新课标人教A版必修一2007年新课标地区数学科“函数及其表示”教案 人教版A版

课题：§1.2.1函数的概念
教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与
对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对
应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的
作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：
一、引入课题
1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型
的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变
化关系问题
备用实例：
我国2003年4月份非典疫情统计：
3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的
依赖关系；
4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关
系是否是函数关系．
二、新课教学
（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．
记作：y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．
注意：
○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一
个数，而不是f乘x．
2．构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）
（二）典型例题
1．求函数定义域
课本P17例1
解：（略）
说明：
○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；
○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；
○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
巩固练习：课本P19第1题
2．判断两个函数是否为同一函数
课本P18例2
解：（略） 说明：
○
1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
○
2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

巩固练习： ○
1 课本P 19第2题 ○
2 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？
（1）f ( x ) = (x －1) 0
；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x ； g ( x ) = 2
x
（3）f ( x ) = x 2
；f ( x ) = (x + 1) 2
（4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2
x
例 3 （1）设函数f(x)=2x+3，函数g(x)=3x-5，试求
[]()f g x ,[]()g f x
(2)已知a,b ∈*N ,f(a+b)=f(a)•f(b),f(1)=2,
求：
(2)(3)f f +(3)(2)f f +…+(2008)
(2007)
f f （三）课堂练习
1.求下列函数的定义域
（1）|
x |x 1
)x (f -=
（2）x
111)x (f +=
（3）5x 4x )x (f 2+--= （4）1
x x 4)x (f 2
--=
（5）10x 6x )x (f 2+-= （6）13x x 1)x (f -++-=
2求下列两个函数的定义域与值域 （1）{}2()(1)1,1,0,1,2,3f x x x =-+∈- (2) 2()(1)1f x x =-+
三、归纳小结，强化思想
从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。

四、作业布置
课本P 24 习题1．2（A 组） 第1—7题 （B 组）第1题
课题：§1.2.2映射
教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法，
（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
教学重点：映射的概念． 教学难点：映射的概念． 教学过程：
一，引入课题
复习初中已经遇到过的对应：
1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
5．函数的概念．
二，新课教学
（一）映射的有关概念
1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）（板书课题）．
2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系（1）开平方；
（2）求正弦
（3）求平方；
（4）乘以2；
3．什么叫做映射？
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应
法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．
记作“f：A→B”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

（二）典型例题
例1 P22 的例7
思考：
将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： B→A是从集合B到集合A的映射吗？
【注】给定两个集合A,B及对应法则f，判断是否是从集合A 到集合B的映射，主要利用映射的定义。

用通俗的语言讲A→B得对应有“多对一”“一对一”“一对多”前两种是映射而后一种不是。

例2 （1）已知集合A={x∣0≤x≤2},B={y∣0≤y≤4}下列对应关系不能构成从集合A到集合B的映射的有
①y=2x，②y=3
x，③y=2x，④y=2x-1，⑤y=2x-2x+2
2
(2)设f:A→B是A到B的一个映射，其中A=B={（x,y）∣x,y∈R},f:(x,y) →(x-y,x+y),
求：A中元素（-1，2）在B中对应的元素；A中什么元素与B中元素（-1，2）对应？
（三）完成课本练习
三，归纳小结，强化思想
理解映射的定义以及能够准确地判断一个对应是否是映射。

四，布置作业
补充习题
课题：§1.2.2函数的表示法
教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表
示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认
识．
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．
教学过程：
一，引入课题
1、复习：函数的概念；
2、常用的函数表示法及各自的优点：
（1）解析法；
（2）图象法；
（3）列表法．
二、新课教学
（一）典型例题
例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．
解：（略）
注意：
○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；
○2解析法：必须注明函数的定义域；
○3图象法：是否连线；
○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．巩固练习：
课本P23练习第1题
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：
第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95
张城90 76 88 75 86 80
赵磊68 65 73 72 75 82
班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？
解：（略）
注意：
○1本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；
○2本例能否用解析法？为什么？
巩固练习：
课本P23练习第2题
例3．画出函数y = | x | ．
解：（略）
巩固练习：课本P23练习第3题
拓展练习：
任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．
课本P23练习第3题
例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公
里按5公里计算）．
已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值． 解：设票价为y 元，里程为x 公里，同根据题意，
如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *
| x ≤19}．
由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=5432y 191515
1010550≤<≤<≤<≤<x x x x (*N x ∈)
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示： 注意：
① 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ② 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？ ③ 课本P 21的例题6与本题有哪些不同？
实践与拓展：
请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路） 说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．
注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
三、归纳小结，强化思想
理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．
四、作业布置
㈠课本P 24 习题1．2（A 组） 第8—12题 （B 组）第2、3题 ㈡（07安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为 (A)|1|23-=x y (0≤x ≤2) (B) |1|2
323--=x y (0≤x ≤2) 2)
(C) |1|23--=x y (0≤x ≤2) (D) |1|1--=x y (0≤x ≤。