北京市第四中学2020届高三数学下学期统练1试题(含解析)

北京市第四中学2020届高三数学下学期统练试题1（含解析）
（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则A B =（ ）
A. {2}
B. {1,2}
C. {2,1,0}--
D.
{2,1,0,1}--
【答案】C 【解析】 【分析】
由对数函数定义域求出集合B 的解集，再由集合交集的运算法则，求出答案.
【详解】由题可知，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则其中定义域
{|10}{|1}B x x x x =->=<
又有集合{2,1,0,1,2}A =--，则{2,1,0}A B =-- 故选：C
【点睛】本题考查集合表示的定义，求对数函数的定义域，还考查了集合的交集运算，属于基础题.
2.直线10x y +-=与圆222
2ππ
cos
cos 36
x y +=+的公共点的个数（ ） A. 0个 B. 1个
C. 2个
D. 不能确定
【答案】C 【解析】 【分析】
表示圆的标准方程，进而表示圆心和半径，再由圆心到直线的距离判定直线与圆的位置关系，即可得答案.
【详解】因为圆2
2
2222ππ1cos cos 1362x y ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭⎝⎭
，圆心为()0,0,1r =
则圆心到直线10x y +-=的距离为12
d ==
< 所以公共点有2个 故选：C
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.
3.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（ ）
A. 2
D. 3
【答案】C 【解析】
分析：设复数(,)z x yi x y R =+∈，利用相等，求得1,1x y ==-，进而可求复数的模. 详解：设复数(,)z x yi x y R =+∈，
则22233z z x yi x yi x yi i +=++-=+=-，则1,1x y ==-，
所以1z i =-，所以
z = C.
点睛：本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.
4.()2323P ?
log 3Q ?log 2R ?log log 2===，，，则( ) A. R<Q<P B. P<R<Q
C. Q<R<P
D. R<P<Q
【答案】A 【解析】 试
题
分
析
：
由
对
数
函
数
的
性
质
，
()22323P ?log 3>log 21Q ?log 2(0,1)R ?log log 20===∈=<，，，故选A.
考点：对数函数的性质 5.给出下列命题：
① 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则直线//l 平面α； ② 长方体是直四棱柱；
③ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥. 其中正确命题的个数是（ ） A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
①由线面平行的判定定理即可判定； ②由长方体与直棱柱的定义即可判定； ③构建特殊的例子，如图即可判定.
【详解】①该直线与平面可能相交，位于平面两侧的两个点到平面α的距离也是相等的，故错误；
②显然长方体的侧棱是垂直于底面的，故正确；
③两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥就不是正棱锥，故错误.
故选：B
【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，直棱锥和正棱锥的定义，属于简单题. 6.“sin 0α
=”是“sin 20α=”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】 由sin 0α
=可得α，由sin 20α=也可得α，观察两个α的范围之间的关系即可得结果.
【详解】解：由sin 0α=可得,k k Z απ=∈，
由sin 20α=可得,2
k
k Z απ=∈， 所以“sin 0α=”是“sin 20α=”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出α的取值，本题是基础题. 7.截至2019年10月，世界人口已超过75亿.若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的
人口就可相当于一个（ ） A. 新加坡（570万） B. 希腊（1100万） C. 津巴布韦（1500万） D. 澳大利亚
（2500万） 【答案】C 【解析】 【分析】
由指数幂的计算方式求得答案.
【详解】由题可知，年增长率为0.001，则两年后全世界的人口有()2
75000010.001⨯+万， 则两年增长的人口为()2
75000010.0017500001500.75⨯+-=万 故选：C
【点睛】本题考查指数式的计算，属于基础题.
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）
A. 83
B.
23
C.
43
D. 2
【答案】B 【解析】
分析：根据三视图得到原几何体为一个三棱锥，即可求解该三棱锥的体积. 详解：由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个三棱锥，
其中三棱锥的底面（俯视图）的面积为1
1212
S =
⨯⨯=，高为2h =， 所以该三棱锥的体积为112
12333
V Sh ==⨯⨯=，故选B.
点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，根据三视图的规则，空间几何
体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.
