选题
11．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）
A ．若12θθ=，则AC BC =
B ．若12θθ≠，则121tan tan 2
θθ⋅= C ．θ可能值为6
π
D ．当θ取值最大时，12θθ= 12．已知,a b Z ∈，满足)
98sin 50sin 50a b -︒︒=，则a b +的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BE
t CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34
B ．78
C ．1
D ．54
14．在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，13CD =，22AC =，3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．
927
π
B ．9π
C ．
1847
π
D ．18π
15．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（ ）
A ．
4
π B ．
3
π C ．
2
π D ．π
16．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝
⎭，已知,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直
线1312x π=
为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．
12
5 B ．85
C ．
165
D ．
185
17．设函数242,0
()sin ,60
x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-≤<⎩，对于非负实数t ，函数()y f x t =-有四个零点1x ，
2x ，3x ，4x ．若1234x x x x <<<，则1234x x x x ++的取值范围中的整数个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
18．已知函数()()sin 302f x x πϕϕ⎛
⎫=-<≤ ⎪⎝
⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，现有如下三个结论：
①ϕ的最小值为
3
π
； ②当ϕ取得最大值时，将函数()f x 的图像向左平移
18
π
个单位后，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图像，则1
32
g π⎛⎫= ⎪⎝⎭；
③函数()f x 在[]0,2π上有6个零点． 则上述结论正确的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
19．已知1F ，2F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a
b
-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的
直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(21,)-+∞
B ．(12,)++∞
C ．(1,1
2)
D ．(31,)++∞
20．设函数()3sin
x
f x m
π=，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足
()2
22
00x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）
A ．(,6)(6,)-∞-+∞
B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞
C ．(,2)(2,)-∞-+∞
D ．(,1)(1,)-∞-+∞
三、解答题
21．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移
3
π
个单位长度后得到函数()f x 的图象． （1）写出函数()f x 的解析式；
（2）若,36x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．
22．如图，某市一学校H 位于该市火车站O 北偏东45︒方向，且42OH km =，已知
, OM ON 是经过火车站O 的两条互相垂直的笔直公路，CE ,DF 及圆弧CD 都是学校道路，其
中//CE OM ，//DF ON ，以学校H 为圆心，半径为2km 的四分之一圆弧分别与, CE DF 相切于点, C D .当地政府欲投资开发AOB 区域发展经济，其中,A B 分别在公路, OM ON 上，且AB 与圆弧CD 相切，设OAB θ∠=，AOB 的面积为2Skm .
（1）求S 关于θ的函数解析式；
（2）当θ为何值时，AOB 面积S 为最小，政府投资最低？ 23．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.
（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC
的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.
（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.
（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.
24．已知函数2()23sin 2sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)3f =. （1）求a 的值；
（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围. 25．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；
（2）若0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.
26．如图，半圆的直径2AB =，O 为圆心，C ，D 为半圆上的点.
（Ⅰ）请你为C 点确定位置,使ABC ∆的周长最大，并说明理由； （Ⅱ）已知AD DC =，设ABD θ∠=，当θ为何值时， （ⅰ）四边形ABCD 的周长最大，最大值是多少? （ⅱ）四边形ABCD 的面积最大，最大值是多少
27．已知函数22()cos sin 3sin cos 3f x a x a x x x =-+-，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的对称中心；
（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值．
28．已知函数()f x 的图象是由函数()sin g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向左平移3
π
个单位长度.
（1）求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；
（2）已知关于x 的方程2
()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝
⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β.求
26cos(22)m αβ--的值.
29．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
（1）求a ·b 及||a b +；
（2）若3
()||2
f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值
30．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()2
2
2sin S
B C a c +=
-． （1）证明：2A C =；
（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．
【参考答案】
一、填空题
1．20π
2．3032 3．4 4．②④⑤
5．⎝⎭
6．1⎡⎤⎣⎦
7．13 8．π
3
##60°
9．2(0,)(
,)3
3
π
ππ⋃ 10．
1a 或4a
二、单选题 11．C 12．B 13．B 14．A 15．C 16．A 17．B 18．C 19．B 20．C
三、解答题
21．（1）2()2sin 233f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
；（2
）22min
21,47
()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】
(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x 的解析式;
(2)令()t f x =
可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-
，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4
m
t =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】
（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，可得2sin 23y x =+得图象，
再向右平移
3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=-+=-
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
． （2）∵,36x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣
⎦
，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-
，[1,3t ∈+， ①当
14
m
≤，即4m ≤时，函数()M t
在[1,3上单调递增， ∴22
min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；
②
当134
m
<
<
412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，
∴2
min 7()148
m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；
③
当
34
m
≥+
12m ≥+()M t
在[1,3+上单调递减，
∴2min ()(3(323M t M m m ==-++
∴综上有22min
21,47
()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】
本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取
值情况,难度较难.
