定积分与微积分基本定理练习题及答案

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定积分与微积分基本定理练习题及答案
1. (2011 •宁夏银川一中月考)求曲线y = x2与y= x所围成图形的面积,其中正确的是
( )
A. s= 1 (x2 —x)dx
B. S= 1(x —x2)dx
0 0
C. S= 1 (y2 —y)dy D -S= 1(y —,y)dy
0 0
[答案]B
[分析]根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数.
[解读]两函数图象的交点坐标是(0,0) , (1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在
[0,1]上,x>x2,故函数y = x2与y = x所围成图形的面积S= 1(x —x2)dx.
2. (2010 •山东日照模考)a = 2xdx, b= 2exdx, c= 2sinxdx,贝U a、b、c 的大小
0 0 0
关系是()
A. a<c<b
B. a<b<c
C. c<b<a
D. c<a<b
[答案]D
1
[解读]a = 2xdx = zx2|02 = 2 , b = 2exdx = ex|02 = e2 —1>2, c= 2sinxdx =—0 1 2 0 0 cosx|02 = 1 —cos2 € (1,2),
c<a<b.
3. (2010 •山
东理,7)由曲线y= x2, y= x3围成的封闭图形面积为()
[答案]A
y= x2
[解读]由得交点为(0,0)
y= x3
1 1
.S= 1 (x2 —x3)dx = x3 —7x4,(1,1).
其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线
3
A. 4 D . 6 [答案]A
[答案]
2.
6.
曲线y = cosx(0 w x w 2n )与直线y = 1所围成的图形面积是(
)
A. 2 n B . 3 n D.n [答案]A [解读]如右图, S =/ 02 n (1 — cosx)dx
=(x — sinx)|02 n= 2 n.
[点评]此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决,但若把积分区间改为
n 6,n ,则对称性就无能为力了.
7 .函数 F(x) = xt(t — 4)dt 在[—1,5]上(
)
0 A. 有最大值0,无最小值
32
B. 有最大值 0和最小值---标是( )
[答案] [解读]
设 P(t ,⑵(0 < t < 2),则直线 OP y = tx ,••• S1= t(tx — x2)dx =" 0
S2 =
t3
2(x2 — tx)dx = 3— 2t +§,若 S1= S2,则 t =-
4 4 16 3,…P 3, 9 .
4 .由三条直线 x = 0、x = 2、 y = 0和曲线y = x3所围成的图形的面积为( [解读]S =
x4
2x3dx = ~ 0
4
02= 4. 5. (2010 •湖南省考试院调研 )1 — 1(sinx + 1)dx 的值为( )
A.
C. 2 + 2cos1 D . 2- 2cos1
[解读]
1 — 1(si nx + 1)dx = ( — cosx + x)| — 11 = ( — cosl + 1) — ( — cos( — 1) 1)=
c.有最小值- 3,无最大值 D.既无最大值也无最小值 [答案]B
[解读]F ' (x) = x(x — 4),令 F ' (x) = 0,得 x1 = 0, x2 = 4, •- F( — 1) =— £ F(0) = 0, F(4)=—罟,F(5) =— 25.
x 0 (t)dt 的导数 F ' (x) (x).
&已知等差数列{an }的前n 项和Sn = 2n2 + n ,函数f(x) 的取值范围是(
)
B. (0, e21)
C. (e — 11, e) D . (0 , e11) [答案]D
1
[解读]f(x) = x-dt = Int|1x = Inx , a3 = S3— S2= 21 — 10= 11,由 Inx<11 得, 1t 0<x<e11.
9. (2010 •福建厦门一中)如图所示,在一个长为 n,宽为2的矩形OABC 内,曲线y
=sinx(0 w x <n )与x 轴围成如图所示的阴影部分,
向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩
形OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是
(
)
[答案]A
[解读]由图可知阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积.由题意得
S = n
sinxdx = — cosx|0 n=— (cos n — cos0) = 2,再根据几何概型的算法易知所求概率
P =
S
2 1 9 10
S 矩形 OAB = 2 n = n .
x + 2
— 2<x <0
10 (2010 •吉林质检)函数f(x) =
n
的图象与x 轴所围成的图
2cosx 0w xw ©
形面积S 为(
)
•••最大值为0,最小值为— 32
3
. [点评]一般地,F(x)
x^dt ,若 f(x)<a3 ,贝U x
[答案]C
n
n
[解读] 面积 S=f — — 2f(x)dx =
0 — 2(x + 2)dx + /y02cosxdx = 2 + 2= 4.
