2022秋苏科版九年级数学上册 典中点 第1章达标检测卷

第1章达标检测卷一、选择题(每题3分，共24分)
1．下列是关于x的一元二次方程的是()
A．x2－1
x＝2 022 B．x(x－8)＝0
C．a2x－7＝0D．4x－x3＝2
2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根为－1，则下列等式成立的是()
A．a＋b＋c＝0B．a－b＋c＝0
C．－a－b＋c＝0D．－a＋b＋c＝0
3．用配方法解一元二次方程x2－4x＋4＝0时，下列变形正确的是() A．(x＋2)2＝10B．(x－2)2＝0
C．(x＋2)2＝2D．(x－2)2＝2
4．方程x2－42x＋9＝0的根的情况是()
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
5．等腰三角形的两边长为方程x2－7x＋10＝0的两个根，则它的周长为() A．12 B．12或9 C．9 D．7
6．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝EB＝EC＝a，且a是关于x的一元二次方程x2＋2x－3＝0的一个根，则▱ABCD的周长为()
A．4＋2 2
B．12＋6 2
C．2＋2 2
D．4＋22或12＋6 2
7．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图像可能是()
8．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则b2－4ac＝(2ax0＋b)2.其中，正确的是()
A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③
二、填空题(每题2分，共20分)
9．关于x的方程(3x＋2)(2x－3)＝5化为一般形式是________．
10．一个三角形的三边长都是关于x的方程x2－6x＋9＝0的根，则该三角形的周长为___________．
11．已知1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则(a＋b)2 023的值为___________．
12．若m，n是关于x的一元二次方程x2－5x－1＝0的两个实数根，则m＋n的值是___________．
13．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大
长方形的面积是135 cm2，则以小长方形的宽为边长的
正方形面积是__________cm2.
14．若关于x的一元二次方程2x2－5x＋k＝0无实数根，则k的最小整数值为________．
15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x12－x22＝10，则a＝________．
16．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是______三角形．
17．若x2－3x＋1＝0，则
x2
x4＋x2＋1
的值为________．
18．若关于x的方程x2－( 2 021＋2)x＋ 2 021n－8＝0有整数解，则整数n的值为________．
三、解答题(23题6分，25题10分，其余每题8分，共56分)
19．用适当的方法解下列方程：
(1)x(x－4)＋5(x－4)＝0；(2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；
(3)x2－2x－2＝0; (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.
20．已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.
(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？
21．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：关于x的一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝－1，则称方程x2＋x＝0是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断关于x的方程2x2－23x＋1＝0是不是“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程x2－(m－1)x－m＝0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值．
22．某童装专卖店在销售中发现：当一款童装每件进价为80元，销售价为
120元时，每天可售出20件．为了增加利润，减少库存，专卖店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么每天可多售出2件．设每件童装降价x 元．
(1)降价后，每件盈利_______元，每天可销售_______件；(用含x 的代数式填空) (2)每件童装降价多少元时，每天盈利1 200元？
(3)该专卖店每天盈利能否等于1 300元？若能，求出此时每件童装降价多少元；若不能，说明理由．
23．“等价变换化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维
方式．例如：解关于x 的方程x －x ＝0，就可以利用该思维方式，设x ＝y ，将原方程转化为y 2－y ＝0这个熟悉的关于y 的一元二次方程，解出y ，再求x ，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题． 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧5x 2y 2＋2x ＋2y ＝133，
x ＋y 4＋2x 2y 2
＝51，求x 2＋y 2
的值．
24．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根．(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得等式1
x1＋
1
x2＝k－2成立？如果存在，请求出k的值；
如果不存在，请说明理由．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝2 cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1 cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．
(1)两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的4 9
(2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为 5 cm？若存在，求出该
时刻；若不存在，请说明理由．
答案
一、1．B2．B3．B4．C5．A6．A7．B
8．B点拨：①若a＋b＋c＝0，则x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，由一元二次方程的根的判别式可知b2－4ac≥0.故①正确.
②∵方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，
∴该方程的根的判别式0－4ac＞0.
∴－4ac＞0.则方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式b2－4ac＞0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根．故②正确.
③∵c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴ac2＋bc＋c＝0，
即c(ac＋b＋1)＝0.当c＝0且ac＋b＋1≠0时，等式仍然成立.
∴ac＋b＋1＝0不一定成立．故③不正确.
④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则由求根公式可得x0＝
－b＋b2－4ac
2a或x0＝－b－b2－4ac
2a，
∴2ax0＋b＝b2－4ac或2ax0＋b＝－b2－4ac.∴b2－4ac＝(2ax0＋b)2.
故④正确．故选B.
二、9．6x2－5x－11＝010．911．－1
12．513．914．415．21
416．直角
17．1
8点拨：由x
2－3x＋1＝0，
得x2＝3x－1，则
x2
x4＋x2＋1
＝
x2
（3x－1）2＋x2＋1
＝
x2
10x2－6x＋2
＝
3x－1
10（3x－1）－6x＋2＝
3x－1
24x－8
＝
3x－1
8（3x－1）
＝
1
8.
18．4或－2点拨：由x2－( 2 021＋2)x＋ 2 021n－8＝0得到(x2－2x－8)＋
2 021(n－x)＝0.
设关于x的方程x2－( 2 021＋2)x＋ 2 021n－8＝0的一个整数根是m，则有(m2－2m－8)＋ 2 021(n－m)＝0.