22．（1）2[2(sin cos )1]2,0,sin cos 2S θθπθθθ+-⎛⎫
=⋅
∈ ⎪⎝⎭
；（2）4πθ=. 【解析】 【分析】
（1）以点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则(4,4)H ，在Rt ABO 中，设AB l =，又OAB θ∠=，故cos OA l θ=，sin OB l θ=，进而表示直线AB 的方程，由直线
AB 与圆H 相切构建关系化简整理得4(sin cos )2
sin cos l θθθθ
+-=，即可表示OA ,OB ，最后由三角
形面积公式表示AOB 面积即可；
（2）令2(sin cos )1t θθ=+-，则223
sin cos 8
t t θθ+-=
，由辅助角公式和三角函数值域可求得t 的取值范围，进而对原面积的函数用含t 的表达式换元，再令1
m t
=进行换元，并构
建新的函数2()321g m m m =-++，由二次函数性质即可求得最小值. 【详解】
解：（1）以点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则(4,4)H ，在Rt ABO 中，设AB l =，又OAB θ∠=，故cos OA l θ=，sin OB l θ=. 所以直线AB 的方程为
1cos sin x y
l l θθ
+=，即sin cos sin cos 0x y l θθθθ+-=. 因为直线AB 与圆H 相切， 所以
2
2
|4sin 4cos sin cos |
2sin cos l θθθθθθ
+-=+.(*)
因为点H 在直线AB 的上方， 所以4sin 4cos sin cos 0l θθθθ+->，
所以(*)式可化为4sin 4cos sin cos 2l θθθθ+-=，解得4(sin cos )2
sin cos l θθθθ
+-=.
所以4(sin cos )2sin OA θθθ+-=
，4(sin cos )2
cos OB θθθ
+-=
. 所以AOB 面积为21[2(sin cos )1]2,0,2sin cos 2S OA OB θθπθθθ+-⎛⎫
=⋅=⋅
∈ ⎪⎝⎭
.
（2）令2(sin cos )1t θθ=+-，则2
23
sin cos 8
t t θθ+-=，
且2(sin cos )121(1,221]4t πθθθ⎛
⎫=+-=+-∈ ⎪⎝
⎭，
所以22216
2322318
t S t t t t =⋅=+--++
，1]t ∈.
令1m t ⎫=∈⎪⎣⎭，2
2
14()321333g m m m m ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以()g m
在⎫⎪⎣⎭
上单调递减.
所以，当m =4πθ=时，()g m 取得最大值，S 取最小值.
答：当4
π
θ=时，AOB 面积S 为最小，政府投资最低.
【点睛】
本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.
23．（1）2 ；（2
）能放，tan θ=
；（3）(]0,1 【解析】 【分析】
（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.
（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，
()sin 601a θ-=
，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论. （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()
124sin 60sin d d θθ⋅=-为()
2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 （1）
,A C 到直线2l 的距离相等，
∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==
（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ， 由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，(
)
sin 601a θ-=，
两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，
即sin sin θθθ-，
2sin θθ∴=
，tan 2
θ∴=
，sin θ∴=，
故边长3
a==
，
综上可得，能放.
（3）(
)
12
1
4sin60sin4sin sin
2
d dθθθθθ
⎫
⋅=-=-⎪⎪
⎝⎭
()
1cos2
222sin2301
2
θ
θθ
⎫
+
=-=+-
⎪⎪
⎝⎭
.
060
θ
<≤，30230150
θ
∴<+≤，()
1
sin2301
2
θ
≤+≤，
所以()
02sin23011
θ
≤+-≤，
又10
d>，
2
d>，所以(]
12
0,1
d d⋅∈.
【点睛】
本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.
24．（1
）a=（2）
15
,
36
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
（1）利用降次公式、辅助角公式化简()
f x
表达式，利用(0)
f=a的值.
（2）令()0
f x
ω=，结合x的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围.
