第四章数字相关和卷积运算及3章习题解答

解答： Py ( ) R y ( )e j d
其中

R y ( ) E( y(t ) y(t ))

E[(x(t ) x(t T)) (x(t ) x(t T))] E[ x ( t ) x ( t ) x ( t T) x ( t ) x ( t ) x ( t T) x ( t T) x ( t T)]
该随机过程的时间平均为：
1 T m x lim Asin ( 0 t )dt 0 T 2T T
该随机过程的总体平均为：
E( x ) xp( x )dx Asin ( 0 t )p( )d 0
-A 0 A 2
因此该过程在均值意义下是各态遍历的。
rxy (m) 和 ryx (m)
却是完全不同的：
ryx (m)
n
y ( n ) x ( n m)


(4-4)
令k＝m＋n，则n＝k－m，得：
ryx (m)
k
y ( k m) x ( k ) x ( k ) y ( k m) r
k
R1 ( ) E[x1 (t )x 2 (t )] E[x1 (t )x 2 (t )] R 2 ( )
R1 ( ) E[x1 (t )Kx 1 (t )] E[x1 (t )Kx 1 (t )] R 2 ( )
R1 ( ) 2KR 1 ( ) R 2 ( )
（ⅰ）x1，x2相互独立；
R x ( ) E(x (t ) x (t ))
E[(x1 (t ) x 2 (t )) (x1 (t ) x 2 (t ))]
E[x1 (t )x1 (t ) x 2 (t )x1 (t ) x1 (t )x 2 (t ) x 2 (t )x 2 (t )]
n 0
N 1
y ( N 1) 0 0 0
• 计算得到一个2N－1点长的行向量，也就是对 应，m＝－(N－1)，…，（N－1）。如果x和y 的长度不同，则把短的序列进行补零，使得两 者点长相同，然后计算 .
４.２ 循环相关 （Circular Correlation）
• 1.定义:
rxy (m) x(n) y (( n m)) N R N (n)
n 0
N 1
最后得到的循环相关序列的长度就是N点， m取[0，1，2，…，N-1]。 • 循环相关运算的简洁表示为： rxy (m) x(n) ⊙ y (n)
2.意义
• 循环相关与离散功率谱是一对DFT变换 对. • 如果信号是周期的则用循环相关估计更 为准确.
n
- x n de
0
0
-2x n
x n e
2x n
0.5 de -2x n 0.5(e 2x ) =0.5
n
-2x n e dx n e -2x n dx n 0 0 0
0
E（y）=E(2x1+4x2)=E(2x1)+E(4x2)=3
E(x 2 ) R x (0) 25 16 41
因为
Px (0) 32 50[ 2 ]0 2 16 0
所以含有直流分量； 因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而R中 没有包含周期性的成分，因此该随机过程不含有周 期性分量。
3-6：设x（t）是平稳过
程， y(t) x(t) x(t T) ，证明 y（t） Py () 2Px ()(1 cosT) 的功率谱是：
证明：按照题意，对于
rxy (m)
n
x ( n ) y ( n m)

x(n) 的非零区间为
对上式同时乘－1则有
N1 n N 2
N 2 n N1
y (n m) 的非零区间为
N3 n m N 4
将上面两个不等式相加，可得
N 3 N 2 m N 4 N1 在此区间之外，x(n)和 y (n m)的非零值互不重叠，
得证。
j
3-7：一个随机信号x1的自相关函
数是 R ( ) A e ，另一个随机信 号x2的自相关函数为 ， R ( ) A e 在下列条件下，分别求信号 相加后x=x1+x2的自相关函 数 。 R x ( )
1 1

2
2
（ⅰ）x1，x2相互独立； （ⅱ）x1，x2来自同一信号源， 只是幅度差一个常数因子K（K 不为1）：x2=Kx1。
R x ( ) R x ( T) R x ( T) R x ( )
Py ( ) R y ( )e



j
d
j
[2R x ( ) R x ( T) R x ( T)]e

d
d
2Px ( ) [R x ( T) R x x ( )[1 ] 2 2Px ( )(1 cosT)
3-5：已知平稳随机过程x的自
相关函数如下，求其功率谱 密度及均方，并根据所得结 果说明该随机过程是否含有 直流分量或周期性分量。
（ⅰ）
R x ( ) 4e cos cos3

（ⅱ）
R x ( ) 25e
4
cos0 16
（ⅰ）
R x ( ) 4e cos cos3
1. 定义 : 设有离散信号 x(n) 和 y (n) ，其线 性相关函数为：
rxy (m)
n
x ( n ) y ( n m)

