2023年江苏省常州市中考数学二模试题(解答卷)

2023年江苏省常州市中考数学二模试题（解答卷）
一、选择题（每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．下列四个数中，2023的倒数是（ ）
A ．2023
B ．2023−
C ．12023
D ．1
2023−
解：∵1
202312023×=，
∴2023的倒数是1
2023，
故选：C ．
2．我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，
地球最近时候的距离约55000000km ．将数字55000000用科学记数法表示为（ ）
A ．0.55×108
B ．5.5×107
C ．5.5×106
D ．55×106
解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．
故选：B ．
3.如果反比例函数m
y x =的图象经过（﹣1，﹣2），则m 的值为（ ）
A ．﹣3
B ．﹣2
C ．3
D ．2
解：由题意得m=﹣1×（﹣2）=2．故选D ．
4.对于有序数对（a ，b ）定义如下的运算”⊗”：
（a ，b ）⊗（c ，d ）＝（ac+bd ，ad ﹣bc ），那么（a ，b ）⊗（0，1）等于（ ）
A ．（b ，a ）
B ．（﹣b ，﹣a ）
C ．（a ，﹣b ）
D ．（﹣a ，b ）
解：（a ，b ）⊗（0，1）=（a•0+b•1，a•1-b•0）=（b ，a ）．
故选A ．
5.如图，在O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，若40A ∠=°，70∠=°APD ，则B ∠的度数是（
）
A ．25°
B ．30°
C ．35°
D ．40°
解：APD B D ∠=∠+∠ ，
B APD D ∴∠=∠−∠，
40A D ∠=∠=° ，70∠=°APD ，
704030B APD D ∴∠=∠−∠=°−°=°.
故答案选：B .
6．将一副三角尺如图放置，∠ACB =∠CBD =90°，∠A =30°，∠D =45°，边AB 、CD 交于O ，
若OB =1，则OA 的长度是（ ）
A B ．2 C ．1 D
解：设BD x = 在Rt BCD △中，45BCD D ∠=
∠=° BC BD x ∴==
在Rt ABC 中，30A ∠=°
22,AB BC x AC ∴===
又90ACB CBD ∠=
∠=°
180ACB CBD ∴∠+∠=°
//BD AC ∴
OBD OAC ∴∼
OB BD OA AC ∴=
，即1OA =
解得OA =故选：A
7．已知抛物线2y ax bx c ++上的部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表： x
… -1 0 1 2 3 … y … 3 0 -1 m 3 …
以下结论正确的是（ ）
A ．抛物线2y ax bx c ++的开口向下
B ．当3x <时，y 随x 增大而增大
C ．方程20ax bx c ++=的根为0 2
D ．当0y >时，x 的取值范围是02x <<
解：将(1,3),(0,0),(3,3)−代入抛物线的解析式得；
309333a b c c a b −+= = ++=
， 解得：1,2,0a b c =
=−=， 所以抛物线的解析式为：222(2)(1)1y x x x x x =−=−=−−，
A 、0a > ，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；
B 、抛物线的对称轴为直线1x =，在13x <<时，y 随x 增大而增大，故选项错误，不符合题意；
C 、方程20ax bx c ++=的根为0和2，故选项正确，符合题意；
D 、当0y >时，x 的取值范围是0x <或2x >，故选项错误，不符合题意；
故选：C ．
8.如图，等腰Rt ABC △中，90C ∠=°，点F 是AB 边的中点，点D ，E 分别在AC BC ，上运动，
且90DFE ∠=
°，连接DE CF ，，在此运动变化过程中，下列结论： ①图形全等的三角形只有两对；
②ABC 的面积是四边形CDFE 面积的2倍；
③DFE △是等腰直角三角形．其中错误．．的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解：∵等腰Rt ABC △中，90C ∠=°，点F 是AB 边的中点，
∴9045AF BF CF AFC BFC A B ====°==°，∠∠，∠∠，
∴45ACF A B BCF ====°∠∠∠∠，
∴()SAS ACF BCF △≌△，
∵90DFE ∠=°，
∴90AFD CFD CFE CFD +=°=+∠∠∠∠，
∴ACF CFE ∠=∠，
又∵45CF AF A ECF ===°，∠∠，
∴()ASA CEF ADF △≌△，
同理可证CDF BEF ≌△△，故①错误；
∴CEF ADF S S =△△，EF DF =，
∴DFE △是等腰直角三角形，
12
CDF CEF CDF ADF ACF ABC CDFE S S S S S S S =+=+==
△△△△△△四边形， 故②③正确；
∴错误的只有1个，
故选B ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS ）星座部署完成，
其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为_______ 解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，
10.如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____．
解：该正九边形内角和
()180921260=°×−=°， 则每个内角的度数12601409
°
°=． 故答案为140°．
11．分解因式：3x 2y ﹣3y ＝_______．
解：3x 2y ﹣3y
＝3y （x 2﹣1）
＝3y （x +1）（x ﹣1）．