【详解】
（1
）2
()2sin cos
f x x x x a
=-++
sin2x x a
=+
2sin2
3
x a
π
⎛⎫
=++-
⎪
⎝⎭
(0)
f =
(0)2sin
3
f a
π
∴=+=
即a=
（2）令()0
f x
ω=，则sin20
3
x
π
ω
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，
[0,]
xπ
∈，2,2
333
πππ
ωπω
⎡⎤
∴+∈+
⎢⎥
⎣⎦
，
()
f x在[0,]π上有且只有一个零点，
22
3
π
ππωπ
∴+<，
15
36
ω
∴<，
ω
∴的取值范围为
15
,
36
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭.
【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
25．（1）()f x 214x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π
=
1. 【解析】 【分析】
（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案； （2）利用整体法求出3
24
44
x π
π
π-≤-
≤，再利用三角函数线，即可得答案. 【详解】
（1）()2
2sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
∴sin 214x π⎛
⎫-≤ ⎪⎝⎭，
()f x ∴
1.
（2）由（1）得()214f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭，
∵0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，32444x πππ∴-≤-≤.
sin 2124x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭， ∴当244
x π
π
-
=-
时，即0x =时，()f x 取最小值0.
当24
2x π
π
-
=
，即3
8
x π=时，()f x 1. 【点睛】
本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用. 26．（Ⅰ）点C 是半圆的中点，理由见解析； （Ⅱ）（ⅰ）6
π
θ=
时，最大值5（ⅱ）
6
π
θ=
【解析】
(Ⅰ)设BC a =,AC b =,AB c =,法一:依题意有222+=a b c ,再利用基本不等式求得2a b c +,
从而得出结论;法二:由点C 在半圆上,AB 是直径,利用三角函数求出cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,
再利用三角函数的性质求出结论;
(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函数值表示四边形ABCD 的周长p ,再求p 的最大值;(ⅱ)利用三角函数值表
示出四边形ABCD 的面积s ,再结合基本不等式求s 的最大值. 【详解】
(Ⅰ)点C 在半圆中点位置时,ABC ∆周长最大.理由如下: 法一:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2
ACB π
∠=
,即ABC ∆是直角三角形,
设BC a =,AC b =,AB c =,显然a ,b ,c 均为正数,则222+=a b c , 因为222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立,
所以()()2
2222
22a b a b ab a b +≥++=+,
所以()2222a b a b c +≤+=, 所以ABC ∆的周长为(
)
21222a b c c ++≤
+=+,当且仅当a b =时等号成立,
即ABC ∆为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点C 是半圆的中点. 法二:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2
ACB π
∠=
,即ABC ∆是直角三角形,
设BC a =,AC b =,AB c =,02ABC παα⎛
⎫∠=<< ⎪⎝
⎭,
则cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,
a b c ++cos sin c c c αα=⋅+⋅+()2cos sin 2αα=++2224πα⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭,
因为02
π
α<<,所以
34
4
4
π
π
π
α<+
<
, 所以当4
2
π
π
α+
=
,即4
πα=
时, ABC ∆周长取得最大值222,此时点C 是半圆的中点.
(Ⅱ)(ⅰ)因为AD DC =,所以ABD DBC θ∠=∠=, 所以sin AD DC AB θ==⋅,cos2CB AB θ=⋅, 设四边形ABCD 的周长为p ,
则p AD DC CB AB =+++
2sin cos22AB AB θθ=++()2
2
14sin 212sin 254sin 2θθθ⎛
⎫=+-+=-- ⎪⎝
⎭,
显然0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,所以当6πθ=时,p 取得最大值5;
(ⅱ)过O 作OE BC ⊥于E ,
设四边形ABCD 的面积为s ,四边形AOCD 的面积为1s ,BOC ∆的面积为2s ,则 1211
22
s s s AC OD BC OE =+=⋅+⋅ 11
sin 21cos 2sin 222
AB AB θθθ=
⋅+⋅ sin 2cos2sin 2θθθ=+⋅
()sin 21cos2θθ=+, 所以()2
22sin 21cos2s θθ=+
()()2
21cos 21cos 2θθ=-+
()()3
1cos21cos2θθ=-+
()()331cos 21cos 23θθ=-+()()()2
231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦
()()()231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦()()()22
31cos 21cos 21cos 21232θθθ⨯-++⎡⎤++⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
()()()4
31cos 21cos 221cos 2134θθθ-++++⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ 4
1327
3216
⎛⎫==
⎪⎝⎭; 当且仅当()31cos21cos2θθ-=+,即1
cos 22
θ=
时,等号成立, 显然04πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以202πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，,所以此时6πθ=,
所以当6
π
θ=时,33s =
,即四边形ABCD 33
【点睛】
本题考查解三角形的应用问题,考查三角函数与基本不等式的应用,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题. 27．（Ⅰ）(,3),.12
2k k Z π
π
-+
-∈（Ⅱ）12a =或12
a =- 【解析】
（Ⅰ）当1a =时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得. （Ⅱ）将函数化简为()sin()f x A x b ωϕ=++的形式，分类讨论可得. 【详解】
解：（Ⅰ）当1a =时，
22()cos sin cos 3f x x x x x =-+-
cos 2232sin(2)36x x x π
=-=+-
()2sin(2)36
f x x π
∴=+-
由2,6
x k k Z π
π+
=∈ 得：,12
2
k x k Z π
π
=-
+
∈ ()f x ∴的对称中心为(,3),.12
2
k k Z π
π
-
+
-∈
（Ⅱ）
22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-
()cos 2sin 23f x a x x ∴=-
()2sin(2)36f x a x π
∴=+-
1sin(2)16
x π
-≤+≤