9.已知函数1
3,10,()1
,01,x f x x x x ⎧--<≤⎪
=+⎨⎪<≤⎩
则当102m <<时，函数()()g x f x mx m =--在区间(]1,1-内的零点个数为（ ） A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C 【解析】 【分析】
利用转化思想将零点问题转化为分段函数()y f x =在区间(]1,1-内与过定点的直线
()1y m x =+的函数图象的交点，进而作图分析由数形结合思想即可得答案.
【详解】函数()()g x f x mx m =--在区间(]1,1-内的零点，可等价于方程()0f x mx m --=的根，进一步转化为分段函数()y f x =在区间(]1,1-内与过定点的直线()1y m x =+的函数图象的交点，
作出分段函数的在区间(]1,1-内图象，因为直线()1y m x =+过定点()1,0A -且斜率
1
02
m <<
，则直线必然与线段OB 相交于一点，故交点个数有2个， 所以函数()()g x f x mx m =--在区间(]1,1-内的零点个数为2.
故选：C
【点睛】本题考查利用转化思想与数形结合思想解决函数的零点个数问题，属于较难题. 10.对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意n *∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ∆，那么下列命题正确的是（ ）． A. 若{}n a M ∆，则数列{}n a 各项均大于或等于M ； B. 若{}n a M ∆，则{}
2
2
n a M ∆；
C. 若{}n a M ∆，{}n b M ∆，则{}2n n a b M +∆；
D. 若{}n a M ∆，则{}2121n a M +∆+； 【答案】D 【解析】 【分析】
通过数列为1，2，1，2，1，2…，当 1.5M =时，判断A ；当3M =-时，判断B ；当数列{}n a 为1，2，1，2，1，2…，{}n b 为2，1，2，1，2…， 1.6M =时，可判断C ；直接根据定义可判断D 正确.
【详解】A 中，在数列1，2，1，2，1，2…中， 1.5M =，数列{}n a 各项均大于或等于M 不
成立，故A 不正确；
B 中在数列1，2，1，2，1，2…中，3M =-，此时{}
2
2
n a M ∆不正确，故B 错误； C 中，数列{}n a 为1，2，1，2，1，2…，{}n b 为2，1，2，1，2…， 1.6M =，而{}n n a b +各项均为3，则{}2n n a b M +∆不成立，故C 不正确；
D 中，若{}n a M ∆，则{}21n a +中，21n a +与121n a ++中至少有一个不小于21M +，故
{}2121n a M +∆+正确，
故选D ．
【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{}n a M ∆是解题的关键，属于中档题.
二、填空题共5题，每题5分，共25分.
11.已知函数2
()(2)1f x x a x =+++（[,]x a b ∈）是偶函数，则实数b =_____. 【答案】2 【解析】 【分析】
因为函数()f x （[,]x a b ∈）是偶函数，则其对称轴为y 轴，且0a b +=，再由二次函数的对称轴构建方程即可求得答案.
【详解】因为函数2
()(2)1f x x a x =+++（[,]x a b ∈）是偶函数，则其对称轴为y 轴，且
0a b +=
又因为该二次函数的对称轴为2
2
a x +=-，所以2a =-，故2
b =. 故答案为：2
【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数的值，属于基础题. 12.函数2
cos 2sin y x x =-的最小正周期等于_____. 【答案】π 【解析】 【分析】
利用降幂公式整理化简，再由三角函数的最小正周期2T π
ω
=
求得答案.
【详解】因为函数2
1cos 231cos 2sin cos 2cos 2222
x y x x x x -=-=-
=- 故最小正周期等于π. 故答案为：π
【点睛】本题考查求三角函数的最小正周期，属于基础题.
13.已知(1)n
x +的展开式各项系数之和为64，则n =_____，展开式中含2x 项的系数为_____.
【答案】 (1). 6 (2). 15 【解析】 【分析】
利用赋值法，令1x =，则(1)n
x +的展开式各项系数之和为2n ，即可求得n ；再由二项展开式的通项求得含2x 项的系数.
【详解】令1x =，则(1)n
x +的展开式各项系数之和为62642==n ，则6n =； 其中通项16r
r
r T C x +=⋅，令2r ，则222
3615T C x x =⋅=，故2x 项的系数为15.
