广东省湛江市2020届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理

广东省湛江市2020届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}|14A x x =-≤≤，全集{}
2|1U y y x x R ==-∈，，则U C A =（ ） A ．{}|14x x -≤≤ B ．{}|x x ≥-1 C ．{}|4x x > D ．{}|14x x ≤≤ 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足21z i zi -=+，则z =（ ） A ．2 B ．
10 C ．5
2
D ．22 3.设R θ∈，则“6
6
π
π
θ-
<
”是“3
sin θ<
”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ）
A ．甲班同学身高的方差较大
B ．甲班同学身高的平均值较大
C.甲班同学身高的中位数较大 D ．甲班同学身高在175cm 以上的人数较多
5.已知F 是双曲线：22
18
y x -=右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是
(08)，，则PAF △ 的面积为（ ）
A ．6
B ．8 C.12 D ．16
6.已知(0)4πα∈，，4cos25α=，则2sin ()4
π
α+=（ ）
A ．15
B ．25 C.35 D ．4
5
7.5(2)(25)x y x +-的展开式中33x y 的系数为（ ）
A ．40
B ．80 C.120 D ．160
8.执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值大于110，则输入正整数N 的最小值为（ ）
A ．5
B ．4 C.3 D ．2
9.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（ ）
A 3π
B ．23π C.43π D ．12π
10.在ABC △中，60BAC ∠=︒，3AB =，2AC = .若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC AB λ=-u u u
r u u u r u u u r （R λ∈ ），
且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r
，则λ的值为（ ）
A ．
311 B ．411 C.511 D ．611
11.我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个截面面积都相
等）.将椭圆221916
x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原
理可求得其体积等于（ ）
A ．24π
B ．32π C.48π D ．64π
12.已知函数()sin x f x e x kx =-，如果对于任意的02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦，，()0f x ≥恒成立，则实数k 的
取值范围是（ ）
A ．34⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，
B ．(]1-∞，
C.2
e π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， D ．21e π
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若函数2()[log (21)]x f x x ax =++为奇函数，则a = ．
14.设变量x 、y 满足约束条件02360
x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩
≥≥≤ ，则目标函数212x y
z +⎛⎫
= ⎪⎝⎭的最大值
为 ．
15.平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
221x y a b
+=（0a b >> ）的离心率3e =，1A ，2A 分别是
椭圆的左、右两个顶点，圆1A 的半径为a ，过点2A 作圆1A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆于点Q .则
2
PQ PA = ．
16.如图，游客从景点A 下山至C 有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟.在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C .已知缆车从A 到B 要8分钟，AC 长为1260米，若12cos 13A =
，63sin 65
B =.为使两位游客在
C 处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度v （米/分钟）的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列{}n a 的前n 项和235
2
2n S n n =+（*n N ∈ ）
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. 红星海水养殖场进行某水产品的新旧养殖方法的产量对比，收货时在旧养殖的大量网箱中随机抽取100 个网箱，在新养殖法养殖的大量网箱中也随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量，得样本频率分布直方图如下：
（1）填写下列列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. 养殖法 箱产量
箱产量50kg <
箱产量50kg ≥
总计 旧养殖法 新养殖法 总计
（2）设两种养殖方法的产量互相独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；
（3）某水产批发户从红星海水养殖场用新养殖法养殖的大量网箱水产品中购买了50个网箱的水产品，记X 表示箱产量位于区间[5060)，的网箱个数，以上样本在相应区间的频率代替概
率，求()E X . 附： 20()P k k ≥
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
（2
()()()()
k a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++ ）
19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，1160ACC CC B ∠=∠=︒，2AC = .
（1）证明：11AB CC ⊥ ；
（2）若三棱柱111ABC A B C -的体积为3，求二面角11B AC C --的余弦值.
20. 已知动圆M 过定点(10)F ，且与y 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为T ，动点T 的轨迹记为C .
