选修4-1《几何证明选讲》(第2节 省一等奖课件
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答案 3
[互动探究] 本例条件变为“PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 交圆 O 于 B、C， 且 AC＝ 3，∠PAB＝30°”，求圆的半径 r. 解析
如图． ∵∠PAB＝30°，∴∠ACB＝30°. 在 Rt△ABC 中 AC＝ 3，
故推论与弦切角定理及其推论多用于推出 角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大 小． 2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上 的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．
圆周角、弦切角和圆的切线问题 [典题导入]
(2012·广东高考)如图所示，圆O的半径为1，A，B， C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线 与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
[听课记录] 连接 OA. ∵AP 为⊙O 的切线， ∴OA⊥AP. 又∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°. ∴在 Rt△AOP 中，OA＝1，PA＝OA·tan 60°＝ 3.
3．弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据之一， 解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角． 4．圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到 角相等，进而为三角形的相似创造了条件．
[体验高考] 1．(2013·广 东 高 考) 如图 ，AB是圆 O的 直径 ，点 C在圆O
3.如图，割线 PBC 经过圆心 O，OB＝PB＝1，
OB 绕点 O 逆时针旋转 120°到 OD，连接
PD 交圆 O 于点 E，则 PE＝________.
解析 依题意得：
PD＝ PO2＋OD2－2PO·ODcos 120°＝ 7；
又 PE·PD＝PB·PC，
因此
PE＝PBP·DPC＝1×73＝3
5．(2013·北京高考)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切 线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则 PD＝________；AB＝________.
解析 设 PD＝9t，DB＝16t，则 PB＝25t，
根据切割线定理得 32＝9t×25t，解得 t＝15，
所以 PD＝95，PB＝5.
(2)∵PA·PB＝PC·PD， ∴PC·PD＝PM·PQ， 又∠CPQ＝∠MPD，∴△CPQ∽△MPD， ∴∠PCQ＝∠PMD，则∠DCB＝∠FMD. ∵∠BAD＝∠DCB， ∴∠BMD＝∠BMF＋∠FMD＝2∠BAD， 又∠BOD＝2∠BAD， ∴∠BMD＝∠BOD.
相交弦、切割线定理的应用 [典题导入]
第二节 直线与圆的位置关系
[主干知识梳理] 一、圆周角定理 1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
心角的 一半 ． 2．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数 ．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等； 同 圆 或 等 圆 中 ， 相等的圆周角所对的弧也相等 ． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ； 90° 的 圆 周角所对的弦是 直径 ．
(2)(2013·重庆高考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝ 60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD， BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．
解析 在 Rt△ABC 中，∠A＝60°，AB＝20，可得 BC＝10 3. 由弦切角定理，可得∠BCD＝∠A＝60°. 在 Rt△BCD 中，可求得 CD＝5 3，BD＝15. 又由切割线定理，可得 CD2＝DE·DB，可求得 DE＝5. 答案 5
【思路导析】 (1)连接AF，利用平行关系构造平行四边形可 得结论； (2)先证△BCD和△GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角 相等即可．
【解析】 (1)因为D，E分别为 AB，AC的中点， 所以DE∥BC. 又已知CF∥AB， 故四边形BCFD是平行四边形， 所以CF＝BD＝AD. 而CF∥AD，连接AF， 所以四边形ADCF是平行四边形， 故CD＝AF. 因为CF∥AB，
四点共圆问题 [典题导入]
(2014·东北三省四市第二次联考)如图，AB 是⊙O 的直径， 弦 CD 与 AB 垂直，并与 AB 相交于点 E，点 F 为弦 CD 上异于点 E 的任意一点，连接 BF，AF 并延长交⊙O 于点 M，N.