故答案为：3y （x +1）（x ﹣1）．
12．化简
4x 2－4＋1x ＋2_______
解：4x 2－4＋1x ＋2＝4(x ＋2)(x －2)＋1x ＋2＝4＋(x －2)(x ＋2)(x －2)＝x －2(x ＋2)(x －2)＝1x ＋2
．
13.解组 2x ＋1≤7 ①3＋2x ≥1＋x ②
解集是____________ 解: 由①，得x ≤3．
由②，得x ≥－2．
∴解不等式组的解集为：－2≤x ≤3．
14.关于x 的方程3x ﹣2m ＝1的解为正数，则m 的取值范围是_______
解：解方程3x ﹣2m ＝1得：x ＝，
∵关于x 的方程3x ﹣2m ＝1的解为正数， ∴＞0，
解得：m ＞﹣，
15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．
若BC ＝4，△ABC 面积为10，则BM +MD 长度的最小值为_________
解：由作法得EF 垂直平分AB ，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC＝•BC•AD＝10，
∴AD＝＝5，
∴BM+MD长度的最小值为5．
16.如图，把三角板中30°角的顶点A放在半径为3的⊙O上移动，
三角板的长直角边和斜边与⊙O始终相交，且交点分别为P，Q，则 PQ长为________．
解：如图，连结OP、OQ，则∠POQ＝2∠A＝60°．
∵⊙O的半径为3，
∴ PQ 长为＝603180
ππ⋅×=． 故答案为π．
17．如图，一游人由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走600m ，到达一个景点B ，
再由B 沿山坡BC 行走200m 到达山顶C ，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45°，
则山高CD=____（结果用根号表示）．
解：过B 作BF ⊥AD 于F ，BE ⊥CD 于E ，如图：
∵在山顶C 处测得景点B 的俯角为45°，
∴∠BCE=45°，
∴△BCE 为等腰直角三角形，
∵BC=200m ，
∴
m ；
∵∠A=30°，AB=600m，
AB=300m，
∴BF=1
2
∴CD=CE+ED=CE+BF=（
）m．
故答案为：（）m．
18.如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF＝3，
则tan∠B'AC′＝．
解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x ＝6时，EC ＝EC ′＝6，BE ＝B ′E ＝8﹣6＝2，EC ′＞B ′E ，不合题意，应舍去，
∴CE ＝C ′E ＝4，
∴B ′C ′＝B ′E ﹣C ′E ＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B ′＝∠B ＝90°，AB ′＝AB ＝8，
∴tan ∠B 'AC ′＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）计算：
（1()()20
12π32−−−+−−．
()()2012π32−−+−− 12412
=−+− 32
=−． （2）解方程组236x y x y −= +=
解：236x y x y −= +=
将第一个方程和第二个方程相加，得39x =，
3x ∴=．
把3x =代入第二个方程，得3y =．
∴原方程组的解是33
x y = = 故答案为：33
x y = = 20．（6分）解不等式组()142151x x +> −−>
解：解不等式14x +>，得3x >．
解不等式()2151x −−>，得4x >．
∴原不等式组的解集是4x >．
故答案为：4x >．
21（8分）为庆祝中国共青团成立100周年，某校团委开展四项活动：A 项参观学习，B 项团史宣讲，C 项经典诵读，D 项文学创作，要求每位学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图：
(1)本次调查的样本容量是_____，B 项活动所在扇形的圆心角的大小是_____°；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
解：（1）条形图中“D 项”有16人，扇形统计图中“D 项”的百分比是20%，
∴样本容量为168020%
=，
∴“B项”的百分比为12100%15%
80
×=，
∴“B项”的圆心角为36015%54
°×=°，
故答案为：80,54．
（2）解：样本容量是80，
∴C项的人数为8032121620
−−−=（人），补全条形统计图，如图所示，
（3）解：参加“参观学习”的人数是32人，占样本的百分比为32
100%40% 80
×=，
∴该校有2000名学生，参加“参观学习”活动的人数估计为40%2000800
×=（人）．
22．（8分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30 方向，距离小岛40nmile的点A处，
它沿着点A的南偏东15 的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，
最短航程是多少(结果保留根号)？
解：（1）过B 点作AC 的垂线BD 交AC 于点D ，
∵垂线段最短，AC 上的D 点距离B 点最近，AD 即为所求，
由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，
∴)
45,4540BAD AD BD ABsin mile ∠=°==°=， ∴渔船航行
时，距离小岛B 最近．
（2）在Rt BDC 中，BD tan C DC ∠==， 30,C ∴∠=°∠DBC=60°，
)
30BD BC nmile sin ∴==°
∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，
∴15DBE ∠=
°， 45EBC DBC DBE ∴∠=∠−∠= .