（1）求C 的方程；
（2）设直线1l ：11x n y =+与曲线C 交于点A 、B ；直线2l ：21x n y =+与C 交于点P ，Q ，其中122n n +=- ，以AB 、PQ 为直径的圆1N 、2N （1N 、2N 为圆心）的公共弦所在直线记为l ，求1N 到直线l 距离的最小值.
21. 已知函数()x f x kx a =-，其中k R ∈，0a >且1a ≠ .
（1）当a e =（ 2.71e =L 为自然对数的底）时，讨论()f x 的单调性；
（2）当1k = 时，若函数()f x 存在最大值()g a ，求()g a 的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy
中，点(0P ，直线l
的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），以原
点为极点，x 轴的非负半轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为224
1cos ρθ
=+ .
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A 、B ，求11
+
PA PB
的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =--+ . （1）解不等式()0f x x +>；
（2）若关于x 的不等式2()25f x a a -≤的解集为R ，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题
1-5:CBAAB 6-10:DCDCA 11、12：CB 二、填空题
13.12- 14.18 15.37 16.12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
三、解答题
17.（1）∵数列{}n a 的前n 项和235
22n S n n =+
∴114a S == . 当2n ≥时，
2213535
+(1)(1)2222n n n a S S n n n n -=-=----31n =+ .
又31n a n =+对1n =也成立. ∴31n a n =+（*n N ∈） （2）由31n a n =+可知 111111()(31)(34)33134
n n n b a a n n n n +=
==-++++ ∴12n n T b b b =+++L
1111111[()()()]3477103134n n =-+-++-++L 111()3434
n =⨯-+ 4(34)
n
n =
+ 18.解：（1）旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为 (0.0120.0140.0240.0340.040)50.62++++⨯=
箱产量不低于50kg 的频率为10.620.38-=；
新养殖法的箱产量低于50kg 的频率为(0.0080.0200.028)50.28++⨯=， 箱产量不低于50kg 的频率为10.280.72-=. 由此得列联表：
旧养殖法 62 38 100 新养殖法 28
72
100
总计
90 110 200
则22
200(62722838)10010090110k ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 2200340010010090110⨯=⨯⨯⨯ =34340
23.354 6.6355911⨯=>⨯⨯
∴有99%的把握认为箱产量与养殖法有关.
（2）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”
由题意知()()()()P A P BC P B P C ==
旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为0.72，故()P C 的估计值为0.72 ∴事件A 的概率估计值为0.620.720.4464⨯=
（3）新养殖法的样品中，箱产量位于区间[5560)，的频率为0.04850.24⨯=，故养殖场用新养殖法养殖的大量网箱水产品，箱产量位于区间[5560)，的概率估计值为0.24. 依题意知~(500.24)X B ， ∴ ()500.2412E X =⨯= .
19.（1）证明：取1CC 的中点O ，连接AO 、1AC 、1B C 、1B O ， 由棱形的性质及11160ACC CC B ∠=∠=︒.
得1ACC △，11B CC △为正三角形. ∴1AO CC ⊥，11B O CC ⊥， 且1AO B O O =I . ∴1CC ⊥平面1AOB ， ∴11CC AB ⊥
（2）三棱锥111A A B C -的体积是三棱柱111ABC A B C -体积的三分之一， 得四棱锥11A BCC B -的体积是柱体体积的三分之二，即等于2 . 平行四边形11BCC B 的面积为122sin602
3BCC B S =⨯⨯︒=.
设四棱锥11A BCC B -的高为h ，则
1
2323
h ⨯=，∴3h =又3AO h
AO ⊥平面11BCC B
建立如图直角坐标系：O xyz - .
则(003)A ，， ，1(300)B ， ，(010)C -，， . 1(310)CB =u u u r
， ，(013)CA =u u u r ，， 设平面1CAB 的一个法向量为1()n x y z =u u r
，，
则111
3030n CA y z n CB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r
， 取一个法向量为1(333)n =-u u r
，
显然2(100)n =u u r
，，是平面1C CA 的一个法向量.