(1)求证：B，E，F，N四点共圆； (2)求证：AC2＋BF·BM＝AB2. [听课记录] (1)连接BN，则AN⊥BN，又CD⊥AB， 则∠BEF＝∠BNF＝90°，即∠BEF＋∠BNF＝180°， 则B，E，F，N四点共圆．
1．(1)
[跟踪训练]
已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，直线 PO 交圆 O 于 B，C 两点，AC＝2，∠PAB＝120°，则圆 O 的面积为________．
解析 ∵PA 为圆 O 的切线，A 为切点，∴∠PAO＝90°. 又∵∠PAB＝120°，∴∠OAB＝30°. 又∵OA＝OB，∴∠OBA＝30°， ∴∠AOC＝∠OAB＋∠OBA＝60°. 又∵OA＝OC，∴△OAC 为等边三角形， ∴圆 O 的半径 OA＝AC＝2，∴圆 O 的面积为 4π. 答案 4π
二、圆内接四边形的性质与判定定理 1．性质定理
定理1：圆内接四边形的对角 互补 ． 定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的 对角 ．
2．判定定理 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边 形的四个顶点 共圆 ． 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那 么这个四边形的四个顶点 共圆．
[跟踪训练] 2．(2014·石家庄市一模)如图，过圆
O外一点P作该圆的两条割线PAB和 PCD，分别交圆O于点A，B，C，D， 弦AD和BC交于Q点，割线PEF经过 Q点交圆O于点E，F，点M在EF上， 且∠BAD＝∠BMF.
(1)求证：PA·PB＝PM·PQ； (2)求证：∠BMD＝∠BOD. 证明 (1)∵∠BAD＝∠BMF， ∴A，Q，M，B四点共圆， ∴PA·PB＝PM·PQ.
(2)由直角三角形的射影原理可知 AC2＝AE·AB， 由 Rt△ BEF 与 Rt△ BMA 相似可知，BBFA＝BBME ， BF·BM＝BA·BE＝BA·(BA－EA)， BF·BM＝AB2－AB·AE， 则 BF·BM＝AB2－AC2，即 AC2＋BF·BM＝AB2.
[规律方法] 判断四点共圆的步骤 (1)观察几何图形，找到一定点、一对对角或一外角与其内对 角； (2)判断四点与这一定点的关系； (3)判断四边形的一对对角的和是否为180°； (4)判断四边形一外角与其内对角是否相等； (5)下结论．
在直角三角形 APB 中，根据勾股定理得 AB＝4.
答案
9 5
4
[关键要点点拨] 1．与圆有关的辅助线的五种作法：
(1)有弦，作弦心距． (2)有直径，作直径所对的圆周角． (3)有切点，作过切点的半径． (4)两圆相交，作公共弦． (5)两圆相切，作公切线．
2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等 的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理 涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的 应用.
三、圆的切线的性质及判定定理 1．性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 ．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过 切点 ． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过 圆心 ． 2．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的 切线 ． 四、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 ．
所以BC＝AF，故CD＝BC. (2)因为FG∥BC，故GB＝CF. 由(1)可知BD＝CF， 所以GB＝BD， 所以∠BGD＝∠BDG. 由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB， 又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC， 所以△BCD∽△GBD.
【高手支招】 1.解决几何证明问题需用各种判定定理、性 质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用 好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助 图形，这一些知识都有利于问题的解决． 2．证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线 段所在的三角形相似．另外也可利用平行线分线段成比例定 理来证明．
长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角 ．
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)如图所示，在△ABC中，
∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为 直径的圆与斜边交于点P.则BP的长为________． 解析 连接CP，由推论2知∠CPA＝90°， 即CP⊥AB，由射影定理知， AC2＝AP·AB，∴AP＝3.6， ∴BP＝AB－AP＝6.4. 答案 6.4
(2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作 两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O 于点E.
证明：(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE.
[听课记录] 证明：(1)由 AC 与⊙O′相切于 A， 得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB.从而AACD＝ABBD， 即 AC·BD＝AD·AB.
五、与圆有关的比例线段 1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线
段长的 积 相等． 2．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条
割线与圆的交点的两条线段长的 积 相等． 3．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是
这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项 ． 4．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线
(2)由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA，得 △ EAD∽△ABD.从而AABE＝ABDD， 即 AE·BD＝AD·AB. 结合(1)的结论，AC＝AE.
