【中考数学考点专项突破课件】--4. 第二章 四 、一元二次方程及其应用

（2020•江苏无锡）解方程：x2＋x-1=0．
【例3】（2017•广西河池）若关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有
两个相等的实数根，则a的值是（ A）．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（A）-1
（B）1
（C）-4
（D）4
【点拨与解答】本题考查一元二次方程的根的判别式．由题意知 方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则Δ=0，即Δ=22-4×1×（-a） =4+4a=0，解得a=-1．故选A．
不等式即可求出k
的取值范围；
（2）由根与系数
的关系可得a+b=-2， ab=-k，再代入整
理后的代数式，计 算即可.
A
A
D
B
【思路点拨】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的 性质.题目没有说明4是腰长还是底边长，所以要分类讨论:①当4为腰长时，m= 4或者n=4.即x=4.将x=4代入一元二次方程可求出k的值；②当4为底边长时，则m =n.利用等腰三角形的性质可得出根的判别式 Δ=0，解之可得出k值，利用根与 系数的关系可得两腰之和为6，将其与4比较后可知该结果符合题意.
3.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
（二）一元二次方程的解法
1.基 本 思 想：解 一 元 二 次 方 程 的 基 本 思 想 是 转化思想 , 即把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
2.方法
(1)配方法： 把方程化成x2 =p 或(x+n)2 =p 的形式， 若 p≥0，可得x = p 或x = p n .
x1+x2=
b a
，x1x2=
c a.
(五)一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤是: ①审题； ②找等量关系； ③设 未知数 ； ④列出 方程 ； ⑤解 方程 并验证； ⑥作答.
03
真题剖析
【例1】（2020•黑龙江）已知2+ 3 是关于x的一元二次方程
x2-4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（ B）．
此类问题时，最后应注意对求得的两个解进行取舍．设月平均增 长率为x，则该文具店四月份销售铅笔的支数是：40（1+x）2， 则40（1+x）2=90．故选C．
【变式5】 (2018· 广 西 北 部 湾 六 市 同 城)某 种 植 基 地 2016年
蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达 到100吨，求蔬菜产 量的年平均增长率.设蔬菜产量 的年平均增长率为x，则可列
04
实战提分
1．（2020•辽宁营口）一元二次方程x2-5x+6＝0的解为（ D ）．
（A）x1=2，x2=-3 （C）x1=-2，x2=-3
（B）x1=-2，x2=3 （D）x1=2，x2=3
2.（2019·山西）一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为（ D ）.
（A）(x+2)2=3 （C）(x-2)2=3
则 x12 x22 的值为（ D ）．
（A）5 （B）10 （C）11 （D）13
【例5】（2017•广西来宾）某文具店二月销售签字笔40支，三月、
四月销售量连续增长，四月销售量为90支，求月平均增长率．设月
平均增长率为x，则由已知条件列出的方程是（ C ）．
（A）40（1+x2）=90
（B）40（1+2x）=90
（C）40（1+x）2=90
（D）90（1-x）2=40
【点拨与解答】本题考查通过列一元二次方程来解决实际问 题．本题属于平均增长率的问题．解平均增长率问题的基本关系 式是a(1±x) n=b，其中a是基数，n是增减的次数，x是百分率，b 是n次变化后的最终数值．因为增减的百分率是0＜x＜1，故解答
(三)判别式 Δ=b2-4ac 与一元二次方程的根的关系 1. Δ=b2-4ac>0⇔ 有 两 个不等的实数根； 2. Δ=b2-4ac=0⇔ 有 两 个相等的实数根； 3. Δ=b2-4ac<0⇔ 没有 实数根.
(四)一元二次方程根与系数的关系
若x1，x2 是方程ax2 +bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的两个根，则
(2)公式法： 把方程化成一般形式：ax2 +bx+c=0(a≠0)， 其中
b b2 4ac
判别式Δ=b2-4ac.当 Δ≥0时，其实数根可写为x =
2a .