故答案为：(1). 6；(2). 15
【点睛】本题考查求二项展开式中指定项的系数，还考查了赋值法的应用，属于基础题. 14.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、
等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用
A 系列和
B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A 、
、8A 所有规格的纸张的幅
宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:x y =；②将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、
、8A 纸各一张.若4A 纸的宽度为2dm ，则0A 纸
的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm .
【答案】 (1). 4
【解析】 【分析】
可设()0,1,2,3,
,8i A i =的纸张的长度为1i a +，则数列{}n a
为公比的等比数列，设
i A 的纸张的面积1i S +，则数列{}n S 成以
1
2
为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和. 【详解】可设()0,1,2,3,
,8Ai i =的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai
1i +，
()1A i +
的长度为21i i a ++=，所以，数列{}n a
为公比的等比数列， 由题意知4A
52=
，5a ∴=
，512
4
2a a ∴=
=
=⎛ ⎝⎭
所以，0A
纸的面积为(
2
2211S =
==，
又22
n n S a =
，
2
2211
11
22n n n n n a S a S a +++⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，数列{}n S
是以为首项，以
1
2
为公比的等比数列， 因此，这9
张纸的面积之和等于
921121412
dm ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭=-.
故答案为：
. 【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
15.已知曲线C
：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 . 【答案】[2,3]
【解析】
【详解】
故答案为[2,3].
三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为4的正方形，
11A C 与11B D 交于点N ，1BC 与1B C 交于点M ，且AM BN ⊥.
（Ⅰ）证明：//MN 平面1A BD ； （Ⅱ）求1AA 的长度；
（Ⅲ）求直线AM 与DN 所成角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1AA 的长度等于22（Ⅲ）22
11
【解析】 【分析】
（Ⅰ）在以11A BC ∆中，利用中位线定理证明1//MN A B ，再由线面平行的判定定理得证； （Ⅱ）由已知说明DA ，DC ，1DD 两两垂直，进而可建立空间直角坐标系，再分别表示点
坐标，即可表示AM ，BN 的坐标，由向量垂直的数量积为零构建方程求得答案； （Ⅲ）由数量积的坐标运算求夹角的余弦值.
【详解】（Ⅰ）证明：由已知，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11BCC B 与四边形1111D C B A 是平行四边形，所以M ，N 分别是1BC ，11A C 的
中点.
所以11A BC ∆中，1//MN A B .
因为MN ⊄平面1A BD ，所以//MN 平面1A BD . （Ⅱ）因为1AA ⊥平面ABCD ，11//DD AA ，
所以1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AD ⊥，1DD CD ⊥，
又正方形ABCD 中AD CD ⊥，所以以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.
设1AA t =，所以(4,0,0)A ，(2,4,)2
t
M ，(4,4,0)B ，(2,2,)N t ，
(2,4,)2
t
AM =-，(2,2,)BN t =--.
因为AM BN ⊥，所以2
(2)(2)4(2)4022
t t AM BN t ⋅=-⨯-+⨯-+⨯=-+=，
解得t =，所以1AA
的长度等于
（Ⅲ）由（Ⅱ）知(2,AM =-
，(2,2,DN =， 设直线AM 与DN 所成角为θ， 所以||22
cos |cos ,|11||||
AM DN
AM DN AM DN θ⋅=<>=
=. 即直线AM 与DN 所成角的余弦值为
11
. 【点睛】本题考查空间中线面平行的证明，还考查了利用空间向量求棱长与异面直线所成角，属于简单题.
17.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率； （Ⅱ）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【答案】
17
100
；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200 【解析】 【分析】
（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；
（Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．
【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17
100
P =． （Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，
()1242
36
C C 1
15C P X ==
=
, ()2142
36
C C 325C P X ==
=
, ()3042
36
C C 135
C P X ==
=
.
所以X 的分布列为
所以X 的数学期望为131
1232555
EX =⨯
+⨯+⨯=. （Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，
使用自由购的共有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为
44
50002200100
⨯=. 【点睛】本题考查统计表，随机变量X 的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题． 18.现给出三个条件：①函数()f x 的图象关于直线π
3
x =
对称；②函数()f x 的图象关于点π
(,0)6
-对称；③函数()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π.从中选出两个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题.