[规律方法] 解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1)直接应用相交弦、切割线定理及推论； (2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转 化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→ 等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，要灵活把 握．
(2)由条件得 AB＝2AC＝2，设 AD＝t， 根据割线定理得 BD·BA＝BE·BC， 即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)， 所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)， 即 2t2＋3t－2＝0， 解得 t＝21或 t＝－2(舍去)， 即 AD＝12.
【创新探究】 几何证明问题
(2012·课标全国高考)如图， D，E分别为△ABC边AB， AC的中点，直线DE交△ABC 的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
7
7 .
答案
37 7
4.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知 ∠A＝100°，∠C＝a0°，则∠DFE的度数是________．
解析 ∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－100°－30°＝50°， ∠BDO＋∠BEO＝180°， ∴B、D、O、E 四点共圆， ∴∠DOE＝180°－∠B＝180°－50°＝130°. 又∵∠DFE 是圆周角，∠DOE 是圆心角， ∠DFE＝12∠DOE＝65°. 答案 65°
2．(教材习题改编)如图，⊙O中弦AB、 CD相交于点F，AB＝10.AF＝2， 若CF∶DF＝1∶4.则CF的长为________． 解析 ∵CF∶DF＝1∶4， ∴DF＝4CF. ∵AB＝10，AF＝2，∴BF＝8. ∵CF·DF＝AF·BF， ∴CF·4CF＝2×8， ∴CF＝2. 答案 2
[跟踪训练] 3．(2014·长春模拟)如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分
线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC. (1)求证：BE＝2AD； (2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．
解析 (1)证明：连接 DE， 因为 ACED 是圆的内接四边形， 所以∠BDE＝∠BCA， 又∠DBE＝∠CBA， 所以△BDE∽△BCA， 即有BBAE＝DCAE，而 AB＝2AC， 所以 BE＝2DE.又 CD 是∠ACB 的平分线， 所以 AD＝DE，从而 BE＝2AD.
[互动探究] 本例条件变为“PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 交圆 O 于 B、C， 且 AC＝ 3，∠PAB＝30°”，求圆的半径 r. 解析
如图． ∵∠PAB＝30°，∴∠ACB＝30°. 在 Rt△ABC 中 AC＝ 3，
故推论与弦切角定理及其推论多用于推出 角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大 小． 2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上 的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．
圆周角、弦切角和圆的切线问题 [典题导入]
(2012·广东高考)如图所示，圆O的半径为1，A，B， C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线 与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
[听课记录] 连接 OA. ∵AP 为⊙O 的切线， ∴OA⊥AP. 又∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°. ∴在 Rt△AOP 中，OA＝1，PA＝OA·tan 60°＝ 3.
3．弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据之一， 解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角． 4．圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到 角相等，进而为三角形的相似创造了条件．
[体验高考] 1．(2013·广 东 高 考) 如图 ，AB是圆 O的 直径 ，点 C在圆O
3.如图，割线 PBC 经过圆心 O，OB＝PB＝1，
OB 绕点 O 逆时针旋转 120°到 OD，连接
PD 交圆 O 于点 E，则 PE＝________.
解析 依题意得：
PD＝ PO2＋OD2－2PO·ODcos 120°＝ 7；
又 PE·PD＝PB·PC，
因此
PE＝PBP·DPC＝1×73＝3
5．(2013·北京高考)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切 线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则 PD＝________；AB＝________.
解析 设 PD＝9t，DB＝16t，则 PB＝25t，
根据切割线定理得 32＝9t×25t，解得 t＝15，
所以 PD＝95，PB＝5.
(2)∵PA·PB＝PC·PD， ∴PC·PD＝PM·PQ， 又∠CPQ＝∠MPD，∴△CPQ∽△MPD， ∴∠PCQ＝∠PMD，则∠DCB＝∠FMD. ∵∠BAD＝∠DCB， ∴∠BMD＝∠BMF＋∠FMD＝2∠BAD， 又∠BOD＝2∠BAD， ∴∠BMD＝∠BOD.