答：从B 处沿南偏东45 出发，最短行程.
23．（8分）如图，四边形ACBD 是O 的内接四边形，AB 为O 的直径，点B 是弧CD 的中点，
在线段AD 的延长线上取一点E ，使CAB DBE ∠=
∠.
(1)求证：BE 为O 的切线；
(2)若3BC =，5AC =，求线段DE 的长．
解：（1）∵AB 为O 的直径，
∴90ADB ∠=°，
∴90DAB DBA ∠+∠=°，即DB AE ⊥，
∵点B 是弧CD 的中点，
∴ BD BC =，
∴BAC BAD ∠=∠，
∴90CAB DBA ∠+∠=°，
∵CAB DBE ∠=∠，
∴90DBA DBE ∠∠+=°，
∴BE AB ⊥，
∵AB 为O 的直径，
∴BE 为O 的切线；
（2）∵ BD BC =，3BC =，5AC =，
∴3BD BC ==，
∵CAB DBE ∠=∠，
∴tan tan CAB DBE ∠=∠，
∵DB AE ⊥，
∴在Rt DBE 中，有tan 3
DE DE DBE BD ∠==， 又在Rt ACB △中，有3tan 5BC BAC AC ∠=
=， ∴
335DE =，即95DE =． 24．（8分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．
已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，
购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
解：（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元， 依题意得：﹣＝50，
解得：x ＝4，
经检验，x ＝4是原方程的解，
则2x ＝8，
依题意得：8m +4（200﹣m ）≤1150，
答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元．
（2）设购进甲种粽子m 个，则购进乙种粽子（200﹣m ）个，
解得：m ≤87.5，
答：最多购进87个甲种粽子．
25．(10分）一直线上有A 、B 、C 不同三地，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时同向出发前往距离B 地150
米的C地，甲、乙两人距离B地的距离y（米）与行走试卷x（分）之间的关系图象如图所示，若甲的速度一直保持不变，乙出发2分钟后加速行走，且乙在加速后的速度是甲速度的4倍.