已知函数())f x x =
ω+ϕ（0>ω，π||2
ϕ<）
，_____，_____.求函数()f x 在区间ππ
[,]26
-上的最大值和最小值. 【答案】见解析 【解析】 【分析】
方案①③与②③，都有周期2T π
ω
=
可求得ω，再由sin 型函数的对称轴2
k π
π+
与对称中心
(),0k π求得ϕ，即可表示解析式，最后由三角函数的性质求得指定区间的最值；方案①②中，
由对称轴π
3x =
与对称中心π(,0)6-可构建方程组，分别表示ω与ϕ，利用分类讨论6
πϕ=-和6
π
时ω的情况，其中若T 小于所求区间范围的区间长度，则最值由振幅确定，反之则可由性质求值域.
【详解】方案一：选①③.由已知，函数()f x 的最小正周期πT =，
所以
2π
πω
=，2=ω
，所以())f x x ϕ=+.
令π2π2x k ϕ+=+，得ππ
422
k x ϕ=-+，k ∈Z . 所以()f x 的对称轴方程为ππ
422
k x ϕ=-+，k ∈Z .
令πππ4223
k ϕ-+
=，k ∈Z ，由π
||2ϕ<，得π6ϕ=-.
综上，π
())6
f x x =-.
因为ππ[,]26x ∈-，所以π7ππ
2[,]666
x -∈-
. 所以当π7π266x -=-或π6，即π2x =-或π6
时，max ()f x =
当ππ262x -
=-，即π
6
x =-
时，min ()f x =. 方案二：选②③.由已知，函数()f x 的最小正周期πT =， 所以
2π
πω
=，2=ω
，所以())f x x ϕ=+.
所以ππ())06
3f ϕ-=-+=，于是π
π3
k ϕ-+=，k ∈Z . 由π
||2ϕ<
，得π3
ϕ=.
综上，π
())3
f x x =+.
因为ππ[,]26x ∈-
，所以π2π2π2[,]333x +∈-. 所以当ππ232x +=，即π
12x =
时，max ()f x =
当ππ232x +=-，即5π
12
x =-
时，min ()f x =.
方案三：选①②.由已知可知其中一个对称轴π
3x =
与对称中心π(,0)6
-， 则()112232
,6
k k Z k Z k ππωϕππωϕπ⎧+=+⎪⎪∈∈⎨⎪-+=⎪⎩，解得12122211
21336k k k k ωϕπ=-+⎧⎪⎨⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎩ 因为121
21π||3
362k k ϕπ⎛⎫=++< ⎪⎝⎭，则12221k k -<+<，即1221k k +=-或0
当1221k k +=-时，()222,22121616
k k k π
ϕω=-
=---+=--
因为0>ω，则()2221
6106
k k k Z -->⇒<-∈ 当21k =-时，5ω=，则225
T π
πω
==
又因为区间ππ[,]26-
的区间长度为2623T πππ⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间ππ
[,]26
-上的
22,3,k =--⋅⋅⋅时也成立， 当1220k k +=时，()222,2221616
k k k π
ϕω=
=--+=-+
因为0>ω，则()2221
6106
k k k Z -+>⇒<∈ 当20k =时，1ω=，则223
T ππ=>
此时函数
π
=+())6
f x x ，则其在区间[,]26ππ
-上有363x πππ
-≤+≤，即
33
)262
x π-≤+≤，故最大值为32，最小值为3
2-，
当21k =-时，7ω=，则2273
T ππ=<，所以函数()f x 在区间ππ[,]26-
最小值为22,3,k =--⋅⋅⋅时也成立
综上所述，函数()()61,1,6f x x k k k Z π⎛
⎫
=ω-
ω=--≤-∈ ⎪⎝⎭
和函数()
()61,1,
6f x x k k k Z π⎛
⎫=ω+ω=-+≤-∈ ⎪⎝
⎭在区间ππ[,]26-和最
小值为；函数
π
=+())6
f x x 在区间[,]26ππ-上最大值为32，最小值为3
2-.
【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，还考查了求指定区间的最值，属于难题.
19.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 2
2:12
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P
满足2NP NM =
.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 直线l 过C 的左焦点F .