当0a >时，232sin(2)3236
a a x a π
--≤+-≤-
则有234a --=- 解得12
a =
当0a =时，min ()3f x =-，不合题意
当0a <时，232sin(2)3236a a x a π
-≤+-≤--
则有234a -=-解得1
2a =-
综上 1
2a ∴=或12
a =-．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．
28．（1）(2 )y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
（2）6-
【解析】
【分析】
（1）先求出()2sin 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再利用三角函数的图像和性质求函数(2)y f x =在[0,]π上
的单调递增区间；（2）先化简得2
()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函
数的性质求出cos
)αβ-（的值得解. 【详解】
（1）将()sin g x x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到2sin y x =的图象， 再将2sin y x =的图象向左平移
3π个单位长度后得到2sin 3y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，
故()2sin 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
(2)2sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，令222232k x k πππππ-++，k ∈Z
512
12
k x k π
π
ππ-
+
，k ∈Z ,又[0,]x π∈
所以(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
（2）2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭24sin 4sin 232x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 24cos 23x x π⎛⎫
=-+
- ⎪⎝⎭
23cos 22x x =-+223x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭.
因为2
()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝
⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，
所以23x m π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，且52,
333x πππ⎡⎫
-∈-⎪⎢⎣⎭
， 所以2233ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或22333ππαβπ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.
于是56παβ+=或116
π
αβ+=
. 当56παβ+=
时，5cos()cos 6παβαα⎛⎫
⎛⎫-=--
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭5cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛
⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ sin 2
3πα⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭
当116
π
αβ+=
时， 11cos()cos 6παβαα⎛⎫
⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭113cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛
⎫=-
=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ sin 2
3πα⎛
⎫=--= ⎪⎝
⎭，
因此，
2
6cos(22)m αβ--()22
62cos ()1m αβ=---22621612m m ⎛⎫
=⋅
--=- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的单调区间的求法，考查三角函数图像的零点问题，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
29．（1）见解析； （2）178
-
. 【解析】 【分析】
（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ； 运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．
（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值． 【详解】
（1）33cos cos sin sin cos22222
x x
a b x x x ⋅=⋅-⋅=
cos a b ⎛
+= ⎝ =∵0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
∴cos 0x ∴2cos a b x +=
（2）()cos23cos f x x x =- 2
2
3172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛
⎫=--=-- ⎪⎝
⎭
∵0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==-
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．
30．（1）见解析；（2）2⎫
⎪⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可． 【详解】
(1)证明：由()222sin S B C a c +=
-，即22
2sin S
A a c =-，
22sin sin bc A A a c
∴=
-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos a b c bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-， 22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，
sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，
()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，
A ，
B ，()0,
C π∈，2A C ∴=．
(2)解：
2A C =，3B C π∴=-，
sin sin3B C ∴=．
sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3C
a C
∴=
， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 3
2sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C C
C C
∴======+++--，
ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪
⎝⎭⎪
⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪⎛⎫
∈⎪
⎪⎝⎭⎩，
,64C ππ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝
⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭
， 4
3tan tan S C
C
=
-为增函数， 2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭
．
【点睛】
考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．。