（1）乙加速之后的速度为米/分；
（2）求当乙追上甲时两人与B地的距离；
（3）当甲出发多少分钟时，两人相距10米？
解：（1）如图，
由题意甲的速度为（150-50）÷10=10米/分，
∴乙加速后的速度为40米/分，
故答案为40
(2) 由题意A（2，30），
乙从A到B的时间120
3 40
=
∴B（5，150），
∴直线AB的解析式为y=40x-50，∵C（0，50），D（10，150），
∴直线CD的解析式为y=10x+50，
由
4050
1050
y x
y x
=−
=+
解得
10
3
250
3
x
y
=
=
∴那么他们出发10
3分钟时，乙追上了甲．此时两人与B地的距离为
250
3
米．
（3）设当甲出发t分钟时，两人相距10米, ①若乙在甲的后面，列方程得：
15×2+40（t-2）-10t=50-10
解得：t=3
②若乙在甲的前面，列方程得：
15×2+40（t-2）-10t=50+10
解得：t=11 3
综上，当甲出发3分钟或11
3
分钟时，两人相距10米．
26.（10分）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，
反比例函数y ＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求a和k的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三角形，求所有满足条件的m的值．
解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，
∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，
∴a＝4，∴B（2，4），
将B（2，4）代入反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，
∴反比例函数解析式为y＝
当m＝3时，将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D（2+3，4），即D（5，4），
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，
∴E（5，）；
②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，
∴CD ＝AB ，AC ＝BD ＝m ，
∵A （0，8），B （2，4），
∴C （m ，8），D （m +2，4），
当BC ＝CD 时，BC ＝AB ，
∴点B 在线段AC 的垂直平分线上，
∴m ＝2×2＝4，
当BC ＝BD 时，B （2，4），C （m ，8），
∴BC ＝，∴＝m ， ∴m ＝5，
当BD ＝AB ＝CD 时，m ＝AB ＝＝2，
综上所述，△BCD 是等腰三角形，满足条件的m 的值为 4 或 5 或 2． 27．（10分）如图，二次函数24y x bx =+−的图像经过点()3,4A −，
与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，连接AB ，BC
(1)填空：b =______；
(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一个动点，过点P 作PT x ⊥轴，垂足为T ，PT 交AB 于点Q ， 线段PQ 的最大值；
(3)点D 是y 轴正半轴上一点，若∠=∠BDC ABC ，求点D 的坐标． 解：（1）∵二次函数24y x bx =+−的图像经过点()3,4A −， ∴24334b −+−，
解得3b =−，
故答案为：3−；
（2）令2340y x x =−−=，
解方程2340x x −−=，得11x =−，24x =，
∴()1,0B −．
设直线AB 的函数表达式是y kx m =
+， 直线AB 交y 轴于点F ．
∵()3,4A −，
∴把=1x −，0y =和3x =，4y =−
代入y kx m =
+，
得034k m k m −+= +=− ，解得11k m =− =−
， ∴直线AB 的函数表达式是=1y x −−．
设点()2,34P m m m −−，
则(),1Q m m −−．
∴2134PQ m m m =−−−++223m m =−++()214m =
−−+． 当1m =时，PQ 的最大值是4．
（3）过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ．
∵3CF =，45CFE ∠=
°，
∴CE EF == ∵BF =，
∴BE = ∴3tan 5CE CBE BE ∠=
=． ∵∠=
∠BDC ABC ， ∴3tan 5OB BDO OD ∠=
=． ∵1OB =，
∴53
OD =， ∴D 50,3
． 28．（10分）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，点D 在斜边BC 上，且满足BD ＝BC ， 将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE ，记旋转角为α，连接CE ，BE ，
以CE 为斜边在其右侧作直角三角形CEF ，且∠CFE ＝90°，∠ECF ＝60°，连接AF ．
（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE 与线段AF 的数量关系 BE ＝2AF ；
（2）当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段BE 与线段AF 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②当B ，E ，F 三点共线时，如图3，连接AE ，若AE ＝3，请直接写出cos ∠EF A 的值及线段BC 的值．
解：（1）∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，
∴AC ＝BC ，
∵BD ＝BC ，将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE ，
∴BD ＝DE ＝BC ，BE ＝CB ，
∴CE ＝CB ，
∵∠CFE ＝90°，∠ECF ＝60°，
∴∠CEF ＝30°，
∴CF＝CE＝CB，
∴AF＝AC﹣CF＝CB，
∴BE＝2AF；
故答案为：BE＝2AF；
（2）①结论仍然成立，理由如下：∵∠BCA＝∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
又∵，
∴△CBE∽△CAF，
∴，
∴BE＝2AF；
②∵B，E，F三点共线，
∴∠CEB+∠CEF＝180°，
∴∠CEB＝150°，
∵△CBE∽△CAF，
∴∠CEB＝∠AFC＝150°，
∴∠EF A＝150°﹣90°＝60°，
∴cos∠EF A＝cos60°＝；
如图3，过点D作DH⊥BE于H，
∵BD＝DE，DH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BE＝2AF，
∴BH＝HE＝AF，
∵DH⊥BE，CF⊥BE，
∴DH∥CF，
∴，
∴HF＝2BH，
∴EF＝HE＝BH，
∴EF＝AF，
∴△EF A是等边三角形，
∴EF＝AE＝AF＝3，
∴BE＝6，CF＝，
∴BC＝＝2．。