11. (2010 •沈阳二十中)设函数f(x) = x — [x],其中凶表示不超过x 的最大整数,如 x
[—]=—2, [] = 1,[1] = 1.又函数g(x) =— 3, f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m f(x)
与g(x)的图象交点的个数记为
n ,贝y ng(x)dx 的值是(
m
4 3 7 6
[答案]A
[解读] 由题意可得,当 0<x<1 时,[x ] = 0, f(x) = x ,当 K x<2 时,[x ] = 1, f(x) =x — 1,所以当x € (0,2)时,函数f(x)有一个零点,由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函 x
数有 4 个交点,所以 m = 1, n = 4,贝U ng(x)dx = 4 — 3 dx =
11.(2010 •江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛, 比赛规则如下:甲从区间[0,1]
上随机等可能地抽取一个实数记为
b ,乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为
c(b 、c 可以相等),若关于x 的方程x2 + 2bx + c = 0有实根,则甲获胜,否则乙获胜,则在 一场比赛中甲获胜的概率为
(
)
[答案]A
[解读] 方程x2+ 2bx + c = 0有实根的充要条件为 △ = 4b2 — 400,即卩b2>c ,
1b2db
由题意知,每场比赛中甲获胜的概率为
p =呻
=[ 1X1 3
12. (2010 •吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为
0(0,0) ,A(1,0) ,B(1,1) , C(0,1),
曲线y = x2(x > 0)与x 轴,直线x = 1构成区域M 现将一个质点随机地投入正方形中, 则质
点落在区域M 内的概率是(
)
[答案]
C
B. 1 C . 4
A — j
B . 5 C. — _D.
4 x2 5
—石 14= —
2.
[解读]
1 1
如图,正方形面积1,区域M的面积为S= 1x2dx = zx3|01 = 3,故所求概率p
0 3 3
2•如图,阴影部分面积等于()A. 2 3B. 2 —3
[答案]C
[解
读]
图中阴影部分面积为
S= 1
-3 1 32
(3 —x2 —2x)dx = (3x —-x3 —x2)|1 —3=石.
3 3
4 —x2dx =( )
A. 4 n B . 2 n
C.n
[答案]C
[解
读]
令y = '*4 —x2,则x2 + y2 = 4(y >O),由定积分的几何意义知所求积分为图中
阴影部分的面积,
1
S= :XnX 22=n.
4
4.
已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的
速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的tO和t1,下列判断中一定正确的是()
A. 在t1时刻,甲车在乙车前面
B. 在t1时刻,甲车在乙车后面
C. 在tO时刻,两车的位置相同
D. tO时刻后,乙车在甲车前面
[答案]A
[解读]判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在tO , t1时刻,甲、
乙两车行驶路程的大小问题. 根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该
时间段内速度函数的定积分,即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积.从图象知:在tO时刻,v甲的图象与t轴和t = 0, t = tO围成区域的面积大于v乙的图象与t 轴和t = O, t = tO 围成区域的面积,因此,在tO时刻,甲车在乙车的前面,而且此时乙车
的速度刚刚赶上甲车的速度,所以选项C, D错误;同样,在t1时刻,v甲的图象与t轴和
t = t1围成区域的面积,仍然大于v乙的图象与t轴和t = t1围成区域的面积,所以,可以
断定:在t1时刻,甲车还是在乙车的前面•所以选 A.
n n
5. (2012 •山东日照模拟)向平面区域Q= {(x , y)| --4 < x W牙,存1}内随机投掷一点,该点落在曲线y = cos2x下方的概率是()
-1
[答案]D
[解读]
n
平面区域Q是矩形区域,其面积是-,在这个区
6. (sinx —cosx)dx 的值是()
A. 0 C. 2 D.—2
[答案]D
[解
读]
(si nx —cosx)dx = ( —cosx —sinx) =—2.