相交弦、切割线定理的应用 [典题导入]
第二节 直线与圆的位置关系
[主干知识梳理] 一、圆周角定理 1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
心角的 一半 ． 2．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数 ．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等； 同 圆 或 等 圆 中 ， 相等的圆周角所对的弧也相等 ． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ； 90° 的 圆 周角所对的弦是 直径 ．
(2)(2013·重庆高考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝ 60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD， BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．
解析 在 Rt△ABC 中，∠A＝60°，AB＝20，可得 BC＝10 3. 由弦切角定理，可得∠BCD＝∠A＝60°. 在 Rt△BCD 中，可求得 CD＝5 3，BD＝15. 又由切割线定理，可得 CD2＝DE·DB，可求得 DE＝5. 答案 5
【思路导析】 (1)连接AF，利用平行关系构造平行四边形可 得结论； (2)先证△BCD和△GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角 相等即可．
【解析】 (1)因为D，E分别为 AB，AC的中点， 所以DE∥BC. 又已知CF∥AB， 故四边形BCFD是平行四边形， 所以CF＝BD＝AD. 而CF∥AD，连接AF， 所以四边形ADCF是平行四边形， 故CD＝AF. 因为CF∥AB，
四点共圆问题 [典题导入]
(2014·东北三省四市第二次联考)如图，AB 是⊙O 的直径， 弦 CD 与 AB 垂直，并与 AB 相交于点 E，点 F 为弦 CD 上异于点 E 的任意一点，连接 BF，AF 并延长交⊙O 于点 M，N.
(1)求证：B，E，F，N四点共圆； (2)求证：AC2＋BF·BM＝AB2. [听课记录] (1)连接BN，则AN⊥BN，又CD⊥AB， 则∠BEF＝∠BNF＝90°，即∠BEF＋∠BNF＝180°， 则B，E，F，N四点共圆．
1．(1)
[跟踪训练]
已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，直线 PO 交圆 O 于 B，C 两点，AC＝2，∠PAB＝120°，则圆 O 的面积为________．
解析 ∵PA 为圆 O 的切线，A 为切点，∴∠PAO＝90°. 又∵∠PAB＝120°，∴∠OAB＝30°. 又∵OA＝OB，∴∠OBA＝30°， ∴∠AOC＝∠OAB＋∠OBA＝60°. 又∵OA＝OC，∴△OAC 为等边三角形， ∴圆 O 的半径 OA＝AC＝2，∴圆 O 的面积为 4π. 答案 4π
二、圆内接四边形的性质与判定定理 1．性质定理
定理1：圆内接四边形的对角 互补 ． 定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的 对角 ．
2．判定定理 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边 形的四个顶点 共圆 ． 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那 么这个四边形的四个顶点 共圆．
[跟踪训练] 2．(2014·石家庄市一模)如图，过圆
O外一点P作该圆的两条割线PAB和 PCD，分别交圆O于点A，B，C，D， 弦AD和BC交于Q点，割线PEF经过 Q点交圆O于点E，F，点M在EF上， 且∠BAD＝∠BMF.
(1)求证：PA·PB＝PM·PQ； (2)求证：∠BMD＝∠BOD. 证明 (1)∵∠BAD＝∠BMF， ∴A，Q，M，B四点共圆， ∴PA·PB＝PM·PQ.
(2)由直角三角形的射影原理可知 AC2＝AE·AB， 由 Rt△ BEF 与 Rt△ BMA 相似可知，BBFA＝BBME ， BF·BM＝BA·BE＝BA·(BA－EA)， BF·BM＝AB2－AB·AE， 则 BF·BM＝AB2－AC2，即 AC2＋BF·BM＝AB2.
[规律方法] 判断四点共圆的步骤 (1)观察几何图形，找到一定点、一对对角或一外角与其内对 角； (2)判断四点与这一定点的关系； (3)判断四边形的一对对角的和是否为180°； (4)判断四边形一外角与其内对角是否相等； (5)下结论．
在直角三角形 APB 中，根据勾股定理得 AB＝4.