(4-1)
等于零表示两序列正交或者相互独立。线 性相关运算的简洁表示为： (4-2) r (m) x(n) y (n)
xy
对应式(4-1)，令k＝m＋n，则n＝k－m， 得： rxy (m) x(k m) y (k ) (4-3) k

xy
( m)
(4-5)
2.相关的意义
x = randn(100,2); % uncorrelated data x(:,3) =x(:,1)+x(:,2); % introduce correlation plot(x);legend('1','2','3') r12=xcorr(x(:,1),x(:,2)); r13=xcorr(x(:,1),x(:,3)); plot(-99:99,r12,-99:99,r13,'r'); legend('r12','r13')
3.计算
与计算卷积相似: • 公式法 • 表格法 • 图形法 参看例题4-1 • 程序法:
• 设序列x,y长度为N点，除区间0~N-1之外皆为零， 用矩阵的形式来表达线性相关：
rxy (m) x(n) y (n m)
0 y (0) y (1) 0 0 y (0) y (1) y (2) x(0) x(1) x( N 1) y (1) y (2) y ( N 1) 0 0 y (0) y ( N 2) y ( N 1)


E [x1 (t )] 0
2
同理
E [x 2 (t )] 0
2
R x ( ) R 1 ( ) R 2 ( )
(A1 A 2 )e

（ⅱ）x1，x2来自同一信号 源，只是幅度差一个常数因 子K（K不为1）：x2=Kx1。
由前面计算可得
R x ( )
(3.4)输入序列xn的一阶概率密度函数 是 p( xn ) 2e 2 x u( xn ) 。证明：E ( xn ) 0.5 ； 如 y 2 x1 4 x2 ，x1、x2都是具有上述分 布的随机序列，求E(y)。
n
-2x 解答：E(x n ) x p ( x ) dx dx n n n 0 x n 2e n
• 【例4-2】设 x(n)和 y (n) 是有限长的序列，序列 x(n)长度为N点，y (n) 长度为M点，x(n) 除区 间 N1 n N 2 之外皆为零，y (n) 除区间N 3 n N 4 之外皆为零，证明它们的线性相关函数 rxy (m) N 3 N 2 m N 4 N1 的长度为M＋N－1点，并且除区间 之外皆为零。
(A1 2KA 1 A 2 )e

第四章
数字相关和卷积运算
（Correlation and Convolution）
第一节 线性相关 第二节 循环相关 第三节 相干函数 第四节 线卷 第五节 循卷 第六节相关函数和功率谱估计 第七节相关技术的应用
４ .１
线性相关（Linear Correlation）
故 rxy (m) 的值皆为零。
• 上式得到的rxy (m)长度为L= N 4 N1 ( N 3 N 2 ) 1 点，由题意知N＝ N 2 N1 1 ，M＝ N 4 N 3 1 因此 L＝ N 4 N1 ( N 3 N 2 ) 1 ＝ N 4 N 3 1＋ N 2 N1 1 －1＝M＋N－1，也就是线性相关 函数 rxy (m) 的长度为M＋N－1。
(3.1) 什么是平稳各态遍历的随机过程？
解答：如果随机信号的统计特性与 开始进行统计分析的时刻无关， 则为平稳随机过程，否则为非平 稳随机过程。 对于平稳过程，如果所有样本在 固定时刻的统计特征和单一样本 在全时间上的统计特征一致，则 为各态遍历的随机过程。
解答：
(3.2)判断随机相位正弦波在均值意义下是 否各态遍 x(t ) Asin( 0t ) 0 历。 ， ,A 是固定 值，Ф是随机变量，分布为均匀分 1 p( ) ,0 2 2 布： ，其它为零。
R1 ( ) E[x1 (t )]E[x 2 (t )] E[x1 (t )]E[x 2 (t )] R 2 ( )
limR 1 ( ) limE[x 1 (t)x1 (t )] E(x1 (t )) E(x1 (t )) E 2 [x1 (t )]
所以含有直流分量； 因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而R中包含 有一个周期性的成分，因此该随机过程含有周期性分量 。
（ⅱ）
R x ( ) 25e

4
cos0 16
Px ( ) R x ( )e j d
1 1 32 ( ) 50[ ] 2 2 16 ( 0 ) 16 ( 0 )
(3.3)讨论相互独立、互不相关、相
互正交的区别和联系。 解答： 随机变量统计独立的条件为：
p(x, y) p(x)p( y) 互不相关的条件为： cov(x, y) 0 正交的条件为： E( xy) 0
对于一般的随机变量：统计独立则互不相关； 当其中有任意一个变量的均值为零，则互不相 关和正交可以互相推导。 对于高斯随机变量，统计独立和互不相关可以 相互推导；当其中有任意一个变量的均值为零 ，则三者都能互相推导。
Px ( ) R x ( )e j d


1 1 [ ( 3 ) ( 3 )] 8[ ] 2 2 1 ( ) 1 ( )
E(x 2 ) R x (0) 4 1 5
因为
2 Px (0) 8[ ]0 2 1