7. (2010 •惠州模拟)2(2 —11 —x|)dx = 0
[答案]3
1 + x 0W x Wl
[解读]y = ,
3 —x 1<x W2
•••2(2 —|1 —x|)dx = 1(1 + x)dx + 2(3 —x)dx
0 0 1
1 13 3
=(x + 十2)|10 + (3x —2x2)|21 = + 2= 3.
& (2010 •芜湖十二中)已知函数f(x) = 3x2 + 2x+ 1,若1—1f(x)dx = 2f(a)成立,则a= .
1 [答案]—1或3
[解读]T 1—1f(x)dx = 1—1(3x2 + 2x + 1)dx = (x3 + x2 + x)|1 —1 = 4 , 1—1f(x)dx = 2f(a) , • 6a2+ 4a+ 2= 4,
1
•- a=—1 或~.
3
9. 已知a =/ -20(sinx + cosx)dx,则二项式(a g —扌)6的展开式中含x2项的系数是_________ .
[答案]—192
n n n n [解读]由已知得 a =/ —0(sinx + cosx)dx = ( —cosx + sinx)| ~0= (sin ——cos-^)
b2 — a2
则直线AB 的方程为y -a2= =(x
- a)

即 y = (a + b)x — ab.
x|)|ba = Rb — a)3,
1 4 ••• 6(b - a)3 = 3,
解得b — a = 2.设线段AB 的中点坐标为P(x ,y),
a + b
消去a 得y = x2 + 1.
•••线段AB 的中点P 的轨迹方程为y = x2 + 1. 能力拓展提升 11.
(2012 •郑州二测)等比数列{an }中,a3= 6,前三项和S3=
34xdx ,则公比q 的值 0
A. 1 B .
c. 1 或—2D . — 1 或—1 [答案] C
[解读]
6 6 因为 S3= 34xdx = 2x2|30= 18,所以-+ -r + 6= 18,化简得 2q2 — q — 1 = 0, 0 q q2 1
解得q = 1或q =— 2,故选C.
—(si nO — cosO) = 2,
(2・,x — -)6的展开式中第 r + 1 项是 Tr + 1= ( — 1)r XC 6X 26— r x x3 — r ,令 3— r = 2 得,r = 1,故其系数为(—1)1 XC 6X 25=— 192.
10. 有一条直线与抛物线 y = x2相交于A B 两点,线段AB 与抛物线所围成图形的面积 4
恒等于3,求线段AB 的中点P 的轨迹方程.
3
[解读]设直线与抛物线的两个交点分别为 A(a , a2), B(b , b2),不妨设 a<b ,
则直线AB 与抛物线围成图形的面积为
S =
a + b
b[(a + b)x — ab — x2]dx = (—^ x2 — abx — a
其中
x =
a2 + b2 2
将b — a = 2代入得
x = a + 1, y =
a2+ 2a + 2.
12. (2012 •太原模拟)已知(xlnx) '= lnx + 1,贝U elnxdx =(
)
1 A ・ 1 B . e C . e — 1 D . e + 1 [答案]A
[解读] 由(xlnx) ' = lnx + 1,联想到(xlnx — x) '= (lnx + 1) — 1 = lnx ,于是 elnxdx
1
=(xlnx — x)|e1 = (elne — e) — (1 x ln1 — 1) = 1.
13. _________________________________________________________ 抛物线y2= 2x 与直线y = 4— x 围成的平面图形的面积为 ___________________________________
[答案]18
y2 = 2x ,
[解读]由方程组
解得两交点A(2,2)、B(8, — 4),选y 作为积分变量x
y = 4 — x ,
=肖、x =4 — y ,
14.
已知函数f(x) = ex — 1,直线l1 : x = 1, l2 : y = et — 1(t 为常数,且 0w t < 1).直线 l1 , l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域n 所示,其面积用
S2表示•直线l2 ,
y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域I 所示, 其面积用S1表示.当t 变化时, 阴影部分的面积的最小值为 __________________ .
