原创1：2.1.1 曲线与方程的概念

第二章 圆锥曲线与方程
§2.1.1 曲线与方程的概念
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
在坐标系中研究曲线
知识探究
二元一次方程x－y＝0与平面直角坐标系中
第一、三象限的角平分线l有何关系？
y
① ቊ = 1是方程x－y＝0的解吗？
l
=1
(x0,y0)

=
1
将ቊ
表示为坐标(1,1)
=1
O
x
此点在直线l上吗？
那么，这个方程叫做曲线的方程；
这条曲线叫做方程的曲线．
归纳小结
2．点是否在曲线上取决于点的坐标代入方程后
方程是否成立．
3．证明方程叫做曲线的方程和曲线叫做方程的
曲线需要分两步进行．
当堂训练
下列命题正确的是( D )

A．方程 ＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2
−2
的直线方程
B．△ABC的三个顶点坐标为A(－3,0)、B(3,0)、
解：
典例分析
求方程(x＋y－1) − 1＝0所表示的曲线．
【解析】
化简方程
x＋y－1＝0
依题意可得
或 x－1＝0，
x－1≥0
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.
综上可知，原方程所表示的曲线是
射线x＋y－1＝0(x≥1)和直线x＝1.
使方程
有意义
跟踪训练
方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是
12 1
2
∴k＝2a －2a＝2(a－ ) － ，
2
2
1
∴k≥－ .
2
1
∴k 的取值范围是[－ ，＋∞).
2
点的坐标
适合方程
跟踪训练
设α∈[0，2π)，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，
则α＝________.
解：∵点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，
②点(2,2)在直线l上吗？
= 2是方程x－y＝0的解吗？
ቊ
=2
(x0,y0)
知识探究
二元二次方程x2+y2＝1与圆心在原点、
半径为1的圆O有何关系？
点(x0,y0)在圆上
⇔
y
(x0,y0)
02 + 02 = 1
⇔ 02 + 02 = 1
1
O
⇔ (x0,y0)为方程的解
(x0,y0)
C(0,3)，则中线CO(O为坐标原点)的方程是x＝0
C．到y轴距离为2的轨迹方程为x＝2
D．方程y＝ 2 + 2 + 1表示两条射线
再见
∴(cos α－2)2＋(sin α)2＝3，
1
展开并化为cosα=
2
又∵ α∈[0，2π)
5
∴α= 或 .
3
3
归纳小结
1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上
的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了
如下的关系：
①曲线上点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
x
知识点：曲线与方程的概念
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个
二元方程f(x，y)＝0的实数解之间建立了如下的
关系：①曲线上点的坐标都是 方程的解 ；
②以方程的解为坐标的点都是 曲线上的点 ________；
这条曲线叫做 方程的曲线
．
典例分析
分别画出下列各方程的曲线：
①y＝x；
②y＝x(x≥0)；
③y＝x(x≤0);
④y＝x(－1≤x≤2)．
【解析】
y
y
体会四种曲线
有何不同
O
x
O
①
y
②
x
y
O
x
③
-1
O
2 x
④
跟踪训练
分别画出下列各方程的曲线：
①x2＋y2＝1；
②x2＋y2＝1(0≤x≤1)；
③x2＋y2＝1(0≤y≤1)； ④x2＋y2＝1(0≤x≤1,0≤y≤1)．
( C )．
解：方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，
而约束条件xy<0则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，
即单位圆位于第二或第四象限的部分．
典例分析
若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R，
求k的取值范围．
【解析】
∵曲线y2＝xy＋2x＋k过点(a，－a)，
∴a2＝－a2＋2a＋k.