则12121235
cos 15n n n n n n ⋅<>==
=⋅u u r u u r
u u r u u r u u r u u r ，. 二面角11B AC C --5.
20.解：（1）如图，设()T x y ， ，则1(
)22
x y
M +， ， 由题可知0x ≥ ，动圆M 与y 轴相切，得1
2
x MF += .
1
2
x +=
. 化简得：24y x =.
（注：用几何条件判断C 的轨迹是抛物线亦可） （2）设11()A x y ， ，22()B x y ， ，
将11x n y =+代入24y x =得：21440y n y --=，2116160n =+>△，则 121
12
44y y n y y +=⎧⎨
=-⎩ 且212111212
1212
(1)(1)42()116x x n y n y n y y x x ⎧+=+++=+⎪⎨==⎪⎩
① 设()S x y ， 是1N e 上的任意一点.
由0SA SB ⋅=u u r u u r
得以AB 为直径的圆的方程是： 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=
将①式代入上式，化简得：22211(42)430x y n x n y +-+--= ②
同理以PQ 为直径的圆的方程是：222
2
2(42)430x y n x n y +-+--= ③ ②- ③得l 的方程是：20x y -= . 又2111(212)N n n +，， 1N 到l 的距离
2117
2|2()|
n d -+=
=
当11
4
n =
.
21.解：（1）由题()x f x kx e =- ()x f x k e '=- ，
①当0k ≤，当()0f x '<，()f x 在R 上是减函数； ②当0k >，当ln x k >，()0f x '<，()f x 在(ln )k +∞，上是减函数；当ln x k <，()0f x '> ，()f x 在(ln )k -∞， 上是增函数.
即当0k ≤时，()f x 在()-∞+∞，上个递减；
当0k >时，()f x 在(ln )k +∞，上递减，在(ln )k -∞，
上递增. （2）当1k =，()x f x x a =-，()1ln x f x a a '=-. ①当01a <<时，0x a >，ln 0a <，则()0f x '> ，()f x 在R 上为增函数，()f x 无极大值，也无最大值；
②当1a >，设方程()0f x '=的根为t ，得1ln a a
'=
. 即1
ln 1ln log ln ln a a t a a ==， 所以()f x 在()t -∞，上为增函数，在()t +∞，上为减函数，
则()f x 的极大值为1
ln
1ln ()ln ln t a f t t a a a =-=-，10ln a >. 令1
ln
1ln ()ln ln a g a a a =-，令()ln h x x x x =-，0x >. ()ln h x x '=.
当1x >时()0h x '>；当(01)x ∈，时()0h x '<，所以1x =为()h x 极小值也是最小值点. 且(1)1h =-，即()g a 的最小值为1-，此时a e =.
22.（1）直线l y +=C 的直角坐标方程为 22
124
x y +=
（2）点(0P 在直线l y +=l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方
程，得221242t ⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ∴251240t t +-=，设两根为1t ，2t ，12125t t +=-，12405t t ⋅=-<，故1t 与2t 异号，
∴125
PA PB t t +=-=
121245PA PB t t t t ⋅=⋅=-⋅=
.
∴11PA PB PA PB PA PB
++==⋅23.解：（1）不等式()0f x x +>可化为12x x x -+>-. 当2x <-时，(1)(2)x x x --+>-+，解得3x >-，即32x -<<-； 当21x -<≤时，12x x x -+>+，解得3x >，即3x >. 综上所述，不等式()0f x x +>解集为{}313x x -<<->或.
（2）由不等式2()25f x a a -≤可得21225x x a a --+-≤. ∵12123x x x x --+---=≤，
∴2253a a -≥，即22530a a --≥. 解得12
a -≤或3a ≥. ∴实数a 的取值范围是1(][3)2-∞-+∞U ，，.。