[答案](,e — 1)2
[解读] 由题意得 S1 + S2= t (et — 1 — ex + 1)dx +
1 (ex — 1 — et + 1)dx = t (et — 0 t 0
ex)dx +
1 (ex — et)dx = (xet — ex)|t 0 + (ex — xet)|1 t = (2t — 3)et + e + 1,令 g(t) = (2t —
t
1
3)et + e +1(0 w t < 1),贝U g ' (t) = 2et + (2t — 3)et = (2t — 1)et ,令 g ' (t) = 0,得 t = ?, 1 1 •••当 t € [0 , 2)时,g ' (t)<0 , g(t)是减函数,当 t € (-, 1]时,g ' (t)>0 , g(t)是增函数, 因此g(t)的最小值为 g(2) = e + 1 — 2ef =「e — 1)2.故阴影部分的面积的最小值为 (,e — 1)2.
15.求下列定积分.
x
(1) 1 — 1|x|dx 。

(2) n cos2~dx ;
0 2
••• S = 2 [(4 -4 —y)—
=(4y —罟
⑶ / 2 + 1 x^L-dx.
x — 1
1
[解读] ⑴
1— 1|x|dx = 2 1xdx = 2X -x2|10 = 1.
0 2
1 + cosx 1
- dx = QX| n +
1
(3) j 2 + 1 dx = ln(x — 1)|e2+ 1= 1.
x — 1
16.已知函数f(x) = — x3 + ax2+ bx(a , b € R)的图象如图所示,它与 x 轴在原点处相
[解读]f ' (x) =— 3x2 + 2ax + b , v f ' (0) = 0 b = 0, ••• f(x) =— x3 + ax2,令 f(x) = 0,得 x = 0 或 x = a(a<0).
••• S 阴影= 0[0 — ( — x3 + ax2)]dx
a
1 1 1 1
=(4x4 — 3ax3)|0a = ^a4=乜,
v a<0,.°. a = — 1.
的几何意义,探求f(x)dx 的值,结果是
C. 1 D . 0 [答案]B
C. 1 [答案]D
x
cos2 2dx =
切,且x 轴与函数图象所围区域
(图中阴影部分)的面积为 舟求a 的值.
1. (2011 •龙岩质检)已知函数f(x) =sin5x + 1,根据函数的性质、积分的性质和积分
[解读]f(x)dx = sin5xdx + 1dx , 由于函数 y = sin5x 是奇函数,所以 sin5xdx = 0,
n n
而 1dx = x| "2 —
2 =n
,
故选B.
—1 w x<0 ,
2. 若函数f(x)
cosx
n
0Wx<3
,
的图象与坐标轴所围成的封闭图形的
面积为 a ,则a 的值为(
1
1 i n 3
[解读]由图可知 a = -+ — cosxdx = -+ sinx| n0 =-.
2 2 2 2 2
3.对任意非零实数a、b,若a?b的运算原理如图所示,则寸2? n sinxdx =
[答
案] 2
[解
读]n sinxdx =—cosx| n = 2> 2, 0
• 2? 厂2 —1溟
n sinxdx = 2?2= = .
0 ' ,'2 2
4. 设函数f(x) = ax2 + c(a 丰 0),若1f(x)dx = f(xO) ,0W
x0< 1,贝U x0 的值为0
[答
案]
3
[解读]
ax3 a ,, a
1 f(x)dx —1 (ax
2 + c)dx —( 3+ cx)|1 0 —3+ c,故3+ c —ax0 + c,即ax0 —0 0
3 33
a 厂
3,又0,
所以x0—3又0w x0w 1,所以x0—斗3.故填亨.
2
5. 设n= 2(3x2 —2)dx,则(x —一)n展开式中含x2项的系数是1 V x
[答案]40
[解读]••• (x3 —2x) '= 3x2 —2,
••• n= 2(3x2 —2)dx = (x3 —2x)|21
1
=(23 —2X 2) —(1 —2) = 5.
2
• (x ——)5 的通项公式为Tr + 1 = C5x5 —
r( V x
人3r +
,令 5 —2 = 2,得r = 2, • x2项的系数是(—2)2C5= 40.
0 3 4
[点评]图形是由两条曲线围成的时,
对应函数表达式的积分,请再做下题:
2 x)r
3r
5 —E =(—2)rCr5x
(2010 •湖南师大附中)设点P在曲线y = x2上从原点到A(2,4)移动,如果把由直线OP
直线y= x2及直线x= 2所围成的面积分别记作S1, S2.如图所示,当S1 = S2时,点P的坐。

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