湖北省长阳土家族自治县第一高级中学2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题 理(含解析)

长阳一中2017-2018学年度第二学期期末考试
高一数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 则（）
【答案】A
【解析】分析：根据题意，由基本不等式的性质依次分析选项，即可得答案.
详解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由不等式的性质可得：若A正确；
对于B B错误；
对于C C错误；
对于D D错误.
故选：A.
点睛：判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
2. ＝( )
A. 11
B. 12
C. 13
D. 不确定
【答案】C
【解析】分析：直接利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质即可.
故选：C.
点睛：利用等差数列的性质求S n，突出了整体思想，减少了运算量.
3. 若的三个内角满足，则（）
A. 一定是锐角三角形
B. 一定是钝角三角形
C. 一定是直角三角形
D. 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形
.
故角C是钝角.
故选：B.
.
4. 若直线x＋2ay－1=0与(a－1)x－ay＋1=0平行，则的值为( )
或－2
【答案】C
时，检查两直线是否平行；当
于常数项之比，求出a的值.
.
故选：C.
点睛：本题考查两直线平行的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.
5. ）
A.
C.
【答案】D
【解析】分析：对四个选项逐一分析即可.
详解：在A A错误；
在B B错误；
在C C错误；
在D D正确.
点睛：本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查空间想象能力、数据处理能力，属于中档题.
6. 已知某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的体积是（）
【答案】C
【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形的四棱锥，求出它的体积即可.
详解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示：
点C到AB
点睛：(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．
7. 等比数列的各项均为正数，且）
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
【答案】C
考点：等比数列性质若，则的应用
8. 已知直线方程为（2+m）x+(1-2m)y+4-3m=0,这条直线恒过一定点，这个定点坐标为
（）
A. （-2m，-m-4）
B. （-1，-2）
C. （5，1）
D. （2m，m+4）
【答案】B
解得
该直线恒过定点
9. 如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱
的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是( )
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
【答案】B
【解析】对于①，取NP中点G，由三角形中位线性质易证MG∥AB，再根据线面平行的判定定理可知①正确；对于④，易证NP∥AB，根据线面平行的判定定理可知④正确，故选B.
考点：直线与平面平行的判定.
10. 设x，y满足，则z＝2x－y的最小值为（）
A. ﹣5
B. ﹣4
C. 4
D. 0
【答案】D
【解析】分析：画出约束条件表示的可行域，确定目标函数经过的位置，求出z＝2x－y的最小值即可.
详解：作出不等式表示的平面区域，如图所示：
由z＝2x－y y轴上的截距的相反数，z越小,
A时，z最小.
由
故选：D.
点睛：本题考查线性规划的应用，正确画出可行域以及判断目标函数经过的特殊点是解题的关键，考查计算能力.
11.
的余弦值为（）
D.
【答案】C
【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则
所成角的余弦值为
选C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
12. , 则实数
（）
A. (, 1)
B. (, )
C. (, 1)
D. (, )
【答案】D
【解析】试题分析：由题意得：，解得，选D.
考点：数列单调性
【方法点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法
1.
③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件
二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）
13. ____________.
.
，
，解得
故答案为：
点睛：简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．
14. ________．
【解析】试题分析：直线的斜率为
考点：直线倾斜角与斜率
15. x＋2y＝2______.
【解析】分析：利用常数代换，由基本不等式即可得答案.
x＋2y＝2，
当且仅当即时取等号.
故答案为：
点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构
造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
16. 在△ABC
为__________．
【解析】分析：由已知及余弦定理可求即可求B，
由A的范围利用正弦函数的图象和性质即可得答案.
是三角形内角，
又，
故答案为：.
点睛：本题主要考查了余弦定理、三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想.
三、解答题：（本大题6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 的三个顶点
AC边上高所在的直线方程的斜率k，代入点斜式即可得到答案.
详解：设AC变上的高所在直线为BD，
，
点睛：本题主要考查直线方程的求法以及斜率公式，求出相应直线的斜率是解题的关键.
18. 在△ABC中，a＝3，b B＝2∠A，
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
【答案】
【解析】分析：（1）利用正弦定理、倍角公式即可得出；
（2）先求出sin C，再利用正弦定理即可.
详解：(1)因为a＝3，b＝B＝2∠A，
.
.
(2)由(1)知，所以
＝2∠A，所以cos B＝2cos2A－1＝.
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋
.
点睛：(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
19. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，a3＝5，S10＝100．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n＝2a n＋2n，求数列{b n}的前n
【答案】（1（2
【解析】分析：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a3＝5，S10＝100列方程组求得首项与公差，即可写出数列{a n}的通项公式；
（2）把数列{a n}的通项公式代入b n＝2a n＋2n，利用数列的分组求和及等差数列的前n项和求解.
详解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，
所以a n＝2n－1.
点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
20.
（1
（2
【答案】（1（2
【解析】分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件A、B、C
可运用正弦定理，可求出A、B、C；
（2）由（1）已知角，先运用正弦定理求出所需的边，即可求出面积.
详解：（1
，可知
，∴，
综上，；
，
点睛：本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，考查了计算能力和转化思想.
21. 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，
PA＝AD，F为PD的中点．
(1)求证：AF⊥平面PDC；
(2)求直线AC与平面PCD所成角的大小．
【答案】（1）详见解析；（2
【解析】（1）垂直于平面
，从而有
最后可得线面垂直；（2）要求直线与平面所成的角，一般要先作出这个角，由（1
试题解析：（1
（2
由（1）可知内的射影，
是.
故直线与平面30°.
22.
（1
（2
【答案】（1（2）详见解析.
【解析】分析：（1之间的关系式即可求出数列
（2）利用错位相减法求出数列.
详解：（Ⅰ）当
两式错位相减得
.
点睛：(1)错位相减法是求解由等差数列{b n}和等比数列{c n}对应项之积组成的数列{a n}，即
a n＝
b n×
c n的前n项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练．
(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围．。