【答案】（1）22
2x y +=；（2）见解析. 【解析】
【详解】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=，先设 P （m ，n ），则需证330+-=m tn ，即根据条件1OP PQ ⋅=可得2231--+-=m m tn n ，而222m n +=，代入即得
330+-=m tn .
试题解析：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),MN 0,x y y =-=（）
由NP 2NM =
得0002
x y y ==
，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22
x 122
y +=.
因此点P 的轨迹为2
2
2x y +=.
由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则
OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-，，，，，
OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）
. 由OP PQ 1⋅=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.
所以OQ PF 0⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 20.已知函数2
1()(1)e 22
x
f x x ax ax =++
+，0a <. （Ⅰ）若()f x 满足(0)0f '=，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的极值点的个数；
（Ⅲ）若0x （02x ≠-）是()f x 的一个极值点，且2
(2)e f -->，证明：0()1≤f x .
【答案】（Ⅰ）1a =-；（Ⅱ）当2a e -=-时，()f x 无极值点；当2e a -<-或2e 0a --<<时，
()f x 有2个极值点；（Ⅲ）见解析
【解析】 【分析】
（Ⅰ）对()f x 求导，由(0)0f '=构建方程，求得a 的值；
（Ⅱ）对()f x 求导，利用分类讨论思想讨论()f x 在当2a e -<-，2a e -=-，2e 0a --<<时的单调性，进而分析极值点的个数；
（Ⅲ）由2
(2)e f -->，可得2e a -<-，此时由（Ⅱ）可知其两个极值为-2和ln()a -时，又0x （02x ≠-）是()f x 的一个极值点，则()0ln x a =-，即可表示0()f x ，进而由换元法令
()()ln 2,t a =-∈-+∞，构造新的函数利用导数证明此时的不等式即可.
详解】（Ⅰ）()(2)e 2(2)(e )x x f x x ax a x a '=+++=++.
(0)2(1)0f a '=+=，所以1a =-.
（Ⅱ）()(2)e 2(2)(e )x
x
f x x ax a x a '=+++=++ 当0a <时，令()0f x '=，解得12x =-，()2ln x a =-. ①当2a e -<-时，2ln()a -<-，
当x 变化时，()f x '
，()f x 的变化如下表
所以()f x 有2个极值点.
②当2a e -=-时，12x x =，此时()0f x '≥恒成立且不恒为0
()f x ∴在R 上单调递增，无极值点.
③当2e 0a --<<时，2ln()a ->-，
当x 变化时，()f x '
，()f x 的变化如下表
所以()f x 有2个极值点.
综上所述：当2a e -=-时，()f x 无极值点；当2e a -<-或2e 0a --<<时，()f x 有2个极值点
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，则2
2(,e )
(e ,0)a --∈-∞--.
又2
2(2)e
2e f a ---=-->，即2e a -<-.
02x ≠-()0ln x a ∴=-.
()()()()()()()()ln 22
011ln 1ln 2ln ln 2ln 222
a f x a e a a a a a a a -⎡⎤∴=-++⋅-+-=-+--⎣⎦. 令()()ln 2,t a =-∈-+∞，则e t a =-()()2
1e 222
t g t t t ∴=-
+-，()2,t ∈-+∞. 则()()()211
e 44e 22
t t g t t t t t '=-
+=-+，令()0g t '=，解得4t =-或0t =. 当t 在区间(2,)-+∞上变化时，()g t '，()g t 的变化如下表
()g t ∴在()2,0-上单调递增；在()0,∞+上单调递减
()()()02max 1
0e 020212
g t g ∴==-+⨯-=，即()1g t ≤
()01f x ∴≤.
【点睛】本题考查利用导数证明不等式，还考查了利用分类讨论分析含参函数的单调性进而分析极值，属于难题.