答案
9 5
4
[关键要点点拨] 1．与圆有关的辅助线的五种作法：
(1)有弦，作弦心距． (2)有直径，作直径所对的圆周角． (3)有切点，作过切点的半径． (4)两圆相交，作公共弦． (5)两圆相切，作公切线．
2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等 的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理 涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的 应用.
三、圆的切线的性质及判定定理 1．性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 ．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过 切点 ． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过 圆心 ． 2．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的 切线 ． 四、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 ．
所以BC＝AF，故CD＝BC. (2)因为FG∥BC，故GB＝CF. 由(1)可知BD＝CF， 所以GB＝BD， 所以∠BGD＝∠BDG. 由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB， 又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC， 所以△BCD∽△GBD.
【高手支招】 1.解决几何证明问题需用各种判定定理、性 质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用 好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助 图形，这一些知识都有利于问题的解决． 2．证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线 段所在的三角形相似．另外也可利用平行线分线段成比例定 理来证明．
长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角 ．
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)如图所示，在△ABC中，
∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为 直径的圆与斜边交于点P.则BP的长为________． 解析 连接CP，由推论2知∠CPA＝90°， 即CP⊥AB，由射影定理知， AC2＝AP·AB，∴AP＝3.6， ∴BP＝AB－AP＝6.4. 答案 6.4
(2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作 两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O 于点E.
证明：(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE.
[听课记录] 证明：(1)由 AC 与⊙O′相切于 A， 得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB.从而AACD＝ABBD， 即 AC·BD＝AD·AB.
五、与圆有关的比例线段 1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线
段长的 积 相等． 2．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条
割线与圆的交点的两条线段长的 积 相等． 3．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是
这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项 ． 4．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线
(2)由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA，得 △ EAD∽△ABD.从而AABE＝ABDD， 即 AE·BD＝AD·AB. 结合(1)的结论，AC＝AE.
[规律方法] 解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1)直接应用相交弦、切割线定理及推论； (2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转 化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→ 等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，要灵活把 握．
(2)由条件得 AB＝2AC＝2，设 AD＝t， 根据割线定理得 BD·BA＝BE·BC， 即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)， 所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)， 即 2t2＋3t－2＝0， 解得 t＝21或 t＝－2(舍去)， 即 AD＝12.
【创新探究】 几何证明问题
(2012·课标全国高考)如图， D，E分别为△ABC边AB， AC的中点，直线DE交△ABC 的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
7
7 .
答案
37 7
4.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知 ∠A＝100°，∠C＝a0°，则∠DFE的度数是________．
解析 ∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－100°－30°＝50°， ∠BDO＋∠BEO＝180°， ∴B、D、O、E 四点共圆， ∴∠DOE＝180°－∠B＝180°－50°＝130°. 又∵∠DFE 是圆周角，∠DOE 是圆心角， ∠DFE＝12∠DOE＝65°. 答案 65°
2．(教材习题改编)如图，⊙O中弦AB、 CD相交于点F，AB＝10.AF＝2， 若CF∶DF＝1∶4.则CF的长为________． 解析 ∵CF∶DF＝1∶4， ∴DF＝4CF. ∵AB＝10，AF＝2，∴BF＝8. ∵CF·DF＝AF·BF， ∴CF·4CF＝2×8， ∴CF＝2. 答案 2
[跟踪训练] 3．(2014·长春模拟)如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分
线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC. (1)求证：BE＝2AD； (2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．
解析 (1)证明：连接 DE， 因为 ACED 是圆的内接四边形， 所以∠BDE＝∠BCA， 又∠DBE＝∠CBA， 所以△BDE∽△BCA， 即有BBAE＝DCAE，而 AB＝2AC， 所以 BE＝2DE.又 CD 是∠ACB 的平分线， 所以 AD＝DE，从而 BE＝2AD.