∵n 和m 均为整数，
∴(m 2－2m －8)是整数，(n －m )也是整数. ∵ 2 021是无理数， ∴m 2－2m －8＝0，n －m ＝0. ∴(m －4)(m ＋2)＝0，n ＝m . ∴m 1＝4，m 2＝－2. ∴当m ＝4时，n ＝4. 当m ＝－2时，n ＝－2. 故整数n 的值是4或－2. 三、19．解：(1)原方程可化为
(x －4)(x ＋5)＝0. ∴x －4＝0或x ＋5＝0. 解得x 1＝4，x 2＝－5.
(2)原方程可化为(2x ＋1＋2)2＝0. 即(2x ＋3)2＝0. 解得x 1＝x 2＝－3
2.
(3)∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－2)＝12＞0. ∴x ＝2±122×1＝
2±232＝1±3. ∴x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.
(4)原方程化为一般形式为y 2－2y ＝0. 因式分解，得y (y －2)＝0. ∴y －2＝0或y ＝0.∴y 1＝2，y 2＝0.
20．(1)证明：在关于x 的一元二次方程x 2－(t －1)x ＋t －2＝0中，
∵b 2－4ac ＝[－(t －1)]2－4×1×(t －2)＝t 2－6t ＋9＝(t －3)2≥0， ∴对于任意实数t ，方程都有实数根.
(2)解：设方程的两个根分别为m 、n ，则mn ＝t －2. ∵方程的两个根互为倒数， ∴mn ＝t －2＝1，解得t ＝3.
∴当t ＝3时，方程的两个根互为倒数. 21．解：(1)解方程2x 2－23x ＋1＝0得x ＝3±1
2.
∵
3＋12－3－1
2＝1，
∴方程2x 2－23x ＋1＝0是“邻根方程”. (2)分解因式得(x －m )(x ＋1)＝0， 解得x ＝m 或x ＝－1.
∵方程x 2－(m －1)x －m ＝0(m 是常数)是“邻根方程”， ∴m ＝－1＋1或m ＝－1－1. ∴m ＝0或m ＝－2. 22．解：(1)(40－x )；(20＋2x )
(2)依题意，得(40－x )(20＋2x )＝1 200. 整理，得x 2－30x ＋200＝0. 解得x 1＝10，x 2＝20.
又∵为了增加利润，减少库存， ∴x ＝20.
答：每件童装降价20元时，每天盈利1 200元.
(3)该专卖店每天盈利不能等于1 300元．理由如下：假设能， 依题意，得(40－x )(20＋2x )＝1 300. 整理，得x 2－30x ＋250＝0.
∵b 2－4ac ＝(－30)2－4×1×250＝－100＜0， ∴该方程没有实数根.
即该专卖店每天盈利不能等于1 300元.
23．解：令xy ＝a ，x ＋y ＝b ，则原方程组可化为⎩⎪⎨⎪
⎧5a 2＋2b ＝133，b 4
＋2a 2
＝51. 整理，得⎩⎨⎧5a 2＋2b ＝133，①
16a 2
＋2b ＝408.② ②－①，得11a 2＝275.
解得a 2＝25.代入②可得b ＝4. ∴方程组的解为⎩⎨⎧a ＝5，b ＝4，或⎩⎨⎧a ＝－5，
b ＝4.
当a ＝5时，x ＋y ＝4，③ xy ＝5，④ 由③得x ＝4－y .
将x ＝4－y 代入④，得y 2－4y ＋5＝0，该方程无实数解. ∴a ＝5不符合题意.
当a ＝－5时，y 2－4y －5＝0，有解.
∴x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝b 2－2a ＝42－2×(－5)＝26. 综上，x 2＋y 2的值为26.
24．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋k ＋2＝0有两个实数根，
∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(k ＋2)≥0.解得k ≤－1.
(2)存在实数k ＝－6，使得等式1x 1＋1
x 2＝k －2成立．理由如下：
∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x ＋k ＋2＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2. ∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2
k ＋2.
又∵1x 1＋1
x 2＝k －2，
∴2k ＋2＝k －2. ∴k 2－6＝0.
解得k 1＝－6，k 2＝ 6. 又∵k ≤－1，∴k ＝－ 6.
∴存在这样的实数k ，使得等式1x 1
＋1
x 2
＝k －2成立，且k 的值为－ 6.
25．解：(1)设两动点运动t s 时，四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的4
9
(0＜t ＜3).
根据题意，得BP ＝(6－2t )cm ，CQ ＝t cm ，矩形ABCD 的面积是6×2＝12 cm 2. ∵四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49，
∴1
2(t＋6－2t)×2＝12×
4
9.
解得t＝2 3.
答：两动点运动2
3s时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
4
9.
(2)存在．第7
3s或
5
3s时，点P与点Q之间的距离为 5 cm.理由如下：
设两动点经过m秒时，点P与点Q之间的距离为 5 cm.
①当0＜m≤3时，如图1过点Q作QE⊥AB且交AB于点E，则有(6－2m－m)2＋22＝(5)2，
解得m＝7
3或
5
3.
②当3＜m≤4时，如图2.
则有(8－2m)2＋m2＝(5)2.
得方程5m2－32m＋59＝0.
此时b2－4ac＜0，此方程无解，舍去.
综上所述，当m＝7
3s或
5
3s时，点P与点Q之间的距离 5 cm.。