(3)因式分解法： ①将方程右边化为 0 ；②左边进行因式分 解，化为两个一次式的 乘积 的形式；③使这两个一次式分别 等于 0 ，从而实现降次，解这两个一元一次方程.
（A）0 （B）1 （C）-3 （D）-1 【点拨与解答】本题考查一元二次方程的根的概念．把方
程的一个根x=2+ 3 代入方程x2-4x+m＝0，得（ 2 + 3）2- 4 × （2 + 3）+m＝0，解得m= 1，故选B.
【变式1】 （2020•贵州毕节）关于x的一元二次方程（k+2）x2+6x+k2+k-2=0
方程为( A ).
(A)80(1+x)2=100 (C)80(1+2x)=100
(B)100(1-x)2=80 (D)80(1+x2)=100
B
A
【错解】 C 【错因】 运用配方法前，对于二次项系数不是1的方程，一般先将二次项 系数化为1，根据等式的性质，在方程两边除以二次项系数，才能保证所得结 果仍是等式；而在选项C中，只给方程左边的二次项除以2，没有把其他项也 除以2，就会导致所得结果不是等式，改变了原方程，从而出现错解.
（D）3
【点拨与解答】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．由题意知α，β
是方程x2-2x+m=0的两个实数根，由根与系数的关系，得α+β=2，αβ=m．化简
+ = 2 3
得
1
1
．2 再把α+β=2，αβ=m代入，得 3
2= m
2 3
．解得m=-3．
故选B．
【变式4】 （2020•贵州遵义）已知x1，x2是方程x2-3x-2＝0的两根，
（B）(x+2)2=5 （D）(x-2)2=5
A C
C
A
【思路点拨】先找出方程的a，b，c，再
计算判别式的值，然后根据判别式与0的 大小确定方程根的情况.
【思路点拨】
本题考查由实际
问题抽象出一元
二次方程，解题
关键是根据图形
D
得到面积的相等
关系。
6
k＜-1
【思路点拨】 （1）根据方程有 两个不相等的实数 根可得Δ＞0，解
第二章 方程（组）与不等式（组） 四、一元二次方程及其应用
01 考点解读 02 考点梳理 03 真题剖析
04 实战提分
01
考点解读
02
考点梳理
（一）一元二次方程 1.概念：等号两边都是整式，只含有 一 个未知数（一元），并
且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
2.一般形式： ax2 +bx+c=0 （a≠0）
1
x(x+12)=864
【思路点拨】本题考
查了根与系数的关系，根 的判别式及解一元一次方 程.解题关键是：（1）牢 记“当Δ≥0时，方程有实 数根”是解题的关键.（2） 根据根与系数的关系结合 (x1-x2)2-17＝0找出关于m 的一元一次方程，解之即 可.
课堂小结
本节课复习了哪些知识点？ 1．一元二次方程的概念及一般形式 2．一元二次方程的解 3. 一元二次方程的解法 4. 一元二次方程的根的判别式 5. 一元二次方程的根与系数的关系 6．一元二次方程的应用
【变式3】
（2020•内蒙古通辽）关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根，k的取值范
围是（D ）．
（A）k＜1且k≠0
（B）k＜1
（C）k≤1且k≠0
（D）k≤1
【例4】（2019•广西贵港）若α，β是关于x的一元二次方程的两
实根，且
1
1
23，则m等于（
B ）．
（A）-2 （B）-3
（C）2
有 一个根是0，则k的值是 1 ．
【例2】（2018•广西梧州） 解方程：2x2-4x-30=0．
【点拨与解答】本题考查一元二次方程的解法．解题的关键 是熟练掌握解一元二次方程的解法，并能根据方程的结构特征选 择适当的方法求解，本题较适合采用因式分解法求解． 解：∵2x2-4x-30=0，
∴x2-2x-15=0， ∴（x-5）（x+3）=0， ∴x1=5，x2=-3．