21.已知集合12{|(,,
,),*,1,2,
,}n n i S X X x x x x i n ==∈=N （2n ≥）.对于
12(,,,)n A a a a =，12(,,
,)n n B b b b S =∈，定义1122(,,
,)n n AB b a b a b a =---；
1212(,,,)(,,,)n n a a a a a a λλλλ=（R λ∈）；A 与B 之间的距离为
1(,)||n
i i i d A B a b ==-∑．
（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ； （Ⅱ）（ⅰ）证明：若,,n A B C S ∈，且0λ∃>，使AB BC λ=，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=； （ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．是否一定0λ∃>，使AB BC λ=？说明理由； （Ⅲ）记(1,1,
,1)n I S =∈．若A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．
【答案】（Ⅰ）51a =，或55a =．（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）不存在0λ>，使得AB BC λ=．见解析（Ⅲ）(,)d A B 的最大值为2p ． 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由已知的新定义1
(,)||n
i
i
i d A B a b ==
-∑，代值计算即可；
（Ⅱ）（ⅰ）由已知新定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---，可将已知转化为0λ∃>，使得
()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,
,i n =，所以i i b a -与(1,2,
,)i i c b i n -=同为非负数或同
为负数，进而由1
(,)||n
i
i
i d A B a b ==-∑与绝对值的性质即可得证；
（ⅱ）举特例取(1,1,1,
,1)A =，(1,2,1,1,,1)B =，(2,2,2,1,1,,1)C ，即可说明不存在；
（Ⅲ）由绝对值的性质对,x y ∈R ，都有||||||x y x y +≤+，则所求式子
1
1
(,)|||(1)(1)|n n i i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1
(|1||1|)
n
i i i b a =≤-+-∑1
1
|1||1|2n n
i i i i a b p ===-+-=∑∑．
【详解】（Ⅰ）当5n =时，由5
1
(,)||7i
i
i d A B a b ==
-=∑，
得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=．
由 *
5a ∈N ，得 51a =，或55a =．
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．
因为 0λ∃>，使 AB BC λ=，
所以 0λ∃>，使得 11221122(,,)((,,
)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，
即 0λ∃>，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．
所以 i i b a -与(1,2,
,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数．
所以 1
1
(,)(,)||||n
n
i
i
i
i
i i d A B d B C a b b c ==+=
-+-∑∑1
(||||)n
i
i
i
i
i b a c b ==-+-∑
1
||(,)n
i i i c a d A C ==-=∑．
（ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，此时不一定0λ∃>，使得
AB BC λ=．
反例如下：取(1,1,1,,1)A =，(1,2,1,1,,1)B =，(2,2,2,1,1,,1)C ，
则 (,)1d A B =，(,)2d B C =，(,)3d A C =，显然(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=． 因为(0,1,0,0,,0)AB =，(1,0,1,0,0,,0)BC =，
所以不存在0λ>，使得AB BC λ=．
（Ⅲ）解法一：因为 1(,)||n i i i d A B b a ==
-∑， 设(1,2,,)i i b a i n -=中有()m m n ≤项为非负数，n m -项为负数．不妨设1,2,,i m =时0i i b a -≥；1,2,
,i m m n =++时，0i i b a -<． 所以 1(,)||n
i i
i d A B b a ==-∑ 12121212[()()][()()]
m m m m n m m n b b b a a a a a a b b b ++++=++
+-+++++++-+++ 因为 (,)(,)d I A d I B p ==，
所以 11(1)(1)n n i i i i a b ==-=-∑∑， 整理得 11n n
i i
i i a b ===∑∑． 所以 12121(,)||2[()]n i i m m i d A B b a b b b a a a ==
-=+++-+++∑． 因为 121212()()m n m m n b b b b b b b b b +++++=+++-+++ ()()1p n n m p m ≤+--⨯=+；
又 121m a a a m m +++≥⨯=，
所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =++
+-+++ 2[()]2p m m p ≤+-=．
即 (,)2d A B p ≤．
对于 (1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．
综上，(,)d A B 的最大值为2p ．
解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有 ||||||x y x y +≤+．
证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，
所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，
即 ||||||x y x y +≤+．
所以 11(,)|||(1)(1)|n n i i i i i i d A B b a b a ===
-=-+-∑∑1
(|1||1|)n i i i b a =≤-+-∑ 11
|1||1|2n n i i i i a b p ===-+-=∑∑．
上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)2d A B p ≤．
对于 (1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．
综上，(,)d A B 的最大值为2p ．
【点睛】本题考查向量与绝对值求和的新定义问题，还考查了绝对值的性质的应用，属于难题.。